王青山 史冬巖羅祥程

(哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

任意邊界條件下矩形板的面內(nèi)自由振動(dòng)特性*

王青山 史冬巖?羅祥程

(哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法(IFSM)對(duì)矩形板在任意邊界下的面內(nèi)自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究.將結(jié)構(gòu)的位移容許函數(shù)表示為包含正弦三角級(jí)數(shù)的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)，正弦三角級(jí)數(shù)的引入能夠有效地解決在邊界處存在的不連續(xù)或者跳躍現(xiàn)象;將位移容許函數(shù)的未知傅里葉展開(kāi)系數(shù)看作廣義變量，采用能量原理建立結(jié)構(gòu)的能量泛函，結(jié)合Rayleigh-Ritz法對(duì)未知傅里葉展開(kāi)系數(shù)求極值，將矩形板的面內(nèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值求解問(wèn)題.通過(guò)大量的數(shù)值算例，并與現(xiàn)有文獻(xiàn)中解及有限元方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了文中方法的正確性，結(jié)果還顯示文中方法具有良好的收斂速度與計(jì)算精度.

矩形板;面內(nèi)振動(dòng);改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法;任意邊界條件

矩形板作為結(jié)構(gòu)的基本構(gòu)件，已經(jīng)廣泛應(yīng)用在各個(gè)行業(yè)，例如航天飛行器、船舶、建筑等.因此，對(duì)于矩形板結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性是設(shè)計(jì)者比較關(guān)注的問(wèn)題.然而，目前對(duì)于矩形板動(dòng)態(tài)特性的研究大部分集中在彎曲振動(dòng)或者是低頻區(qū)域，而對(duì)于高頻區(qū)域的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性研究較少.近年來(lái)的研究成果［1-6］表明，在很多實(shí)際工程應(yīng)用領(lǐng)域中，需要同時(shí)考慮基礎(chǔ)構(gòu)件的面內(nèi)和彎曲振動(dòng).例如，在機(jī)械領(lǐng)域中，由于加工與安裝不確定性所帶來(lái)的誤差可能會(huì)導(dǎo)致實(shí)際加載載荷方向存在一定的角度偏差，進(jìn)而引起基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)，危害整個(gè)結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性.另外，在由板結(jié)構(gòu)組成的復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)中，其中的一個(gè)板單元在外載荷激勵(lì)下產(chǎn)生了彎曲振動(dòng)，在彎曲波傳遞至結(jié)構(gòu)連接處時(shí)會(huì)產(chǎn)生波形轉(zhuǎn)換，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面內(nèi)縱波引起相鄰結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)，在下一處結(jié)構(gòu)連接處，又會(huì)轉(zhuǎn)化為彎曲波動(dòng)形式.因此，結(jié)構(gòu)在高頻區(qū)域工作時(shí)，面內(nèi)振動(dòng)對(duì)于結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性有著重要的作用.除此之外，面內(nèi)振動(dòng)對(duì)于高頻振動(dòng)或能量傳輸也起著重要作用，而且還與周?chē)h(huán)境的輻射噪聲存在直接關(guān)系.

Bardell等［7］采用正交多項(xiàng)式并結(jié)合Rayleigh-Ritz法對(duì)矩形板的面內(nèi)振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，討論了簡(jiǎn)支、固支以及自由邊界對(duì)于結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)特性的影響.Farag等［8］采用分離變量法假設(shè)，建立了邊界條件分別為簡(jiǎn)支與固支的矩形板面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)的預(yù)報(bào)模型，并且與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的正確性.Gorman［9-11］提出了疊加法對(duì)自由、簡(jiǎn)支與固支邊界下的矩形板面內(nèi)振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行求解，并且比較了彎曲振動(dòng)與面內(nèi)振動(dòng)的簡(jiǎn)支邊界條件的區(qū)別，隨后結(jié)合面內(nèi)問(wèn)題的特殊性，給出了面內(nèi)振動(dòng)的兩類(lèi)“簡(jiǎn)支”邊界條件問(wèn)題.Xing等［12］提出了一種封閉的微分求積方法，對(duì)包含至少一組對(duì)邊為簡(jiǎn)支的矩形板的面內(nèi)振動(dòng)進(jìn)行了研究分析，與相關(guān)精確解求得的結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)該方法具有很高的計(jì)算精度.而國(guó)內(nèi)目前的研究工作大部分都關(guān)注于矩形板的彎曲振動(dòng)，對(duì)于其面內(nèi)振動(dòng)的相關(guān)研究較少，主要集中在面內(nèi)振動(dòng)的應(yīng)用上，劉劍等［13］基于矩形板的面內(nèi)振動(dòng)開(kāi)展了直線型超聲電機(jī)的研制工作，李堯臣等［14］利用矩形板的面內(nèi)振動(dòng)開(kāi)展了面內(nèi)梯度材料的研究.

