劉棕成，董新民，薛建平，張立鵬

（1．空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安710038；2．空軍西安飛行學(xué)院，陜西西安710306）

一類(lèi)不確定執(zhí)行器非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制

劉棕成1，董新民1，薛建平1，張立鵬2

（1．空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安710038；2．空軍西安飛行學(xué)院，陜西西安710306）

針對(duì)一類(lèi)帶不確定執(zhí)行器非線性的控制系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法。建立了包括死區(qū)、齒隙和“類(lèi)齒隙”磁滯特征的非線性執(zhí)行器模型。通過(guò)結(jié)合所建立的模型和Nussbaum增益技術(shù)，解決了當(dāng)執(zhí)行器非線性不確定時(shí)的控制問(wèn)題。所設(shè)計(jì)的方案不需知道非線性特征參數(shù)邊界，并且當(dāng)非線性特征為死區(qū)時(shí)，其坡度可以為時(shí)變的。引入了自適應(yīng)補(bǔ)償項(xiàng)消除建模誤差和干擾的影響。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

自適應(yīng)控制；執(zhí)行器非線性；Nussbaum函數(shù)；非線性系統(tǒng)

0 引 言

執(zhí)行器非線性廣泛存在于實(shí)際控制系統(tǒng)中，常見(jiàn)的類(lèi)型有死區(qū)、齒隙和“類(lèi)齒隙”磁滯［1］等。這三大類(lèi)型都是非光滑的，并且普遍存在于機(jī)械連接、液壓伺服系統(tǒng)、壓電系統(tǒng)和電子伺服系統(tǒng)中。它們不僅會(huì)給控制系統(tǒng)帶來(lái)穩(wěn)態(tài)誤差，還會(huì)嚴(yán)重影響系統(tǒng)的控制性能，甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。近年來(lái)許多學(xué)者針對(duì)這些執(zhí)行器非線性的系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛研究［13］，以期消除其對(duì)控制系統(tǒng)的影響，并取得了一些顯著的研究成果。

文獻(xiàn)［4］提出了一種自適應(yīng)逆的方法，在執(zhí)行器非線性特征參數(shù)都為常數(shù)的前提下，該方法可以通過(guò)構(gòu)造死區(qū)［4］、齒隙［5］和磁滯［6］的自適應(yīng)逆，將其與控制對(duì)象級(jí)聯(lián)起來(lái)以消除執(zhí)行器非線性的影響。文獻(xiàn)［7- 8］通過(guò)構(gòu)造全局線性化模型將死區(qū)當(dāng)作一個(gè)線性輸入與有界非線性擾動(dòng)，從而設(shè)計(jì)了能克服死區(qū)影響的魯棒自適應(yīng)控制方法。然而遺憾的是，這些方法都是在執(zhí)行器非線性類(lèi)型已知的條件下才能有效。值得注意的是，在實(shí)際工程中執(zhí)行器的非線性輸出往往都是難以準(zhǔn)確獲得的，而且甚至可能是完全不可測(cè)的［9］，這將導(dǎo)致很難明確地判斷出執(zhí)行器非線性類(lèi)型。并且有些非線性特征是相似的，例如齒隙［5］和“類(lèi)齒隙”磁滯［1011］就難以區(qū)別。在機(jī)器操縱系統(tǒng)中，這種執(zhí)行器非線性類(lèi)型難以判定的情況是經(jīng)常存在的［12］，然而對(duì)于這方面的研究目前卻嚴(yán)重不足。文獻(xiàn)［12］采用構(gòu)建自適應(yīng)逆的方法研究了帶不確定執(zhí)行器非線性的機(jī)器操控系統(tǒng)控制問(wèn)題，但該方法要求死區(qū)或齒隙參數(shù)必須都為時(shí)不變常數(shù)。文獻(xiàn)［13］給出了一種執(zhí)行器含死區(qū)或齒隙的不確定非線性系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制方法，其中死區(qū)參數(shù)可以是有界時(shí)變的，但要求死區(qū)或齒隙的參數(shù)邊界都已知。文獻(xiàn)［12］和文獻(xiàn)［13］存在的共同問(wèn)題是僅限于執(zhí)行器存在死區(qū)和齒隙兩種情況，并且由于只是將控制方法進(jìn)行簡(jiǎn)單綜合，因此不具有一般性而難以推廣。

