羅鳴亮

[摘 要]幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。以具體課例為載體，闡述在數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中，用圖形描述數(shù)的關(guān)系，形成對知識、技能的貫通式認(rèn)識和理解，尋求解決問題的思路，發(fā)展思維能力，并理解和分析得到的結(jié)果。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀 數(shù)感 思維 解決問題

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）17-010

希爾伯特說：“算術(shù)記號是寫下來的圖形，幾何圖形是畫下來的公式。”“幾何直觀”是2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的十個核心理念之一，課程標(biāo)準(zhǔn)對“幾何直觀”這樣解釋：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！庇纱丝梢?，課程標(biāo)準(zhǔn)對“幾何直觀”在教學(xué)中的作用十分重視，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對幾何圖形本身的研究意義。

一、新——舊，聚焦“幾何直觀”

在實(shí)際教學(xué)中，對“幾何直觀”的理解，常被認(rèn)為是舊酒裝新瓶，將之等同于“數(shù)形結(jié)合”。

細(xì)細(xì)研讀，從涉及的對象和解決問題的通道可得知兩者有重疊之處，但又不盡相同。數(shù)形結(jié)合包含“由形到數(shù)”和“由數(shù)到形”兩方面，幾何直觀借助圖形描述問題的范圍更寬廣，除了”圖形與幾何“領(lǐng)域中的問題，還涉及”數(shù)與代數(shù)“、“統(tǒng)計(jì)與概率”等，基本涵蓋了小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域?！皫缀沃庇^”主要借助于見到（或想象出來的）圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握。而這里的“圖形”不僅僅局限于幾何圖形，線段圖、運(yùn)算符號、字母、文字等直觀符號相結(jié)合的圖示語言，想象中的圖示都可以看成是“幾何直觀”理念的體現(xiàn)。正如德國數(shù)學(xué)家克萊因所說：“數(shù)學(xué)的直觀是對概念、證明的直接把握?！币簿褪钦f，幾何直觀能力的培養(yǎng)對學(xué)生來說是至關(guān)重要的。

二、形——數(shù)，凸顯“幾何直觀”

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，依托具體的數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容，需要具體落實(shí)在課程內(nèi)容、課堂教學(xué)細(xì)節(jié)之中，使學(xué)生認(rèn)識幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，同時也學(xué)會數(shù)學(xué)的一種思考方式和學(xué)習(xí)方式。

從一年級到四年級，學(xué)生在認(rèn)識數(shù)的量上和把握數(shù)的質(zhì)上有了飛躍，這些知識的獲得對學(xué)生來說并非輕而易舉之事，尤其是如何準(zhǔn)確地找到某個數(shù)的近似數(shù)，學(xué)生遇到的困難比較大。下面將以四年級“近似數(shù)”一課為例進(jìn)行簡單呈現(xiàn)。

1.借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)和描述研究的問題，深化概念理解

幾何直觀是具體的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相連。事實(shí)上，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，如數(shù)、度量、函數(shù)，以至于高中的解析幾何等，都具有雙重性，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面認(rèn)識它們，才能很好地理解它們、掌握它們的本質(zhì)意義。也只有這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學(xué)生接受并運(yùn)用它們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力。

課始，教師在黑板上反扣五個數(shù)字卡片，代表汽車價格的五位數(shù)，問：“這輛汽車的價格大約是80000元，它的價格可能是多少元？”讓學(xué)生自己猜測一個數(shù)，同時讓學(xué)生在數(shù)軸上找出這個數(shù)的位置。學(xué)生邊猜教師邊借助數(shù)軸讓學(xué)生直觀體會到近似數(shù)的意義及其內(nèi)在蘊(yùn)藏的區(qū)間值。之后教師問學(xué)生：“結(jié)果好猜嗎？為什么不好猜？”引發(fā)爭執(zhí)。此時，一學(xué)生回答：“如果給我兩天，我就能猜出來。”教師追問：“為什么有的同學(xué)說不好猜，有的同學(xué)卻說給他兩天就能猜出來？”學(xué)生回答：“因?yàn)榉秶軓V，所以不好猜，但時間充裕的話一定能猜出來。”

所謂近似數(shù)，它其實(shí)是歸類后的新數(shù)，我們可以理解為一個數(shù)段的代表數(shù)。在數(shù)軸上可以直觀地看到它們之間的距離跨度，近似數(shù)就是數(shù)軸上的一些“單位”，每個單位包含一定的數(shù)，對80000而言，它涵蓋了75000～85000這個區(qū)間，雖然很多，但也有一定的范圍。

