四川省宣漢縣中小學教學研究室 趙緒昌 (郵編：636150)

數(shù)學活動設計應關注“六性”

四川省宣漢縣中小學教學研究室 趙緒昌 (郵編：636150)

數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學.數(shù)學教學效率的高低在很大程度上取決于數(shù)學活動水平的高低，數(shù)學活動設計應關注目標性、思維性、主體性、引導性、探索性、交流性，等等，從而提高數(shù)學教學效益.

數(shù)學教學；活動設計；關注“六性”；案例分析

數(shù)學學習本質是一種活動，是人類運用數(shù)學的思想與方法，觀察、解決現(xiàn)實世界中的問題或對已有的數(shù)學結論不斷抽象、概括形成新的結論和新的應用的數(shù)學活動，這種“活動”既包括外部的“物理活動”，也包括內部的“思維活動”.從發(fā)生的觀點來看，外部活動是原初的，內部活動起源于外部活動，是外部活動內化的結果.內部活動又通過外部活動而外化.這兩種活動可以相互影響，共同對個體的認知和體驗起到相互促進的作用.數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，數(shù)學活動是學生經歷“數(shù)學化”、“再創(chuàng)造”的學習過程.數(shù)學活動可分為三類：一是發(fā)現(xiàn)數(shù)學的活動，二是應用數(shù)學的活動，三是數(shù)學交流的活動.它包含了和數(shù)學有關的一切活動，如數(shù)學概念的形成過程，數(shù)學結論的推導和發(fā)展過程，數(shù)學結論、方法的應用過程，等等.數(shù)學教學效率的高低在很大程度上取決于數(shù)學活動水平的高低.有效的數(shù)學活動至少應該具備以下兩個特征：(1)活動應具有挑戰(zhàn)性——創(chuàng)設有效的問題情境，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生的思維受到適度挑戰(zhàn).(2)活動過程中，學生都有一個明確的學習目標——現(xiàn)在學習的是什么問題？教師應隨時觀察學生在思考什么？思維上有無障礙？如何引導？在設計數(shù)學活動時，涉及到兩個重要環(huán)節(jié)，即一個恰當?shù)臄?shù)學情境和可供學生進行有效活動的序列問題.數(shù)學活動的形式應該根據(jù)內容與實效來確定，可以是實驗觀察、動手操作、展示交流等不同形式或多種形式的結合.學生通過這樣的數(shù)學活動，獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗，并從數(shù)學活動中體味數(shù)學學習的樂趣，從而增強學生學習數(shù)學的興趣，加深對數(shù)學價值的理解，進而提高學生的思考力、判斷力和表達力.隨著數(shù)學新課程的深入實施，廣大的數(shù)學教師在課程理念方面已有一定的認識，比較重視改善學生的數(shù)學學習方式，重視數(shù)學交流、合作學習等數(shù)學活動的教學，并積累了較豐富的數(shù)學新課程實施經驗.但是，當前數(shù)學活動教學在很大程度上仍然停留在“為活動而活動”的表層上，數(shù)學活動展開不夠充分，數(shù)學的本質凸顯不夠，數(shù)學教學缺乏創(chuàng)造性和數(shù)學性，學生內在的情感和思維沒有被真正激活，這極大地影響了主體的主動建構.究其原因，不少教師對數(shù)學活動的理解還存在偏差，認為數(shù)學活動只是動手操作，不重視“數(shù)學化”的過程，缺乏對數(shù)學活動的形式及其作用的理性認識，不能準確地了解學生的真實思維活動，較多的只是憑自己的經驗、直覺，甚至是主觀臆斷選擇數(shù)學活動，不知道數(shù)學教學應該在何處活動、何時活動、怎樣活動、活動應該達到什么目的，因而在實施數(shù)學活動教學時無所適從，不能科學地把握教學的進程與節(jié)奏.本文舉例說明數(shù)學活動設計應關注“六性”.