本文針對(duì)執(zhí)行器非線性類(lèi)型不確定時(shí)的控制問(wèn)題，提出了一種魯棒自適應(yīng)跟蹤控制方法。該方法首先建立了一類(lèi)具有非線性輸入特征的執(zhí)行器模型，所建立的模型包含了死區(qū)、齒隙和“類(lèi)齒隙”磁滯這3種主要的執(zhí)行器非線性特征；然后利用Nussbaum增益技術(shù)，取消了系統(tǒng)控制方向已知的條件；通過(guò)引入自適應(yīng)補(bǔ)償項(xiàng)消除了建模誤差和不確定干擾的影響；通過(guò)Lyapunov綜合方法，證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致終結(jié)有界，系統(tǒng)輸出能趨近于期望參考軌跡的鄰域。

1 問(wèn)題描述

考慮如下一類(lèi)具有不確定執(zhí)行器非線性的控制系統(tǒng)：

式中，x（t）＝［x1（t），x2（t），…，xn（t）］T∈Rn為可測(cè)量狀態(tài)向量；y∈R為系統(tǒng)輸出；f（x）為未知光滑函數(shù)；Δ（t）表示外界擾動(dòng)或系統(tǒng)的不確定項(xiàng)；b是不為0的常數(shù)；v（u（t））是具有一類(lèi)未知非線性特征的執(zhí)行器的輸出。該執(zhí)行器模型可以描述為

式中，u為執(zhí)行器輸入；v（u（t））為執(zhí)行器輸出；k（u，t）是嚴(yán)格為正的未知函數(shù)；εu為建模誤差。

假設(shè)1 非線性執(zhí)行器輸出v（u（t））不可測(cè)。

假設(shè)2 模型式（2）中的未知函數(shù)k（u，t）滿足有界條件，即存在未知正數(shù)m1和m2使得

恒成立。

假設(shè)3 模型式（2）中的建模誤差εu為有界的，即存在一個(gè)未知常數(shù)ε*u＞0使得|εu|≤ε*u恒成立。

假設(shè)4 存在未知常數(shù)d使得有界擾動(dòng)|Δ（t）|≤d恒成立。

假設(shè)5 給定期望跟蹤軌跡yd是有界光滑的，即是連續(xù)有界的。

值得注意的是，本文所建立的非線性執(zhí)行器模型式（2）包含了死區(qū)、齒隙和“類(lèi)齒隙”磁滯的情況。換言之，模型式（2）可以是上述3個(gè)類(lèi)型中的任意一種，這是本文區(qū)別于其他大多數(shù)文獻(xiàn)的特點(diǎn)。對(duì)該問(wèn)題具體的3種情形分析說(shuō)明如下。

情形1 若執(zhí)行器帶死區(qū)非線性特征，其輸入輸出關(guān)系如圖1所示。

圖1 死區(qū)非線性

其模型［14］通?？梢悦枋鰹?/p>

式中，ku（u）和kl（u）為死區(qū)坡度；bl＞0和br＞0為死區(qū)發(fā)生的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)。一般來(lái)說(shuō)存在未知正數(shù)kL和kM使得死區(qū)傾斜度ku（u）和kl（u）值均在正區(qū)間［kL，kM］中。因此，令模型式（2）中函數(shù)k（u，t）為

且

則顯然有kL≤k（u，t）≤kM，且|εu|≤εu*，εu*為kM· max｛|br|，|bl|｝。將式（5）兩邊同時(shí)乘以變量u并加上式（6），再將得到的式子代入式（2）。不難發(fā)現(xiàn)，死區(qū)模型式（4）可用模型式（2）表示，且滿足假設(shè)2和假設(shè)3。與文獻(xiàn)［12］中所研究的死區(qū)模型相比，式（4）中的死區(qū)坡度ku（u）和kl（u）可以是時(shí)變的，并且不需要知道其邊界kL和kM的值。

情形2 若執(zhí)行器帶齒隙非線性特征，其輸入輸出關(guān)系如圖2所示。

圖2 齒隙非線性

其模型［15］通?？梢悦枋鰹?/p>

式中，m＞0為齒隙坡度；Br＞0和Bl＜0為相關(guān)位置。令模型式（2）中函數(shù)k（u，t）為

且

顯然可以看出εu為有界［15］，且ε*u＝max｛|mBr|，|mBl|｝。將式（8）兩邊同時(shí)乘以變量u并加上式（9），再將得到的式子代入式（2）。不難發(fā)現(xiàn)，齒隙模型式（7）可用模型式（2）表示。