文獻(xiàn)中大部分研究工作僅局限于簡(jiǎn)單的經(jīng)典邊界條件，而對(duì)于彈性邊界的面內(nèi)振動(dòng)問(wèn)題求解十分困難.然而在實(shí)際工程問(wèn)題中，存在大量的均勻彈性邊界，所以對(duì)于一般彈性邊界下的矩形板面內(nèi)振動(dòng)問(wèn)題一直是設(shè)計(jì)者關(guān)心的問(wèn)題.因此開(kāi)展一般邊界下的矩形板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)問(wèn)題求解具有實(shí)際工程需求和意義.

文中基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法建立一般邊界下矩形板面內(nèi)振動(dòng)分析模型.將面內(nèi)位移容許函數(shù)表示為包含正弦三角級(jí)數(shù)的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)，然后，利用能量原理建立起系統(tǒng)能量泛函，結(jié)合Rayleigh-Ritz法的求解步驟，將結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的特征方程組問(wèn)題.最后通過(guò)大量的數(shù)值算例對(duì)文中方法進(jìn)行驗(yàn)證.

1 矩形板面內(nèi)振動(dòng)理論模型

1.1 結(jié)構(gòu)物理模型

文中建立的一般邊界條件下矩形板結(jié)構(gòu)模型如圖1所示.在板結(jié)構(gòu)x=0，x=a，y=0，y=b的4條邊界上分別設(shè)置兩類(lèi)連續(xù)的彈性支撐，分別為法向與切向約束線性彈簧.通過(guò)改變法向與切向線性位移彈簧的剛度值大小來(lái)模擬一般邊界條件，為了后續(xù)計(jì)算方便，規(guī)定:knx0(knxa)、kny0(knyb)分別代表x=0 (a)和y=0(b)邊上法向線性位移彈簧剛度系數(shù)，kpx0(kpxa)、kpy0(kpyb)分別代表x=0(a)和y=0(b)邊上切向線性位移彈簧剛度系數(shù)，邊界約束彈簧剛度的單位為N/m2.當(dāng)邊界處的法向與切向約束線性彈簧剛度值設(shè)置為無(wú)窮大時(shí)，此時(shí)模擬的為固支(C)邊界條件.若它們的剛度值設(shè)置為零，則能夠簡(jiǎn)單地獲得自由(F)邊界條件.而對(duì)于面內(nèi)振動(dòng)，其存在兩種類(lèi)型的簡(jiǎn)支邊界條件情況［11］.第1類(lèi)“簡(jiǎn)支”邊界條件表示為邊界切向方向的位移為零，而法向的應(yīng)力為零，也就等效于切向彈簧剛度值為無(wú)窮大，而法向彈簧剛度值為零，在這里用符號(hào)SS1表示.第2類(lèi)“簡(jiǎn)支”邊界條件表示為邊界法向方向位移為零，而切向方向應(yīng)力為零，等效于邊界處的法向彈簧剛度值為無(wú)窮大，而切向彈簧剛度為零，在這里用符號(hào)SS2表示.若邊界處的剛度值大小在上述取值之間，則能夠得到均勻的彈性邊界.邊界條件符號(hào)排列順序如圖1所示.

