岑艷

[摘 要] 筆者在教學(xué)交流中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)初中生的邏輯推理能力甚為薄弱. 究其原因，主要是教師在“教”與“學(xué)”的過程中，忽視思維能力的訓(xùn)練，極少顧及分析能力的培養(yǎng). 因此，本文主要從想象力和問題解決方法兩個角度闡述了初中數(shù)學(xué)思維方式與思想方法的訓(xùn)練和培養(yǎng)途徑.

[關(guān)鍵詞] 幾何；思維能力；思想方法

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2011版）》“課程的基本性質(zhì)”明確將“培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力”列為課程性質(zhì)的一部分；在“課程的基本理念”中，“課標(biāo)”指出，應(yīng)關(guān)注教學(xué)內(nèi)容中“蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法”；“課標(biāo)”還多次述及對學(xué)生推理能力和模型思想的培養(yǎng)，“課標(biāo)”指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”，“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中”. 深入學(xué)習(xí)和理解“課標(biāo)”的這些思想理念，將使我們深刻領(lǐng)會初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生進行思維能力和思想方法培養(yǎng)的重要意義. 就此，筆者試結(jié)合教學(xué)問題實例，探討一下初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維能力和思想方法培養(yǎng)的方法和途徑.

夯實基礎(chǔ)，發(fā)揮想象

任何一門學(xué)科，均須具備扎實的基礎(chǔ)，方能有水平的提高、層次的飛躍. 基礎(chǔ)是奠基石，沒有穩(wěn)健的基礎(chǔ)，談其他也只是鏡花水月而已. 所以，幾何基礎(chǔ)的夯實，實為重中之重. 有了基礎(chǔ)，又如何去應(yīng)用呢？首先，想象力是幾何邏輯中不可缺少的要素. 想象力，就是形象思維或直覺思維能力. 對它的培養(yǎng)，可以從三個方面去開發(fā).

1. 全面地思考

全面地思考是指同一個問題從多方面、多角度去觀察思考和深入分析，從而確立解題的多種方案.

如圖1所示，A，B為直線l上兩點，D，C分別位于直線l兩側(cè)，且BD=BC，AD=AC，EF垂直l于點O，且被直線l平分. 求證：DE=CF.

分析 要證明DE=CF，須作輔助線BE，BF，證明△BED≌△BFC即可. 通過觀察我們還發(fā)現(xiàn)，此題為對稱圖形，根據(jù)條件，也可證明線段DE，CF關(guān)于直線l對稱，從而得到DE=CF.

2. 廣泛地聯(lián)想

在幾何教學(xué)中，如能引導(dǎo)學(xué)生進行廣泛聯(lián)想，會取得意想不到的教學(xué)效果. 譬如，在給初三學(xué)生講述怎樣測量不規(guī)則石頭相對兩點的距離時，應(yīng)鼓勵他們運用己學(xué)的初中知識廣泛地展開聯(lián)想. 結(jié)果出乎我的意料，歸結(jié)起來，解答方法竟有十幾種之多. 有的學(xué)生用全等知識；有的學(xué)生用相似知識；有的學(xué)生用解直角三角形的知識；有的用中位線；有的用比例線段；有的用坐標(biāo)系；有的干脆用卡鉗直接測量……

通過這節(jié)課的歸納，大大地加強了知識的鏈接，擴展了學(xué)生的視野，增強了他們的求知欲.

3. 大膽地猜測

猜測，是指由直覺或某些數(shù)學(xué)事實，推測某個判斷或命題可能成立的一種創(chuàng)造性的思維活動過程. 通過猜測不僅可以得到解題結(jié)論，還可以獲得解題途徑. 但是，值得注意的是，由猜測得出的結(jié)論不一定可靠，其正確性必須經(jīng)過嚴格的邏輯證明或?qū)嵺`檢驗.

例如，如圖2所示，⊙O■與⊙O■外切于點A，線段BC過點A分別交⊙O■與⊙O■于B，C兩點，BD切⊙O■于點D，交⊙O■于點E. 求證：AD2= AE·AC.

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分析 首先，不妨大膽地猜測，AD2=AE·AC與這三條線段所在的三角形——△AED，△ADC有關(guān)，從而自然地得出輔助線DC. 根據(jù)弦切角定義，有∠EDA=∠ACD，這時，猜測自然停駐在△AED與△ADC是否相似的問題上. ∠EAD是等于∠ADC呢，還是等于∠DAC呢？EA與DC不一定平行，所以∠EAD很有可能等于∠DAC. 此時，扎實的基礎(chǔ)顯示出了重要的作用，我們知道，兩圓相切，往往作出兩圓的切線輔助解題，即過點A作切線MN交BD于點F，因為∠FAD=∠ACD =∠FDA，∠EAF=∠B，所以∠EAD=∠B+∠BDA. 又∠DAC=∠B+∠BDA，所以∠EAD=∠DAC. 所以△EAD∽△DAC. 所以AD2=AE·AC，原命題得證.

在問題解決中注重數(shù)學(xué)思想方

法的運用

1. 條件推理法

這是解答幾何題目的常規(guī)方式，分為正向推理與逆向推理兩種.

正向推理，就是從題目給出的已知條件中，順藤摸瓜，推導(dǎo)出與結(jié)論相符合的條件，從而找出解題途徑的方法；逆向推理，就是從問題的結(jié)論入手，推導(dǎo)出與已知相符合的條件，從而找出解題途徑的方法. 我們不妨舉一個例子：如圖3所示，在正方形ABCD中，AE交CD于點E，且AE=BC+CE，M為CD的中點. 求證：∠DAM=■∠BAE.

