☉江蘇省海門中學(xué) 李乃洋

尋題“源”，為解題教學(xué)支招
——從江蘇2015年高考數(shù)學(xué)卷第19題說(shuō)起

☉江蘇省海門中學(xué) 李乃洋

數(shù)學(xué)教學(xué)和高考試題的特點(diǎn)決定了解題是高三教學(xué)的主要活動(dòng)，但數(shù)學(xué)解題往往會(huì)在高考后留下一種印象：高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)題做的不少，很多高考題看起來(lái)也懂，為什么考試時(shí)卻做不下去呢？用最近流行的說(shuō)法即是“題題有思路，路路都不通”.筆者以2015年江蘇高考試卷第19題為例，簡(jiǎn)單敘述解題教學(xué)時(shí)，通過(guò)尋找題“源”，并在解題中反思研究試題的價(jià)值，進(jìn)而提出幾個(gè)供大家參考的解題教學(xué)想法.

一、試題呈現(xiàn)

題目：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b（a、b∈R）.

（Ⅰ）試討論f（x）的單調(diào)性；

（ⅠⅠ）若b=c-a（實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是（-∞，-3）∪求c的值.

二、試題社會(huì)反響

高考后學(xué)生對(duì)整張?jiān)嚲砀锌^多的是：題題有思路，路路又不通，尤其是基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的考生更為明顯，此題就是很好的代表.究竟試題為何讓學(xué)生有這樣的感覺(jué)，對(duì)我們的教學(xué)又有什么啟發(fā)，這是本文立意的起點(diǎn).

三、試題評(píng)析

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題的能力，第一問(wèn)屬于中等題，第二問(wèn)屬于難題.

第一問(wèn)題源：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，蘇教版選修課本1-1以及2-1，結(jié)論是：設(shè)函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上f′（x）>0，那么f（x）為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果f′（x）<0，那么f（x）為該區(qū)間上的減函數(shù).簡(jiǎn)單地說(shuō)，求f（x）的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求解不等式f′（x）>0或f′（x）<0.

第一問(wèn)解題設(shè)計(jì)如下所示.

（1）求導(dǎo).f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a）.

（2）解不等式.令f′（x）>0，即x（3x+2a）>0，因?yàn)榉匠蘹（3x+2a）=0的兩根大小不確定，分類討論得：①當(dāng)即a<0時(shí)②當(dāng)即a=0時(shí)但f（x）在x=0處連續(xù)；③當(dāng)即a<0時(shí)

（3）確定單調(diào)性.綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f（x）在區(qū)間和（0，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

第一問(wèn)解題障礙：含參數(shù)（字母）問(wèn)題需要分類討論，學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中，對(duì)涉及解含參數(shù)一元二次不等式（函數(shù)與方程）的分類標(biāo)準(zhǔn)或依據(jù)不夠熟練，制約了本小題的得分.

第二問(wèn)題源：（1）掌握零點(diǎn)的存在性判斷方法，在蘇教版必修1中零點(diǎn)存在性定理描述為：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)；（2）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用：包括利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求函數(shù)極值問(wèn)題，進(jìn)而可以方便我們利用函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)的草圖.在蘇教版必修1課本3.3.2節(jié)中例題2及3.3.3節(jié)例題2中均涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)及圖像.

第二問(wèn)解題設(shè)計(jì)如下所示.

（1）理解題意，數(shù)形結(jié)合，得出等價(jià)關(guān)系.由（Ⅰ）知f（x）的兩個(gè)極值為作出f（x）的草圖，如圖1，則要使函數(shù)f（x）有3個(gè)不同零點(diǎn)即

圖1

（2）合理轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確計(jì)算.因?yàn)閎=a-c，則由題意關(guān)于a的不等式的解集恰為又不等式可變形為c）>0，類比一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的關(guān)系，令則g（a）的草圖如圖2所示，所以是對(duì)應(yīng)方程g（a）=0的根，則c-1）=0②，g（-3）=0③.由①②③同時(shí)成立知c=1.