圖1 彈性邊界條件下矩形板的結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Rectangular plate structure model in general boundary conditions

1.2 位移函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

矩形板面內(nèi)振動(dòng)的控制微分方程可表示為［12］

式中，u為x方向的面內(nèi)振動(dòng)位移函數(shù)，v為y方向的面內(nèi)振動(dòng)位移函數(shù)，cL=［E/ρ(1-μ2)］1/2，ρ為密度，E和μ分別為板材料的楊氏模量與泊松比.

根據(jù)彈性力學(xué)平面應(yīng)力關(guān)系，正應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系如下:

在彈性邊界處的邊界條件可以成如下情況:

在x=0處，

在x=a處，

在y=0處，

在y=b處，

矩形板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)位移容許函數(shù)通?？梢员槐硎緸?/p>

其中:Amn、Bmn為其未知傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù);Xm(x)和Yn(y)為保持與x方向和y方向具有相同邊界條件的梁特征函數(shù).而梁的特征函數(shù)往往是由傳統(tǒng)的傅里葉級(jí)數(shù)和雙曲線函數(shù)線性疊加得到.它們的未知系數(shù)由邊界條件決定，因此，每當(dāng)邊界條件發(fā)生變化時(shí)，梁的位移容許函數(shù)也需要發(fā)生相應(yīng)的變化.假如不發(fā)生相應(yīng)變化，那么可以發(fā)現(xiàn)將基于傳統(tǒng)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的容許函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行相關(guān)的偏微分運(yùn)算并代入表達(dá)式(6)和(7)，會(huì)在邊界處產(chǎn)生吉布斯或者不連續(xù)現(xiàn)象.然而，對(duì)板結(jié)構(gòu)而言，存在大量的邊界條件，針對(duì)不同邊界的求解將是一個(gè)非常繁瑣的求解過(guò)程，實(shí)際應(yīng)用中十分不便.

因此，基于上述原因，為了克服位移容許函數(shù)在邊界處的不連續(xù)或者跳躍現(xiàn)象，文中提出了一種新的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法，其能夠適應(yīng)結(jié)構(gòu)的一般邊界條件，也就意味著該位移級(jí)數(shù)表達(dá)式能夠滿(mǎn)足任意邊界條件和控制微分方程.下文以x方向的梁特征函數(shù)為例來(lái)進(jìn)行闡述.

x方向的特性梁容許函數(shù)可以表示為

式中:am為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)，am=m/a;輔助函數(shù)P(x)為任意連續(xù)函數(shù).由于新的位移容許函數(shù)需要滿(mǎn)足任意邊界條件，因此結(jié)合邊界條件式(6)和(7)，可知P(x)必須具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).那么P(x)必須滿(mǎn)足以下條件:

式中，β0和β1代表任意的不為零的導(dǎo)數(shù)值.

除了滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)任意邊界條件，還需要滿(mǎn)足控制微分方程，可知，P(x)還應(yīng)具有二階導(dǎo)數(shù)，因此P(x)至少含有兩項(xiàng).

將式(14)代入式(6)和(7)的邊界條件中，可得

從上述式子可知，系數(shù)cn(n=1，2)是與邊界約束條件β0、β1相關(guān)的，可以看出，采用改進(jìn)后的傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)描述的梁特征函數(shù)適用于任意邊界條件下的振動(dòng)求解問(wèn)題.從數(shù)學(xué)意義上，

代表一個(gè)典型的誤差容許函數(shù)，在整個(gè)求解域內(nèi)是周期連續(xù)光滑的和具有連續(xù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且具有良好的收斂性.因此，文中所提出的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法由于輔助項(xiàng)的增加具有以下優(yōu)勢(shì):能夠消除原有級(jí)數(shù)展開(kāi)在邊界處存在的不連續(xù)現(xiàn)象，使之能夠適應(yīng)于任意邊界條件，這在實(shí)際工程應(yīng)用上具有十分重要的意義;能夠極大地改善傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性.