1 目標性

教學目標是教學活動的出發(fā)點，也是歸宿.教學活動應該以有效實現(xiàn)教學目標為依歸.活動是教師引領學生達成教學目標的重要載體和手段，是學生走向目標的重要路徑.沒有目標的活動是盲目的，偏離目標的活動是低效的.在教學中，教師設計和安排的各種活動都必須有明確的目標，每一個活動都應該以達成教學目標為導向.教學內容是什么，教學內容的數(shù)學本質是什么，活動的設計能夠達到怎樣的目標，是我們著手數(shù)學活動設計時必須關注的問題.

案例1 “有理數(shù)的加法法則”的教學片斷

在教學“有理數(shù)的加法法則”時，設計如下的問題情境引導學生進行探索活動.

若規(guī)定足球比賽中贏球為“正”，輸球為“負”，那么主客場兩場比賽的過程和結果有各種不同的情形.例如，如果主場比賽贏了3球，客場比賽輸了2球，那么兩場比賽凈勝1球.借助已有的數(shù)學知識和生活經驗，上述過程和結果可以表示為：(+3)+(-2)=+1.

問題1 你能說出這樣的比賽可能出現(xiàn)哪些不同的情形，能用數(shù)學式子表示嗎？

問題2 觀察各種不同的算式，你能從中得到啟發(fā)，歸納出兩個有理數(shù)相加的法則嗎？

問題3 “兩個相反數(shù)相加的和為0”與“異號兩數(shù)相加的法則”有什么關系？

問題4 有理數(shù)加法與小學學習的數(shù)的加法有什么聯(lián)系與區(qū)別？

對問題1，學生通過討論，可列出兩個有理數(shù)相加的各種不同的算式.在這個過程中，學生還可以感受到分類的思想.

通過問題2，引導學生借助生活經驗——贏、輸之間的關系(先贏后輸、先輸后贏、贏了再贏、輸了再輸)，在探索、交流的基礎上，共同歸納出有理數(shù)加法的法則.在這個過程中，學生經歷了觀察、分析、比較、探索、歸納的過程.

通過問題3，引導學生感受“特殊”與“一般”的關系.

通過問題4，引導學生把新知識納入到原有的知識體系中.同時，幫助學生形成進行有理數(shù)加法運算的良好習慣——先判斷和的符號，再進行計算.

這樣，通過一系列的探索活動，學生不僅能主動地獲得知識——有理數(shù)加法法則，而且能在獲得知識的過程中感受分類、歸納、特殊與一般等基本數(shù)學思想，使“數(shù)學思考”、“問題解決”目標與“知識技能”目標有機地融合.這樣的數(shù)學活動有目標、有意義、有價值.

2 思維性

數(shù)學課堂教學的本質是數(shù)學活動，數(shù)學活動的本質是思維活動，沒有數(shù)學思維的活動不是真正意義上的數(shù)學活動，沒有一定思維深度的數(shù)學活動不是好的數(shù)學活動.判斷學生是否經歷了深層次數(shù)學活動的標準是有沒有思維層次的遞進.數(shù)學活動不僅僅是指探究性、具體化的活動，更重要的是指學生進行數(shù)學思考、數(shù)學探索和數(shù)學學習的活動.比如數(shù)學的理解過程，它包括了學生的數(shù)學思考和數(shù)學學習以及解題活動的過程，我們不能把這種活動的過程僅僅理解為一種形式，認為它是數(shù)學內容的載體和實現(xiàn)目標的手段，必須注重學生的高層次數(shù)學思維參與，突出“手”、“腦”并用，注重對學生思維能力的培養(yǎng).畢竟，在這些數(shù)學活動過程中，沒有高層次思維的參與就談不上“數(shù)學理解”.因此，數(shù)學活動的設計應關注思維性.