情形3 若執(zhí)行器帶“類(lèi)齒隙”磁滯非線性特征，其輸入輸出關(guān)系如圖3所示。

圖3 “類(lèi)齒隙”磁滯非線性

其模型［11］通?？梢悦枋鰹?/p>

式中，α，c和B1為未知正數(shù)。由文獻(xiàn)［11］可知，式（10）能被寫(xiě)為v（t）＝cu（t）＋d1（u），其中d1（u）是一個(gè)有界函數(shù)［11］。令k（u，t）＝c且εu＝d1（u），顯然，“類(lèi)齒隙”磁滯模型也可用模型式（2）表示，且滿足假設(shè)2和假設(shè)3。

由于系統(tǒng)式（1）中存在未知函數(shù)，本文將采用徑向基（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)線性參數(shù)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其能以任意精度逼近任何連續(xù)非線性函數(shù)h（Z），即

式中，輸入向量Z∈Ωz?Rn，n是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入維數(shù)；ε為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差且滿足|ε|≤ε*，ε*是未知正數(shù)；（Z）∈Rl是基函數(shù)向量，l是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)；W*∈Rl是最優(yōu)權(quán)重向量，其定義為

式中，W為任意的權(quán)重向量。

將模型式（2）代入式（1）可以看出，未知量bk（u，t）可以近似地看成閉環(huán)系統(tǒng)的控制增益，為了解決控制增益不確定的問(wèn)題，引入Nussbaum函數(shù)。

定義1 如果連續(xù)函數(shù)N（ζ）：R→R滿足

則稱N（ζ）為Nussbaum函數(shù)。

引理1［16］已知V（·）和ζ（·）是［0，tf）上的光滑函數(shù)且V（t）≥0，tf∈［0，∞］，N（ζ）是Nussbaum函數(shù)，如果下列不等式成立：在區(qū)間［0，tf）上有界。

式中，c1為適當(dāng)?shù)某?shù)；c2為正數(shù)；g（x（τ））為取值在區(qū)間I＝［l－，l＋］的任意函數(shù)，其中0?I。那么必有V（t），ζ（t）和

控制目標(biāo)：考慮執(zhí)行器帶有不確定特征的情況下，針對(duì)非線性系統(tǒng)式（1），利用Nussbaum增益技術(shù)設(shè)計(jì)一種魯棒自適應(yīng)控制器u，使得系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致終結(jié)有界，且系統(tǒng)輸出y能趨近于期望的給定軌跡yd。

文中，‖·‖表示·的2－范數(shù)；·＾表示·*的估計(jì)值；表示矩陣A的最大特征值。并且，取Nussbaum函數(shù)

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

在所有狀態(tài)量x均為可利用的條件下，設(shè)計(jì)能實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)的魯棒自適應(yīng)控制器。為此，先定義一個(gè)期望跟蹤向量xd和誤差向量ξ

然后利用滑模面的思想定義一個(gè)濾波跟蹤誤差

式中，Λ＝［λ1，λ2，…，λn－1］T是一個(gè)可設(shè)計(jì)的參數(shù)向量，它使得sn－1＋λn－1sn－2＋…＋λ1為Hurwitz多項(xiàng)式。對(duì)濾波跟蹤誤差求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得

為考察式（13）所描述的系統(tǒng)穩(wěn)定性，定義一個(gè)二次型正定函數(shù)

沿著式（13）對(duì)Ve求導(dǎo)，可得

由假設(shè)4及式（15）可以得到

式中，Yd＝－y（n）d＋［0ΛT］ξ。將式（2）代入式（16），并利用假設(shè)3，可以得到

注意到式（17）中含有未知函數(shù)f（x）。因此為了能夠繼續(xù)設(shè)計(jì)控制器，在此采用一個(gè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行逼近，即

式中，ε是逼近誤差，并且由RBF網(wǎng)絡(luò)的逼近性質(zhì)可知存在未知正數(shù)ε*使得|ε|≤ε*恒成立。由于最優(yōu)權(quán)重向量W*未知，因此利用其估計(jì)值^W來(lái)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，^W的值將在后面給出。將式（18）代入式（17），可以得到