綜上所述，可知P(x)是一個(gè)未知的函數(shù)表達(dá)式，沒(méi)有具體的表達(dá)形式.文中將采用三角正弦級(jí)數(shù)來(lái)進(jìn)行表示，并且考慮整體公式的簡(jiǎn)潔性，與原有的傳統(tǒng)三角余弦級(jí)數(shù)整合為一個(gè)整體表達(dá)式.因此，文中兩種位移函數(shù)將采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)［15-16］來(lái)展開(kāi)表示:

φam(x)、φbn(y)的表達(dá)式為

從表達(dá)式(18)-(19)可知，當(dāng)m、n取值從0到無(wú)窮大時(shí)，此時(shí)的表達(dá)式可以構(gòu)造成一個(gè)完整的無(wú)限維求解域，由前面的敘述可知，該表達(dá)式代表傳統(tǒng)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，在邊界處的一階導(dǎo)數(shù)存在不連續(xù)，二階導(dǎo)數(shù)在邊界處存在跳躍現(xiàn)象，對(duì)于一般的彈性邊界條件并不適用.然而，文中在傳統(tǒng)的傅里葉余弦三角級(jí)數(shù)表達(dá)式上，在每個(gè)方向上引入兩項(xiàng)單項(xiàng)傅里葉正弦三角級(jí)數(shù)項(xiàng)(對(duì)應(yīng)的m，n=-2，-1)作為輔助函數(shù)，從前面輔助函數(shù)的證明可知，由于結(jié)構(gòu)的控制微分方程為二階，并且要求邊界條件一階連續(xù)可導(dǎo)，因此文中在每個(gè)方向上只需引入兩項(xiàng)輔助函數(shù)項(xiàng)即可滿(mǎn)足要求.從數(shù)學(xué)上可知，傅里葉正弦三角級(jí)數(shù)的引入對(duì)于Θ(x，y)∈S:(［0，a］×［0，b］)能夠展開(kāi)并且一致收斂于任意函數(shù)g(x，y)∈C1.也就意味著改進(jìn)傅里葉三角級(jí)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在整個(gè)結(jié)構(gòu)區(qū)域連續(xù)并且二階導(dǎo)數(shù)在邊界上各點(diǎn)存在，可以滿(mǎn)足任意邊界條件(6)-(9).但是文中方法不只局限于矩形板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)求解，對(duì)于不同結(jié)構(gòu)振動(dòng)求解問(wèn)題而言，輔助函數(shù)的表達(dá)式也不盡相同，對(duì)于輔助函數(shù)的項(xiàng)數(shù)可按照前面所推導(dǎo)的步驟，只需要同時(shí)滿(mǎn)足控制微分方程和任意邊界條件要求即可，例如對(duì)于矩形板的彎曲振動(dòng)而言，由于邊界條件存在三階連續(xù)可導(dǎo)，而控制微分方程存在四階可導(dǎo)，因此需要四項(xiàng)輔助函數(shù)(對(duì)應(yīng)的m，n=-4，-3，-2，-1).

1.3 基于能量原理的Rayleigh-Ritz方法求解

文中將采用Rayleigh-Ritz方法對(duì)結(jié)構(gòu)能量進(jìn)行表示，建立拉格朗日函數(shù)方程，然后將未知展開(kāi)系數(shù)當(dāng)作廣義變量，并對(duì)廣義變量進(jìn)行求極值運(yùn)算，得到關(guān)于結(jié)構(gòu)固有頻率的廣義特征線性方程，通過(guò)求解線性方程組就可以求得矩形板結(jié)構(gòu)的固有頻率等振動(dòng)特性參數(shù).

矩形板結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能由兩部分組成，分別為板結(jié)構(gòu)自身的應(yīng)變勢(shì)能Vplate和模擬彈性邊界時(shí)儲(chǔ)存在邊界處的彈簧勢(shì)能Vspring，可以分別表示為

當(dāng)為一般彈性邊界條件時(shí)，將彈簧考慮為無(wú)質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)能為

式中，p、h分別表示矩形板的質(zhì)量密度、厚度，ω為結(jié)構(gòu)固有頻率.

