曹春梅

（華北電力大學數理系，河北 保定 071003）

當波源和探測器相對運動時，探測器探測到的波頻率與源本身頻率不等的現象稱為多普勒效應.對電磁波，多普勒效應通常分為縱向多普勒效應和橫向多普勒效應.當電磁波源和探測器沿二者連線方向運動時，探測器探測到的源輻射頻率與靜止源的輻射頻率不等的現象稱為縱向多普勒效應；當電磁波源或探測器垂直于電磁波矢方向運動時，探測器探測到的源輻射頻率與靜止源的輻射頻率不等的現象稱為橫向多普勒效應[1].對電磁波的縱向多普勒效應，電動力學教科書中多有討論，易于理解且無爭議，但對于電磁波的橫向多普勒效應，多數文獻只是泛泛一提，并未針對具體情況進行相應的分析和討論，也有文獻雖然進行了較具體的討論，但給出橫向多普勒效應的頻移既有紅移，又有藍移的結論[2，3].本文基于光行差公式，對電磁波的多普勒效應紅移和藍移進行了全面的辨析，并針對橫向多普勒效應的兩種具體情況進行了討論，指出電磁波的橫向多普勒效應僅有紅移，不應存在藍移，分析了文獻[2]、[3]給出的橫向多普勒效應藍移錯誤結論的原因.

1 電磁波的多普勒效應

當電磁波源和探測器都相對于介質系運動時，探測器測得的波的頻率ωd與波源的頻率ωs之間的關系稱為普遍的多普勒效應公式[2]，如下式所示

式中，us和ud分別為波源和探測器相對于介質系的運動速率，θs為在介質系中波源速度us與波矢k之間的夾角，θd為在介質系中探測器速度ud與波矢k之間的夾角.

當探測器相對于介質系靜止時，ud等于零，式（1）的結果為

與文獻[1]、[4]給出的光波多普勒效應數學表達式相同.

2 電磁波的縱向多普勒效應

（1）如果波源和探測器均相對于介質系運動，且沿二者連線相互接近，則θs＝0，θd＝π，代入式（1）中有

此時若波源運動，探測器靜止，即us≠0，ud＝0，則；若波源靜止，探測器運動，即us＝0，ud≠0，則

（2）如果波源和探測器均相對于介質系運動，且沿二者連線相互遠離，則θs＝π，θd＝0，代入式（1）中有

此時若波源運動，探測器靜止，即us≠0，ud＝0，則若波源靜止，探測器運動，即us＝0，ud≠0，則

由（3）、（4）兩式可知，當源的運動或探測器的運動與波矢方向平行時，若二者相互接近，探測器探測到的頻率大于源的頻率，為多普勒效應藍移[4]；若二者相互遠離，探測器探測到的頻率小于源的頻率為多普勒效應紅移[5].此即電磁波的縱向多普勒效應，縱向多普勒效應既有紅移也有藍移，且波源的運動與探測器的運動總是等價的.

3 橫向多普勒效應紅移

眾所周知，光的方向就是注視物體時看到物體的方向，因此橫向多普勒效應應當是從探測器觀察波矢時，波源沿與波矢垂直的方向運動，或探測器沿與波矢垂直的方向運動，即以探測器為參照系時給出波源速度與波矢之間或探測器速度與波矢之間夾角的取值總為時所得出的結論.據此進行以下兩種情況下的分析：

（1）若探測器相對于介質系靜止，即探測器與介質系合二為一，則ud＝0，若探測器觀測到波源沿與波矢垂直的方向運動，則代入式（1），從而有

式中，ωd為探測器探測的結果，說明此時發(fā)生了橫向多普勒效應，且探測到的頻率小于源本身的頻率，即發(fā)生了橫向多普勒效應紅移.

（2）若波源相對于介質系靜止，即波源與介質系合二為一，則us＝0.若探測器探測到其運動方向與波矢的運動方向垂直，意味著以探測器為參考系時探測器速度與波矢之間夾角的取值為但這并不代表介質系中探測器運動方向與波矢方向之間的夾角也為二者之間存在光行差（即運動中的觀測者所觀測到的波源視方向與靜止的觀測者所觀測到波源的真方向之差）.根據光行差公式[6]，兩個慣性系S和S′對兩個方向之間夾角的測量結果并不相同，二者之間有如下關系

式中，θ為S系測得的兩個方向之間的夾角，θ′為相對于S系運動的S′系測得的兩個方向之間的夾角，u為S′系相對于S系的運動速度.顯然若探測器參考系中探測器速度與波矢之間夾角θ′＝根據式（6），則介質參考系中必有

探測器相對于介質系的速率為，則代入式（1），有

式中，ωd為探測器探測的結果，說明此時發(fā)生了橫向多普勒效應，且探測到的頻率小于源本身的頻率，即亦發(fā)生了橫向多普勒效應紅移.