式中，δ*＝ε*＋ε*u＋d為未知正數(shù)，它包含神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差、建模誤差和未知干擾項(xiàng)，將在后面設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)補(bǔ)償項(xiàng)將該項(xiàng)誤差消除。

考慮如下所示的Lyapunov函數(shù)：

式中，Γ＝Γ－1是自適應(yīng)增益矩陣；γ是一個(gè)自適應(yīng)增益系數(shù)；~W＝W*－^W且δ～＝δ*－＾δ，＾δ的值將在后面給出。

由式（19）可得V關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

設(shè)計(jì)控制律和自適應(yīng)律為

式中，β＞0，τ＞0，σ1＞0和σ2＞0均為設(shè)計(jì)參數(shù)。

下面對(duì)所設(shè)計(jì)閉環(huán)控制系統(tǒng)所有信號(hào)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

將式（22）代入式（21），可以得到

在式（25）的右邊同時(shí)加減˙ζ，可得

將式（24）代入式（26），得

由于下列不等式對(duì)于任意的τ＞0和e∈R恒成立［17］

將式（28）代入式（27），可得

利用如下不等式：

可將式（29）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，并整理得

其中

將式（30）兩邊同時(shí)乘以ea1t，并對(duì)式（30）兩邊的t同時(shí)積分，得

由假設(shè)2可知k（u，τ）?［m1，m2］，則由引理1知V（t），

則由式（31）和式（32）可得

由V（t）有界和式（20）可得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)^W，＾δ，e和ξ均為半全局一致終結(jié)有界。

由式（20）和式（33）可得

因此，可以通過(guò)調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)參數(shù)使得系統(tǒng)輸出趨近于期望跟蹤軌跡的一個(gè)小鄰域內(nèi)。

3 仿真算例

為了驗(yàn)證本文所提理論及設(shè)計(jì)控制方法的有效性，將其應(yīng)用到文獻(xiàn)［13］構(gòu)造的機(jī)器人系統(tǒng)中的一個(gè)單桿連接控制。機(jī)器人系統(tǒng)存在著大量的機(jī)械連接，因此它實(shí)際上是執(zhí)行器非線性理論一個(gè)重要的實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域。本文所考慮的單桿連接系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為

式中，f（x（t））＝－x2＋3.5x22cos x1－35sin x1；b＝1；Δ（t）＝0.8e－0.2tsin t。系統(tǒng)狀態(tài)變量x1＝θ表示角位移；它的導(dǎo)數(shù)為x2＝˙θ。值得注意的是，與大多數(shù)文獻(xiàn)不同，仿真算例式（35）中的非線性執(zhí)行器v（u（t））可能帶有死區(qū)、齒隙或“類(lèi)齒隙”磁滯中的任意一種。

此次仿真中，控制器u（t）的設(shè)計(jì)為式（22），參數(shù)自適應(yīng)律為式（23）和式（24）。選取高斯函數(shù)作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)，即

仿真中選擇RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為：^WT（x）包含l＝9個(gè)節(jié)點(diǎn)，中心μi（i＝1，2，…，9）均勻分布在［－4，4］×［－4，4］；寬度υi＝2（i＝1，2，…，9）。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值初值^W（0）均設(shè)為零。

系統(tǒng)的給定期望輸出軌跡設(shè)置為yd＝0.5（sin t＋sin（0.5t）），系統(tǒng)狀態(tài)的初始值為x1（0）＝0和x2（0）＝0，參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)初值設(shè)置為＾δ（0）＝0和ζ（0）＝1。選擇設(shè)計(jì)參數(shù)為：Γ＝diag［0.5］，λ1＝2，σ1＝σ2＝0.5，γ＝1.5，τ＝0.5，β＝3。至此，本仿真算例中的控制器設(shè)計(jì)已經(jīng)完成。下面分3種情況來(lái)考察所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

情況1 若執(zhí)行器的非線性特征為死區(qū)時(shí)，其仿真所用數(shù)學(xué)模型為

顯然，它滿足假設(shè)2和假設(shè)3。仿真中，將本文與文獻(xiàn)［13］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對(duì)比，如圖4所示。