在數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中，用圖形描述數(shù)的關(guān)系，可以多角度地認(rèn)識和理解知識，形成對知識、技能的貫通式認(rèn)識和理解，逐步形成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識。

2.注重幾何直觀，尋求解決問題的思路，發(fā)展思維能力

幾何直觀與想象、邏輯、推理也是不可分的。它不僅僅是看到了什么？還是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價值的思維方式。幾何直觀會把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來，通過思考、想象、猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴(yán)格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。

在“近似數(shù)”一課中，教師順勢提問：“我們課堂時間有限，所以怎么辦？”學(xué)生很自然想到要通過縮小范圍來知道結(jié)果，由此就產(chǎn)生了如何取近似數(shù)的需求。

本課中，在讓學(xué)生猜測汽車的價錢后，問：“汽車價格約8萬，這個數(shù)萬位可能是幾？”“為什么可能是7，也可能是8?！敝蠼沂敬鸢浮?，又問：“千位呢？”學(xué)生答：“可能是5、6、7、8、9，不可能是0、1、2、3、4?！贝藭r教師反問道：“可以是4嗎？為什么不行？”再讓學(xué)生在數(shù)軸上找到74999，說明74999相對而言不接近80000更接近70000，它的近似數(shù)是70000不是80000，直觀揭示“四舍五入”的由來。通過對比，讓學(xué)生對近似數(shù)的認(rèn)識更深刻！教師順勢揭示——74580！將學(xué)生剛從數(shù)軸上獲取的新知又弄混了，師給出解釋：“上課前一緊張把數(shù)字的順序弄混了，應(yīng)該怎么調(diào)整呢？調(diào)整后的數(shù)又分別在數(shù)軸上的哪里呢？”之后，學(xué)生按照教師的提示語“高了、低了”逐步調(diào)整順序，很快找到正確答案：78450。

整個過程通過數(shù)字卡片在黑板上的反扣、翻動、移位，結(jié)合數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生感受為何規(guī)定“四舍五入”，知識復(fù)歸到它形成的過程狀態(tài)，這個狀態(tài)是鮮活的，培養(yǎng)了學(xué)生的興趣和數(shù)感。

不要把幾何直觀簡單地等同于能用圖描述問題的技能，幾何直觀更為深遠(yuǎn)地表現(xiàn)為能夠借助圖形去思考的能力。教師在培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀描述與分析問題的意識和能力時，要關(guān)注學(xué)生運(yùn)用幾何直觀表征問題的過程，以及表征之后的反思與頓悟。沒有反思和頓悟，學(xué)生可能獲得了幾何的方法，卻未必獲得幾何直觀的能力，難以形成與之相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維模式。站在這個角度看，幾何直觀雖然是借助圖形展開思維活動，但明顯超越了圖形，走向了直觀，因此直觀思維才是它的核心和重點(diǎn)。

3.把握幾何直觀，理解和分析得到的結(jié)果，洞察數(shù)學(xué)本質(zhì)

課程標(biāo)準(zhǔn)提出：把握幾何直觀的價值，不僅僅在于“有助于探索解決問題的思路”，更為重要的是“幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)?！?/p>

課中，在出示汽車價格78450元后，教師又提出：“我女兒說，這輛汽車價格大約是78000元。她說的對嗎？”一波未平，一波又起，在辯論的氛圍中，最終達(dá)成共識。此時再次借助數(shù)軸讓學(xué)生清楚地認(rèn)識到：78450在78000和79000之間，接近的是78000。正因?yàn)閰⒄盏臉?biāo)準(zhǔn)不同，取值的范圍不同，所以近似數(shù)的估計(jì)結(jié)果也會不同。此時再追問：“把一個數(shù)精確到不同的位數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？”讓學(xué)生感受：精確到的位數(shù)越低，就越精確，在數(shù)軸上也可以體現(xiàn)為刻度稀疏和細(xì)密的差別。

幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。幾何直觀能力可以幫助學(xué)生較好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作的歷程，形成良好的思維品質(zhì)。教師應(yīng)具有培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的自覺意識，以保護(hù)學(xué)生先天的幾何直觀的潛質(zhì)作為起點(diǎn)，以有效提升學(xué)生的幾何直觀水平作為重點(diǎn)，讓學(xué)生最終形成敏銳的洞察力和深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 金 鈴）