板結(jié)構(gòu)的拉格朗日函數(shù)為

將式(22)-(24)代入拉格朗日函數(shù)(25)中，對(duì)未知傅里葉展開(kāi)系數(shù)求極值:

結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題將轉(zhuǎn)換為一個(gè)求特征值與特征向量的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題，將其矩陣化可以表示為

式中:K=Ks+Kp，Ks是通過(guò)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變勢(shì)能得到的對(duì)稱(chēng)剛度矩陣，Kp是通過(guò)儲(chǔ)存在邊界的彈簧勢(shì)能得到對(duì)稱(chēng)剛度矩陣;M是通過(guò)結(jié)構(gòu)動(dòng)能得到的對(duì)稱(chēng)質(zhì)量矩陣;它們可以表示為

E為由未知傅里葉系數(shù)組成的列向量，可以用下式進(jìn)行表示:

式(27)代表一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的特征方程組，矩形板面內(nèi)振動(dòng)的固有頻率及其特征向量可以通過(guò)求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題而簡(jiǎn)單地獲得.每一個(gè)特征向量實(shí)際上包含著對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的所有傅里葉展開(kāi)系數(shù)，將它們代入位移函數(shù)式(18)、(19)即可得到真實(shí)模態(tài)振型.如果需要對(duì)某種載荷作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行求解，僅需在系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)中增加外界載荷的做功項(xiàng)即可，最終在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)方程(27)的右側(cè)出現(xiàn)一力向量.一旦矩形板結(jié)構(gòu)的位移確定后，其他感興趣變量便可以通過(guò)對(duì)位移函數(shù)直接進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)操作而簡(jiǎn)單得到.

2 數(shù)值結(jié)果與分析

采用1.3節(jié)的理論模型，對(duì)不同邊界下矩形板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)特性進(jìn)行了求解，將采用文中方法得到的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)精確解以及有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證文中方法的合理性.在這些有限元數(shù)值算例中，其材料參數(shù)如下:密度ρ=7800 kg/m3，楊氏模量E=2.0×1011Pa，泊松比μ=0.3，有限元分析網(wǎng)格尺寸為0.01m×0.01m.而為了和現(xiàn)有文獻(xiàn)解及有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)一對(duì)比，在后續(xù)算例描述中，將所有的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行無(wú)量綱化處理，計(jì)算公式為Ω=ωa[ρ(1-μ2)/E]1/2.

首先對(duì)文中方法的收斂性與收斂速度進(jìn)行研究，考慮完全固支(C-C-C-C)的邊界條件，由上節(jié)的物理模型描述可知，面內(nèi)振動(dòng)C-C-C-C邊界條件可以看作將所有的約束彈簧剛度值設(shè)置為無(wú)窮大的一種極端特殊情況.表1給出了在不同的截?cái)囗?xiàng)數(shù)與長(zhǎng)寬比下該結(jié)構(gòu)前6階頻率參數(shù)，為了進(jìn)行對(duì)比分析，文獻(xiàn)［7］中解作為參考值也在表1中列出.通過(guò)表1可以看出，與文獻(xiàn)［7］中解相比文中方法取較小截?cái)囗?xiàng)數(shù)就能夠得到足夠精度的結(jié)果，并且隨著截?cái)囗?xiàng)數(shù)的增加，求解的結(jié)果更加趨于一致，因此證明文中方法還具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性.不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)M、N的值都取14時(shí)，其頻率參數(shù)基本不發(fā)生變化，所以可以認(rèn)為在此截?cái)囗?xiàng)數(shù)下，文中方法的求解結(jié)果已經(jīng)完全一致收斂，因此在后續(xù)的數(shù)值計(jì)算中相應(yīng)的采取截?cái)囗?xiàng)數(shù)M=N=14.