分析1 （正向推理）：因為AE=BC+CE，BC=DC，所以我們將BC+CE這一條件轉(zhuǎn)化在一條線段上，即延長DC至點F，使CF=BC（如圖4），這樣就有BC+CE=EF=AE，所以∠2=∠F. 連結(jié)AF交BC于點G，則有△ABG≌FCG，∠1=∠F=∠2，BG=CG（即G為BC中點）. 又M為DC的中點，可證△ABG≌△ADM ，從而得出∠DAM=∠1. 所以∠DAM=■∠BAE.

分析2 （逆向推理）：要證明∠DAM=■∠BAE，很顯然我們需作∠BAE的平分線. 如圖5所示，作∠BAE的平分線AF交BC于點F，這樣∠1=∠2. 如能證明△ABF≌△ADM，問題就迎刃而解了. 可是條件不夠，須證明點F為BC的中點. 我們很容易觀察到，過點F作AE的垂線FG，則△ABF≌△AGF，有BF=FG，AB=AG. 根據(jù)條件AE=BC+CE很容易得出GE=CE，于是連結(jié)EF，就可以得到Rt△FGE≌Rt△FCE，從而得出FG=FC，進而得出BF=CF，即點F為BC的中點.

從上述例子我們可以看出，思維方式不一樣，得出的解題途徑也大相徑庭.

2. 數(shù)形結(jié)合法

在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生很容易將代數(shù)與幾何分開，把它們看做兩門學(xué)科，這一思想讓學(xué)生在推導(dǎo)幾何的環(huán)節(jié)上放不開手腳. 實際上，代數(shù)知識在幾何中的運用非常廣泛，如勾股弦數(shù)的演化，解直角三角形中正、余切與正、余割的演化等，都離不開代數(shù)知識的運用，代數(shù)中的函數(shù)也滲透了幾何思想. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要指出代數(shù)與幾何的一體性，某些代數(shù)知識推導(dǎo)的幾何問題，教師可重點闡述.endprint

3. 等積求值法

等積求值法，就是利用同圖形面積相等，得出方程，從而解得未知的方法. 此種題型，往往作輔助線也無濟于事，但只要換一種思維、換一種角度，用等積列出等式，問題立即化難為易.

例如，如圖6所示，在平行四邊形ABCD中，AE，AF分別是BC，CD邊上的高，∠B=■∠BAD，AE=8，EC=3.46，求AF的長.

分析 乍看此題，要求AF的長，需知道AD與DF的長，再用勾股定理解答. 但是，通過分析，DF的長很難求出. 運用等積求值法，會取得明晰的效果. 因為∠B=■∠BAD，所以可推出∠B=30°，于是AB=2AE=16. 用勾股定理可得出BE=8■，BC=BE+EC=8■+3.46. 因為AB=CD，所以CD=16. 根據(jù)平行四邊形ABCD的面積一定，得BC·AE=CD·AF，將上述求出的值代入式中，即可求出AF的長.

4. 內(nèi)阻外找法

有一些幾何題目，在圖形內(nèi)思考不能找出解題途徑，這時不妨從圖形外去分析、嘗試.

例如，如圖7所示，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，∠ADC=120°，求AD與BC的長.

分析 初看此題，很有可能是作輔助線BD，但通過推理，無法求出AD與BC的長. 容易發(fā)現(xiàn)，∠B=60°，延長AD和BC交于點E后便得到特殊的Rt△BAE和Rt△EDC，于是由∠E=30°可求出DE=2CD=2，CE=■·CD=■，AE=■·AB=2■，BE=2AB=4，從而得到AD=AE-DE=2■-2，BC=BE-CE=4-■.

像上面這樣，在幾何圖形的內(nèi)部找不出解題途徑，而從圖形外延去尋求解題途徑的方法，叫做內(nèi)阻外找法.

此外，還有諸如反證法、填充訓(xùn)練法、輔助線補全法、尋求多種解題途徑等方法，限于篇幅，這里不再一一贅述.

幾何是一門比較抽象的學(xué)科，比較講究邏輯推理的嚴密性，其解題途徑的探索，除教科書上介紹的一般方法外，還需要廣大師生去尋求、創(chuàng)新、歸納，以達到傳道、授業(yè)、解惑的彼岸.

5. 分類討論法

分類討論，即根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象分為不同的種類. 分類是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)對象之間的規(guī)律. 所以，分類是近代和現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法. 作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)在教學(xué)中明確教給學(xué)生分類思想，培養(yǎng)辯證思維，及時糾正學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò). 這樣，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

例如，規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸.

為了理解數(shù)軸的實質(zhì)，教師必須在教學(xué)中運用分類思想，教會學(xué)生在數(shù)軸上“0”是分界點，它將實數(shù)分成了兩部分，正實數(shù)在0的右邊，負實數(shù)在0的左邊. 在此基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)讓學(xué)生樹立數(shù)形對應(yīng)觀念，了解有理數(shù)擴展到實數(shù)以后，數(shù)軸上每一個點都可以由唯一的一個實數(shù)來表示；反過來，每一個實數(shù)，都可以用數(shù)軸上的唯一的一個點來表示. 即實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，這樣便使學(xué)生較深刻地掌握了數(shù)軸概念.

又如，解不等式kx2-3（k+1）x+9 >0. 當(dāng)k=0時，上述不等式為一次不等式；當(dāng)k≠0時，上述不等式為二次不等式. 這是質(zhì)的不同，決定了解法不同，故需分類討論.

總之，學(xué)生在初步掌握了新知識之后，教師需要系統(tǒng)地去探索、去歸結(jié)提煉、去傳授幾何應(yīng)用的方法技巧及解題規(guī)律. 只有這樣，才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中有機地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式與思想方法，才能符合新課程理念和新課標(biāo)要求.endprint