圖2

（3）回顧反思，檢驗(yàn)作答.上述分析中我們利用了不等式解集與對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系，是一個(gè)必要條件，即不能保證問(wèn)題的等價(jià)性，所以求得的值要回代以檢驗(yàn)合理性（充分性）.檢驗(yàn)：當(dāng)c=1時(shí)，不等式為（1-a）·等價(jià)于（1-a）（a+3）（2a-3）2<0，所以a的取值范圍是，符合題意.

四、試題研究?jī)r(jià)值

1.把握命題方向——題“源”于課本，高于教材

江蘇高考數(shù)學(xué)試題近幾年命題不在題面上刻意為難考生，命題主要圍繞考試大綱，結(jié)合現(xiàn)用教材來(lái)挖掘試題素材，這使得命題更具原創(chuàng)特點(diǎn)以及貼近學(xué)生實(shí)際，學(xué)生在實(shí)際解題時(shí)對(duì)題目本身沒(méi)有太強(qiáng)陌生感，這可以理解為命題者選材源于課本，但難度要求實(shí)際高于教材的體現(xiàn).所以要想在高考取得較好的教與學(xué)的效果，平時(shí)對(duì)課本的關(guān)注就是對(duì)高考題“源”的把握，而最基本的題源便是教材.所以教師在平時(shí)教學(xué)中要把教材中的概念和例題、作業(yè)作為可能的高考題“源”來(lái)認(rèn)真研究，讓復(fù)習(xí)回歸數(shù)學(xué)教學(xué)的本真.

2.探究試題變遷——題千變?nèi)f化，法不離宗

對(duì)于2015年江蘇卷第19題，在平時(shí)的教學(xué)復(fù)習(xí)中我們有沒(méi)有遇到過(guò)類似的問(wèn)題呢？我們不妨看以下兩道試題.

試題1：（2012年全國(guó)卷）已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c的可能取值集合為_(kāi)_________.

問(wèn)題1：若a=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；

問(wèn)題2：若函數(shù)f（x）存在3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（1）以少勝多，重在優(yōu)化.

這兩題均以三次函數(shù)為背景，研究的方法具有相似性和普遍性，歷屆高三復(fù)習(xí)中都會(huì)遇到類似問(wèn)題，而且不止一次，所以教學(xué)要達(dá)到學(xué)生會(huì)做這個(gè)目的，不僅在于多練，還要重視一題多用，以少勝多.如兩題均考查函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題（即函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題），在教學(xué)中首先思考試題的本源在哪兒，解決的方法有哪些，常規(guī)的方法是什么，通過(guò)比較又有什么收獲，改變問(wèn)題是否可以命制新的問(wèn)題，帶著一連串的思考，我們得到以下幾點(diǎn)感想.

①方法不在巧，重在得當(dāng).

對(duì)上述兩題，試題1首先可選用分離常數(shù)，化歸為函數(shù)y=c與函數(shù)y=-x3+3x有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的技巧解題.也可直接研究函數(shù)y=x3-3x+c的單調(diào)性與極值情況，再考慮f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)條件，從而可求c的值.對(duì)于試題2的問(wèn)題2，方法的合理性是本題解題簡(jiǎn)潔與成功的關(guān)鍵.我們可以設(shè)計(jì)如下解法.f′（x）=2x2-ax=由題意知函數(shù)f（x）的極值，所以得為所求范圍.如果這里再選用分離常數(shù)來(lái)求解，就給人以會(huì)而無(wú)法下手的感覺(jué)，所以只有平時(shí)扎實(shí)的訓(xùn)練與對(duì)比反思才能為高考中合理解題提供幫助！

②變題不在繁，變?cè)凇包c(diǎn)”上.