表1 矩形板面內(nèi)固支邊界條件下長(zhǎng)寬比與截?cái)嘀挡煌瑫r(shí)的前6階固有頻率參數(shù)Table 1 The first six-order frequency parameters in the C-C-CC boundary condition with different aspect ratios and different truncated numbers

文中還將對(duì)自由邊界條件(F-F-F-F)下結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)特性進(jìn)行分析，面內(nèi)振動(dòng)的F-F-F-F邊界條件可以看作將所有彈簧剛度值設(shè)置為零的另外一種極端特殊情況.表2給出了F-F-F-F邊界條件下各種長(zhǎng)寬比矩形板前6階頻率參數(shù)，作為參考數(shù)據(jù)，現(xiàn)有文獻(xiàn)［7］中精確解也在表2中列出.從表2可以看出，文中方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［7］中精確解吻合良好.

表2 不同長(zhǎng)寬比下F-F-F-F結(jié)構(gòu)的前6階固有頻率參數(shù)1)Table 2 The firstsix-order frequency parameters in the F-F-F-F boundary condition with different aspect ratios

由理論模型可知，在矩形板的面內(nèi)振動(dòng)存在兩類(lèi)“簡(jiǎn)支”邊界條件，表3給出了在第一類(lèi)簡(jiǎn)支邊界條件SS1-SS1-SS1-SS1下長(zhǎng)寬比不同時(shí)其前6階頻率參數(shù)，表4給出了不同長(zhǎng)寬比下SS1-F-SS1-F混合邊界結(jié)構(gòu)前6階頻率參數(shù)，表5給出了不同長(zhǎng)寬比下SS1-C-SS1-C混合邊界結(jié)構(gòu)前6階頻率參數(shù).從表3到表5可以看出，文中的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果吻合良好，文中方法良好的計(jì)算精度再次得以體現(xiàn).為了更好地理解第一類(lèi)簡(jiǎn)支邊界與第二類(lèi)簡(jiǎn)支邊界的區(qū)別，保持表4、表5其他參數(shù)不變，只將SS1邊界換成SS2邊界，其相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果在表6與表7中給出.通過(guò)表4與表6、表5與表7對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩類(lèi)簡(jiǎn)支邊界條件對(duì)結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)特性影響具有較大的差異，為了更加形象地理解兩者之間的差異，通過(guò)對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，SS2邊界相對(duì)SS1邊界來(lái)說(shuō)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響更加強(qiáng)烈.

表3 不同長(zhǎng)寬比下SS1-SS1-SS1-SS1結(jié)構(gòu)的前6階固有頻率參數(shù)Ω1)Table 3 The first six-order frequency parametersΩin the SS1-SS1-SS1-SS1 boundary condition with different aspect ratios

表4 不同長(zhǎng)寬比下SS1-F-SS1-F結(jié)構(gòu)的前6階固有頻率參數(shù)Ω1)Table 4 The first six-order frequency parametersΩin the SS1-F-SS1-F boundary condition with differentaspect ratios

由前面理論模型的分析可知，文中不僅僅只局限于簡(jiǎn)單的經(jīng)典邊界條件，均勻的彈性邊界條件也是文中所關(guān)注的一個(gè)重點(diǎn).因此，最后給出一個(gè)彈性邊界條件算例，其結(jié)構(gòu)邊界條件為 SS1-SS1-SS2-SS2，除此以外，在x=0、y=0邊界存在法向彈性約束和在x=a、y=b邊界存在切向彈性約束，四邊邊界的彈性約束剛度值大小相等，大小為nxa=nyb=px0=pyb=.表8給出了在不同值下結(jié)構(gòu)前6階頻率參數(shù)，ANSYS的計(jì)算結(jié)果也列在表8中作為參考依據(jù).當(dāng)約束彈簧剛度值取無(wú)窮大時(shí)，通過(guò)與表1的計(jì)算結(jié)果對(duì)比可知，此時(shí)矩形板結(jié)果的邊界條件完全退化為完全固支邊界.圖2給出了在=1時(shí)，結(jié)構(gòu)前6階模態(tài)振型圖.通過(guò)圖2可以發(fā)現(xiàn)，x=0、y=0法向約束彈簧剛度的改變對(duì)于結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)信息的改變更為敏感，因此，法向約束在整個(gè)結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)占據(jù)主要作用，也就意味著能夠通過(guò)改變法向約束彈簧剛度值的大小來(lái)改變結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)模態(tài).

