☉江蘇省石莊高級(jí)中學(xué) 肖雄偉

接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅
——對(duì)2015年一道高考題的拓展研究

☉江蘇省石莊高級(jí)中學(xué) 肖雄偉

高考試題是命題組集體智慧的結(jié)晶，一道具有典型性、代表性的試題不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能起到高校選拔的功能，還應(yīng)具有進(jìn)一步探索、研究的價(jià)值.筆者對(duì)2015年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1卷理科第20題進(jìn)行了思考探究并做引申推廣，歡迎指正.

一、題目再現(xiàn)

（2015年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1卷理科第20題）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：與直線y=kx+a（a＞0）交與M、N兩點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

本題綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)點(diǎn)有求切線方程，動(dòng)直線中的定量關(guān)系等，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想.試題難度適中，立意深刻，題面新穎，能較全面地檢查學(xué)生平面解析幾何的學(xué)習(xí)水平.

（Ⅱ）存在符合題意的點(diǎn)P（0，-a）.（過程略）

二、拓展研究

解完此題，筆者不禁思考，直線恒過點(diǎn)（0，a），與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可否將題中的條件和結(jié)論一般化呢？答案是肯定的，于是得到以下結(jié)論.

結(jié)論1：已知拋物線C：x2=2py（p>0），如果過定點(diǎn)（0，t）（t>0）且不與y軸垂直的直線l與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，則在y軸上存在點(diǎn)P（0，-t），使得∠OPM=∠OPN.

證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+t（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.將y=kx+t代入C并整理得x2-2pkx-2pt=0，則x1+x2=2pk，x1x2=-2pt.即∠OPM=∠OPN.結(jié)論成立.

對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，結(jié)論也是成立的.

結(jié)論2：已知拋物線C：y2=2px（p>0），過定點(diǎn)（t，0）（t> 0）且不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，則在x軸上存在點(diǎn)P（-t，0），使得∠OPM=∠OPN.

證明方法同上，此處略.

我們知道，橢圓、雙曲線、拋物線都屬于圓錐曲線，上述結(jié)論類比到橢圓與雙曲線上也成立嗎？答案是肯定的，于是就有了如下的結(jié)論.

證明：設(shè)直線l：x=my+t（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由直線l與橢圓C的方程聯(lián)立得：（a2+b2m2）y2+2b2mty+

因此∠OPM=∠OPN.

證明可仿照前面幾個(gè)結(jié)論的方法證得，此處不再贅述.

波利亞說，好問題就像蘑菇，它們是成群出現(xiàn)的，在解決一個(gè)問題以后，自然就會(huì)思考此問題相應(yīng)的逆命題是否成立，通過探究可以發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論.

三、逆向思考、變式探究

結(jié)論5：已知拋物線C：y2=2px（p>0），點(diǎn)P（-t，0）（t> 0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，若∠OPM=∠OPN，則直線l過定點(diǎn)（t，0）.

證明：設(shè)直線l：x=my+n（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由直線l與拋物線C的方程得y2-2pmy-2pn=0，則y1+y2= 2pm，y1y2=-2pn.

由∠OPM=∠OPN，得kPM+kPN=0，即2m·（-2pn）+（n+ t）·2pm=0，解得n=t，從而直線l的方程為x=my+t，故直線l過定點(diǎn)（t，0）.

證明：設(shè)直線l：x=my+n（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線l與橢圓C的方程得（a2+b2m2）y2+2b2mny+b2（n2-

因?yàn)椤螼PM=∠OPN，所以kPM+kPN=0，即2m·解得n=t，從而直線l的方程為x=my+t，故直線l過定點(diǎn)（t，0）.

結(jié)論的證明可仿照結(jié)論5、6的證明方法證得，此處不再贅述.

四、高考鏈接

此類問題的出現(xiàn)不是第一次，在前幾年的高考中也出現(xiàn)過，今年的四川卷理科第20題也考到類似的背景.

（1）求橢圓E的方程.

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

五、結(jié)束語(yǔ)

高考題是考生復(fù)習(xí)備考的至尊法寶，認(rèn)真研究高考題，發(fā)掘其真正的內(nèi)涵，探索出新的規(guī)律性結(jié)論，并運(yùn)用于教學(xué)之中，可以豐富我們的教學(xué)，使我們的教學(xué)理念更新，解題的手段升級(jí).因此，高中一線教師必須養(yǎng)成經(jīng)常研究高考試題的好習(xí)慣，真正領(lǐng)會(huì)高考試題命制的背景、意圖及其蘊(yùn)含著的真諦，只有通過解題過程的分析、延伸、拓廣，才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)充滿生機(jī)和活力，使學(xué)生充分享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，樂教樂學(xué)，才是數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界！