由以上分析可知，無論是探測器相對于介質系靜止、波源相對于介質系運動，還是波源相對于介質系靜止、探測器相對于介質系運動，電磁波的橫向多普勒效應總是紅移，由此也說明對于電磁波的橫向多普勒效應，波源的運動與探測器的運動是等價的.

4 橫向多普勒效應藍移錯誤結論的原因分析

對橫向多普勒效應，文獻[2]中給出了探測器相對于介質系靜止，波源沿與波矢垂直的方向運動時，探測器接收到的光波的頻率ωd與光源的頻率ωs之間的關系為（紅移），而當光源相對于介質系靜止，探測器沿與波矢垂直的方向運動時，探測器接收到的光波的頻率ωd與光源的頻率ωs之間的關系為（藍移）.文獻[3]中給出了接收器靜止，波源作圓周運動時接收器上的鐘所測得的周期與光源上的鐘所測得的周期之間的關系為（紅移），而當波源靜止，接收器作圓周運動時接收器上的鐘所測得的周期與光源上的鐘所測得的周期之間的關系為（藍移）.由此可見，在文獻[2]、[3]中，接收器靜止、波源運動和接收器運動、波源靜止的橫向多普勒效應分別出現了紅移、藍移兩種不同的結果，顯然與狹義相對論中波源的運動與探測器的運動等價相矛盾，其根本原因在于電磁波橫向多普勒效應中藍移的結論是錯誤的.下面以文獻[2]為例分析其橫向多普勒效應藍移錯誤結論的原因.

文獻[2]認為當光源相對于介質系靜止，即光源與介質系合二為一，則us＝0，若觀測到探測器沿與波矢垂直的方向運動，則將其值代入式（1）中，即為文獻[2]給出的結論，但這一結論是錯誤的，錯在沒有分析“探測器沿與波矢垂直的方向運動”這句話的物理含義，沒有正確理解式（1）中θd所在參照系，而是將θd簡單地取為直接代入式（1）中，因而得出了“橫向多普勒效應藍移”的錯誤結論.實際上無論是“波源沿與波矢垂直的方向運動”還是“探測器沿與波矢垂直的方向運動”總是指探測器測得的結果，即以探測器為參照系時，波源速度us與波矢之間夾角為或探測器速度ud與波矢之間夾角為而式（1）中的θs、θd分別為在“介質系”中觀測到的光源速度us與波矢k之間的夾角和探測器速度ud與波矢k之間的夾角.如果探測器相對于介質系靜止，波源相對于介質系運動，探測器探測到“波源沿與波矢垂直的方向運動”，等同于介質系中“波源沿與波矢垂直的方向運動”，所以代入公式（1）中得到了橫向多普勒效應紅移的正確結果.但如果探測器相對于介質系運動，波源相對于介質系靜止，“探測器沿與波矢垂直的方向運動”是指探測器認為自己的運動方向與波矢垂直，根據光行差公式，介質系則認為“探測器的運動方向與波矢方向并不垂直，其夾角θd應滿足cosθd＝將代入式 （1）中，有ωd＝，即仍然是橫向多普勒效應紅移.

文獻[3]提出的在實驗室參照系中，源靜止、接收器作圓周運動得出的橫向多普勒效應藍移結果的錯誤原因及其分析同上.

由以上分析可見，將探測器探測到的波源運動方向與波矢方向的夾角按照光行差公式，轉換到介質系中二者之間的夾角θd是正確解決問題的關鍵，實際上這一點同樣適用于縱向多普勒效應，只不過在縱向多普勒效應情況下，探測器探測的角度與介質系測出的角度總相等而已.如當波源和探測器均相對于介質系運動，且沿二者連線相互接近時，如探測器探測到波源運動方向與波矢方向的夾角和探測器運動方向與波矢方向的夾角分別為θ′s＝0，＝π，根據光行差公式，不難得出介質系中波源運動方向與波矢方向的夾角和探測器運動方向與波矢方向的夾角分別為θ′s＝0，＝π；而當波源和探測器均相對于介質系運動，且沿二者連線相互遠離時，如探測器探測到波源運動方向與波矢方向的夾角和探測器運動方向與波矢方向的夾角分別為θ′s＝π，＝0，根據光行差公式，不難得出介質系中波源運動方向與波矢方向的夾角和探測器運動方向與波矢方向的夾角為θ′s＝π，＝0.顯然與前述縱向多普勒效應的結果相同.

[1]郭碩鴻.電動力學[M].北京：高等教育出版社，1997.

[2]路峻嶺，汪榮寶.多普勒效應公式的簡便推導[J].大學物理，2005，24（8）：25-27.

[3]高炳坤，王鳳林.相對論多普勒效應的簡易推導[J].大學物理，2003，22（8）：15-16.

[4]蘇景順，范紅.光波多普勒效應的簡單證明[J].物理與工程，2008，18（3）：11-12.

[5]別業(yè)廣.電磁波的多普勒效應[J].物理與工程，2003，13（4）：62.

[6]瑞斯尼克.相對論和早期量子論中的基本概念[M].上海師范大學物理系，譯.上海：上?？茖W技術出版社，1978.