表7 不同長(zhǎng)寬比下SS2-C-SS2-C結(jié)構(gòu)的前6階固有頻率參數(shù)Ω1)Table 7 The first six-order frequency parametersΩin the SS2-C-SS2-C boundary condition with different aspect ratios

表8 在邊界x=0、y=0法向約束和x=a、y=b切向約束的邊界條件下SS1-SS1-SS2-SS2結(jié)構(gòu)的前6階固有頻率參數(shù)Ω1)Table 8 The firstsix-order frequency parametersΩfor a SS1-SS1-SS2-SS2 square platewith normal restraints at x=0 and y =0 aswell as tangential restraints at x=a and y=b

圖2 在邊界x=0、y=0法向約束和x=a、y=b切向約束且=1時(shí)邊界條件為SS1-SS1-SS2-SS2方板的前6階面內(nèi)結(jié)構(gòu)模態(tài)Fig.2 The first six-model shape for an SS1-SS1-SS2-SS2 square plate with normal restraints x=0 and y=0 as well as tangential restraints at x=a and y=b when=1

3 結(jié)論

文中基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法建立了一般邊界條件下矩形板的面內(nèi)自由振動(dòng)分析模型.該方法主要是將結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)位移函數(shù)利用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式進(jìn)行展開(kāi).在結(jié)構(gòu)的邊界處采用兩類(lèi)彈簧均勻布置來(lái)模擬任意邊界支撐條件.將未知系數(shù)作為廣義變量，結(jié)合Rayleigh-Ritz法對(duì)未知傅里葉展開(kāi)系數(shù)求極值，將矩形板的面內(nèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題.通過(guò)大量的數(shù)值算例驗(yàn)證了文中方法的正確性和可靠性，并得出以下結(jié)論:

(1)任意邊界條件下的矩形板面內(nèi)容許函數(shù)可表示為一種通用的改進(jìn)傅里葉三角級(jí)數(shù)形式;

(2)對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)嗪?，隨著截?cái)囗?xiàng)數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果快速收斂，并且數(shù)值穩(wěn)定性很好;

(3)當(dāng)改變邊界條件時(shí)，文中方法不需重新推導(dǎo)及編程，只需改變邊界約束彈簧剛度即可快速獲得板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)特性.

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In-Plane Free Vibration of Rectangular Plates in Arbitrary Boundary Conditions

Wang Qing-shan Shi Dong-yan Luo Xiang-cheng
(College of Mechanical and Electrical Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，Heilongjiang，China)

This paper dealswith the in-plane free vibration of rectangular plates in arbitrary boundary conditions via the improved Fourier seriesmethod(IFSM).In the investigation，first，the admissible functions of the plate displacement are expressed as an improved Fourier sine series to overcome the relevant discontinuities or jumps of elastic boundary conditions.Then，the unknown expansion coefficients of the admissible functions are considered as generalized variables and are determined by using the Rayleigh-Ritz technique combiningwith the energy functional based on the energy theory.Thus，the common in-plane vibration problem is converted into a standard eigenvalue problem.Finally，the results of rectangular plates in various boundary conditions are presented and are compared with those in the literature and with those obtained by the finite elementmethod.It is found that the proposed method is of strong reliability，good convergence and high accuracy.

rectangular plate;in-plane vibration;improved Fourier seriesmethod;arbitrary boundary condition

s:Supported by the Key Program of Chinese Defense Advance Research Foundation of China(401040XXX0103) and the National Natural Science Foundation of China(51209052)

O342;TB532

10.3969/j.issn.1000-565X.2015.06.020

1000-565X(2015)06-0127-08

2014-06-16

國(guó)防預(yù)研重點(diǎn)項(xiàng)目(401040XXX0103);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51209052)

王青山(1989-)，男，博士生，主要從事結(jié)構(gòu)減振降噪技術(shù)研究.E-mail:wangqingshanxlz@hotmail.com

?通信作者:史冬巖(1965-)，女，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法學(xué)研究.E-mail:shidongyan@hrbeu.edu.cn