安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué) 江保兵 (郵編：246700)

一道向量試題的探究和思考

安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué) 江保兵 (郵編：246700)

1 試題及解法

將AB=6,AC=10代入上面的兩個(gè)式子中，化簡(jiǎn)得：

6x+10cos∠BAC·y=3，6cos∠BAC·x+10y=5 ，又2x+10y=5，三式聯(lián)立解得：

①

②

2 試題推廣

即 2c2x+2bccosA·y=c2

①

2bccosA·x+2b2y=b2

②

解這個(gè)二元一次方程組，并由正余弦定理得：

這是我們?cè)诟鞣N考試中經(jīng)常見(jiàn)到的一種形式，例如下面這道試題就是以⑶為背景來(lái)命制的.

3 類(lèi)比推廣

(4)當(dāng)H為△ABC的垂心時(shí)，

證明 (1)、(2)證明比較簡(jiǎn)單，留給讀者.這里主要給出(3)和(4)的證明.

(3)當(dāng)Ia為△ABC中∠A所對(duì)的旁心時(shí)，過(guò)Ia作BC的平行線交BC的延長(zhǎng)線于B1、C1.設(shè)BB1=ct，則IaB1=ct,IaC1=CC1=bt，如圖所示.

①.

所以

c2x+bccosA·y=bccosA

①

bccosA·x+b2y=bccosA

②

解這個(gè)二元一次方程組，并由正余弦定理得：

當(dāng)△ABC為非直角三角形時(shí)，

4 一個(gè)熟悉的結(jié)論

由上面的討論，我們自然而然地得到以下結(jié)論.

1 江保兵.平面向量的共線定理及其推論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣州)，2014，( 3)

2 李金聰.三角形“五心”優(yōu)美的向量形式[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2010 ，( 3)

3 賀功保，葉美健.三角形的五心[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009

2014-12-21)