這里“點(diǎn)”指的是教材的重點(diǎn)，考綱的重點(diǎn).如針對(duì)試題2可給出變題2-1：討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；變題2-2：求函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，2］上的最值；變題2-3：判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上是否有極小值，并說(shuō)明理由.上述三個(gè)變題僅從導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用角度來(lái)出題，便可達(dá)到鞏固學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和方法的掌握訓(xùn)練，體現(xiàn)有效時(shí)間落實(shí)到重點(diǎn)上，而不是盲目做題、刷題，忽略了高三復(fù)習(xí)的本來(lái)目的.

（2）逆向思考，意義非凡.

荷蘭數(shù)學(xué)教育家H．Freudenthal指出，反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力.數(shù)學(xué)解題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)最基礎(chǔ)、最普遍的數(shù)學(xué)活動(dòng)，所以反思理所當(dāng)然是教與學(xué)中重要的環(huán)節(jié).反思會(huì)帶來(lái)很多收獲，尤其是研究試題的時(shí)候.如對(duì)于試題2，若逆向思考，即已知函數(shù)中實(shí)數(shù)探究函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，能否調(diào)整a的范圍改變此問(wèn)題的結(jié)果呢？答案是肯定的.這樣類似的逆向思考，是變式教學(xué)的一種創(chuàng)新，對(duì)課堂上習(xí)慣了思維定式的學(xué)生的解題有著非凡的觸動(dòng)！現(xiàn)在再來(lái)看2015年江蘇卷第19題，對(duì)此題若逆向思考可得這樣一題：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+1-a，當(dāng)函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.這便是平時(shí)復(fù)習(xí)中常規(guī)的已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍問(wèn)題，同學(xué)們只要結(jié)合導(dǎo)數(shù)與不等式知識(shí)很容易解決，但高考中倒過(guò)來(lái)設(shè)置問(wèn)題就變得不同凡響，所以日常教師從命題的充分必要角度來(lái)研究試題變題教學(xué)還是很值得思考的.

3.尊重考綱導(dǎo)向——題有“邊界”，練有方向

江蘇自2004年開(kāi)始自主命題，每年發(fā)布一次新高考考試大綱，對(duì)命題指導(dǎo)思想、考試內(nèi)容及要求、考試形式及試卷結(jié)構(gòu)都作出說(shuō)明，這本身就是對(duì)歷年高考命題和復(fù)習(xí)的指導(dǎo)要求，也是提醒學(xué)生和教師在教學(xué)中不要過(guò)分依賴題海戰(zhàn)術(shù)，而要針對(duì)性訓(xùn)練，這樣既能提高效率，也不違背教育的原有目標(biāo).所以為了適應(yīng)考試要求，在緊張的高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師和學(xué)生對(duì)于考綱中的內(nèi)容還是要細(xì)致研讀，尤其是每年其中內(nèi)容的變化之處.如2015年數(shù)學(xué)考綱中把“函數(shù)與方程”從原先的A級(jí)要求變?yōu)锽級(jí)要求，體現(xiàn)考查力度的重視或方法的重要.如2015年江蘇數(shù)學(xué)卷的第19題第二問(wèn)零點(diǎn)問(wèn)題，事實(shí)上也可看為對(duì)函數(shù)與方程思想的一種間接考查.

筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)中要圍繞考試要求結(jié)合教材和大綱，立足有價(jià)值的例題和試題，借助合理的變形，引導(dǎo)學(xué)生去探究、對(duì)比、總結(jié)提煉和反思解題，并使其內(nèi)化為學(xué)生的自覺(jué)行為，正如波利亞在《怎樣解題》一書中所說(shuō)的“你能否一眼看出結(jié)論？你能否有別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)論？你能否把這個(gè)題目或這種方法用于解決其他的問(wèn)題？”這告訴我們，解題需要尋找題“源”，并通過(guò)問(wèn)題反思找到類似的解題方法進(jìn)而實(shí)施解題.