廣東省廣州市南海中學 紀麗敏

《幾何證明選講》有助于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。在幾何證明的過程中，不僅有邏輯演繹的程序，還包含著大量的觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程。

以下就廣東省高考模擬題、高考題中出現(xiàn)的幾何證明選講選做題進行分析、歸類，以期把握此類問題的常用題型，形拋磚引玉之效。

一、考察平面圖形中基本的數(shù)量關系的理解和掌握

例1：在直角梯形A B C D中，DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=

點E,F分別為線段AB,AD的中點，則EF=___

分析：題目中，出現(xiàn)點E,F分別為線段AB,AD的中點，學生很快會聯(lián)想到三角形中位線定理，通過連接并計算BD，從而得出EF的長度。事實上，當我們連接DE，可知ΔAED為直角三角形，并且EF是RtΔDEA斜邊上的中線，等于斜邊的一半，為

這樣不僅減少了計算，也體現(xiàn)了學生對題目中數(shù)量關系的把握和分析問題的能力。

二、應用相似三角形的判定和性質

例2：在平行四邊形ABCD中，點E在AB上

且EB＝2AE，AC與DE交于點F，

分析：相似三角形面積比等于相似比的平方。

此類問題關鍵是證明三角形相似，然后通過對應關系解決問題。常用AA，AAA，三邊成比例，兩邊成比例、兩邊夾角相等等基本方法。后例有有關三角形相似，計算其他比例值或長度。

三、考察同弧所對的圓周角、弦切角、圓心角的數(shù)量關系

例3：如圖，過圓O外一點P分別做圓的切線和割線交圓于A,B兩點，且PB=7，C是圓上一點使得BC=5，∠B AC = ∠APB ,則AB=___．

分析:本題是2011年理科高考題,看起來難度不大，但得分僅0.82,從得分看屬于難題。事實上，由同弧所對的圓周角、弦切角相等，則∠PAB=∠ACB，又∠B AC = ∠APB,故△ABP∽△CBA，，AB=。

考察了同弧所對的圓周角、弦切角相等。題目中過P做圓的切線和割線，讓一些不細心思考的學生陷入運用切割線定理的誤區(qū)，導致不能得分。說明學生選擇有效知識點并合理運用方面還不夠好。

四、運用圓的相交弦定理

圓的相交弦定理是指圓內的兩條相交弦被交點所分成的兩條線段長的積相等。要注意強調是從交點出發(fā)的四條線段在同一弦的積。明顯的特征是題目中出現(xiàn)圓內的兩條弦相交。但并不是說出現(xiàn)了相交弦就一定會用到相交弦定理。

例4：如圖，AC為⊙O的直徑，OB⊥AC ，弦BN交AC于點M.

若OC=，OM=1，則MN的長為

分析：由題OC=OB=，OM=1，則MB = 2 ,M A =? 1 ,M C =+1。

現(xiàn)在要求MN，很快由相交弦定理知:MN· M B =MA· MC, M N=1。

五、運用圓的切割線定理

例5：如圖所示，過圓C外一點P做一條直線與圓C交于A,B兩點，AB=2AP ,PT與圓C相切于T點.已知圓C的半徑為2，∠CAB=30°，則PT=___

分析：PT為圓C的切線，由圓的切割線定理，PT2= P A? PB，又A B=2 A P，P B=P A+A B，此時轉化為如何求A B。在等腰△ACB中，AC=2，∠C_AB=30°，∴AB =,P A =,P B =?！郟T=3就迎刃而解了。

當題目中同時出現(xiàn)圓的切線和割線時，可以先考慮是否能利用圓的切割線定理解決問題。在運用圓的切割線定理時，一個比較容易錯誤的地方在于把定理寫成PT2= P A? AB 。和相交弦定理一樣，都是從兩條線的交點“發(fā)散”出去的線段，理解了這點就不容易寫錯、用錯了。

六、運用直角三角形的射影定理

例6：如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥BC，垂足為F，若AB=6，CF? CB=5，則AE=．

分析：要求AE，考慮到CE=ED，

AB與CD是圓的兩條相交弦，AB又為直徑且長度為6。

故怎樣求CE是關鍵。

第一步：Rt△CEB中，由射影定理得CE2=CF? CB =5。

第二步：由圓的相交弦定理得CE2=AE? EB( = AE( A) B ? AE )。

所以AE 6 ? A E = 5 ,A E =1.

幾何證明選講選做題求解的關鍵在于找出連接條件與結論所有中間環(huán)節(jié)。既可以是從條件入手順推，也可以是從結論著想逆推，還可以是兩者結合。幾何證明選講選做題的條件和結論主要分兩類：一類是度量關系，如相等、全等、成比例等；另一種是位置關系，如平行、共圓等，它們是相互聯(lián)系、有機統(tǒng)一的。在近年的廣東省高考模擬題、高考題中，考察有關幾何證明選講選做題的方式、方法相對明確，題型相對穩(wěn)定。在實際的考試中，往往比較少的直接運用單一某個性質、定理，而是在這些性質、定理的基礎上“拐拐彎”，運用多個性質、定理，以期達到教材編寫者“希望通過本書的學習，讓學生在知識積累、數(shù)學能力的提高、對數(shù)學的理解和認識等方面都能更上一個臺階的目的”。