圖4 執(zhí)行器帶死區(qū)非線性時(shí)的仿真曲線

圖4 中，yd是目標(biāo)曲線；y，e和u分別是應(yīng)用本文所設(shè)計(jì)的控制方法得到的系統(tǒng)輸出、跟蹤誤差和控制輸入；y′，e′和u′分別是應(yīng)用文獻(xiàn)［13］方法得到的系統(tǒng)輸出、跟蹤誤差和控制輸入。從圖4可以看出，本文所設(shè)計(jì)的控制器能夠很快地使系統(tǒng)輸出跟蹤期望的軌跡曲線，實(shí)現(xiàn)了較好的跟蹤效果。相比于文獻(xiàn)［13］，本文方法的跟蹤誤差更小，而且避免了文獻(xiàn)［13］由于控制律的切換造成的顫振。

情況2 若執(zhí)行器的非線性特征為齒隙，其模型為

無(wú)需改變控制器，采用與前面相同的控制器所得到的仿真結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出，即使執(zhí)行器的非線性特征已經(jīng)改變，所設(shè)計(jì)的控制方法仍然取得了滿意的控制效果。

圖5 執(zhí)行器帶齒隙非線性時(shí)的仿真曲線

情況3 若執(zhí)行器的非線性特征為“類(lèi)齒隙”磁滯，其模型［11］為

根據(jù)前面的分析可知它也滿足假設(shè)2和3，應(yīng)用所設(shè)計(jì)的控制器得到仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 執(zhí)行器帶“類(lèi)齒隙”磁滯時(shí)的仿真曲線

從所得到的仿真結(jié)果圖4～圖6可以看出，即使執(zhí)行器存在非線性且其特征不確定，所設(shè)計(jì)的控制方法仍然能使系統(tǒng)的輸出曲線很好地跟蹤期望軌跡曲線，達(dá)到了非常好的跟蹤效果。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)一類(lèi)執(zhí)行器非線性特征不確定的控制系統(tǒng)，提出了一種魯棒自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制方案。該方案的主要特點(diǎn)有：①不需明確知道執(zhí)行器非線性屬于死區(qū)、齒隙或“類(lèi)齒隙”磁滯中的哪一種，在執(zhí)行器具有此類(lèi)特征中的任何一種時(shí)所設(shè)計(jì)方法都有效可用；②取消了非線性特征參數(shù)上下邊界需已知的假設(shè)，并且所考慮的死區(qū)坡度可以是有界時(shí)變的；③引入了自適應(yīng)補(bǔ)償項(xiàng)消除建模誤差、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差和外界干擾造成的影響；④本文設(shè)計(jì)的控制方法若與反推技術(shù)結(jié)合，能很容易地拓展為嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤控制器。

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Adaptive control for a class of nonlinear systems with uncertain actuator nonlinearity

LIU Zong-cheng1，DONG Xin-min1，XUE Jian-ping1，ZHANG Li-peng2
（1.College of Aeronautics and Astronautics Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China；2.Air Force Xi’an Flight College，Xi’an 710306，China）

An adaptive neural network control method is proposed for a class of control systems with uncertain actuator nonlinearity．A model for the nonlinear actuator is developed which includes the characteristics of dead zone，backlash and“backlash-like”hysteresis．By combining the developed model and the Nussbaum-gain technique，the problem of uncertain actuator nonlinearity is solved perfectly．The proposed scheme does not require the prior knowledge on the bounds of parameters of the motioned characteristics，and the slopes of dead zone can be time variant when dead zone nonlinearity is concerned．The adaptive compensation term is adopted to minify the influence of modeling error and external disturbance．Simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of this method．

adaptive control；actuator nonlinearity；Nussbaum-type function；nonlinear system

TP 273

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．26

劉棕成（1987-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)控制理論與應(yīng)用。E-mail：liu434853780＠163．com

董新民（1963-），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向?yàn)轱w行器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

E-mail：dongxinmin＠139．com

薛建平（1967-），男，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，碩士，主要研究方向?yàn)轱w行器控制理論及應(yīng)用、系統(tǒng)自動(dòng)化檢測(cè)與維護(hù)保障。

E-mail：xiankgy＠163．com

張立鵬（1986-），男，講師，碩士，主要研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)控制理論及其應(yīng)用。

E-mail：zhang121860＠163．com

1001-506X（2015）01-0163-06

網(wǎng)址：www．sys-ele．com

2013- 12- 16；

2014- 06- 05；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 08- 05。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140805．1341．003．html

國(guó)家自然科學(xué)基金（61304120）資助課題