案例2 “認識三角形”的教學片斷

“認識三角形”一課的主要內容是三角形的邊、角的概念及表示，三角形的分類以及“三角形的三邊關系”.關于這些概念、表示及分類，一般是教師對照圖形進行介紹，學生說說、議議，一般不用探究；而對于“三角形的三邊關系”(a-b

2.1 搭火柴棒

讓同桌的兩名同學合作準備5根小木棒，長度分別為3cm、4cm、5cm、6cm和9cm，任意取出3根小木棒首尾相接搭三角形，看能搭成幾個三角形？2.2 交流成果

先請一位同學交流一下自己的嘗試結果，再請1～2位同學補充，可得：3cm、4cm、5cm，3cm、4cm、6cm，4cm、5cm、6cm，4cm、6cm、9cm和5cm、6cm、9cm.

2.3 交流結論

師：根據(jù)上述情形，哪位同學能說出構成三角形的三邊必須滿足什么條件嗎?

由兩位同學回答后，歸納總結：三角形任意兩邊的和大于第三邊.

師：你能將上述文字語言轉換為符號語言嗎?

生：設三角形三邊的長度分別為a，b，c，則a+b>c，b+c>a，a+c>b；

2.4 驗證結論

師：請思考，在三角形中為什么一定有a+b>c？

圖1

教師畫出示意圖形(如圖1)，引導學生轉化：a+b=BC+CA,c=BA;再請學生思考：為什么一定有BC+CA>BA?

學生聯(lián)想舊知“兩點之間線段最短”.另兩個式子，同理可得.

2.5 延伸拓展

從“兩邊之和大于第三邊”過渡到“兩邊之差小于第三邊”的探究.

師：請大家想想，剛才得到了兩邊之和大于第三邊，你能聯(lián)想到什么？你還想知道什么?

生：我想到兩邊之差.

師：“兩邊之差”和第三邊的關系會是怎樣的?如何獲得“兩邊之差”呢?

讓學生觀察上面三個式子，容易想到移項：將b+c>a移項，得a-c

這樣圍繞“三角形的三邊關系”的公式進行了一次探究活動用時約15分鐘，它是由同桌同學借助五個火柴棒，通過自己擺弄、嘗試，感覺到：有的能搭成、有的不能搭成，這是一個數(shù)學實驗的過程，學生從中獲得了一些感性認識，再通過同伴的交流、合作，概括出“兩邊之和大于第三邊”的結論且符號化，又通過“為什么成立?”將感性認識上升至理性認識.其中，這個對“三角形兩邊之和”的探究自然而順暢，從探究的交流結論開始學生有些困難，但在教師的啟發(fā)、引導下，學生能主動結合舊知去思考、探究！通過類比思想，自己發(fā)現(xiàn)了“兩邊之和”、“兩邊之差”的規(guī)律，再一次感受成功.通過追問——滿足什么條件嗎?你能聯(lián)想到什么?你還想知道什么?構成學生探究的突破.這種不斷深入的探究活動，用時十幾分鐘，不僅讓學生親身經歷了結論的形成過程，感受成功的快樂，而且有助于學生掌握探究的方法，訓練學生的思維.

3 主體性

數(shù)學活動是學生自己建構數(shù)學知識的活動.學生的學習不是一個被動接受知識強化儲存的過程，而是用原有的知識處理各項新的學習任務，通過同化和順應等心理活動和變化，不斷的構建和完善認知結構的過程.因此，我們在進行數(shù)學活動設計時，要著眼于學習者的主體地位，讓學生對活動享有絕對的參與權、選擇權，以激發(fā)其學習動機和責任感，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，促進學生對知識意義的主動建構.同時，要依據(jù)學習目標和不同學段學生的思維特點，不僅要注意學生淺層次的感性參與，即通過簡單的思維和簡單的活動方式參與的課堂活動，如教師設疑學生答問，圍繞設問展開小組討論等.更要關注學生較高層次的理性參與，即學生在活動中獨立質疑，歸納總結，運用已知解答或推論出新知，運用相關知識提出新設想，提出有理有據(jù)的質疑或不同見解，等等，這樣的活動體現(xiàn)的是學生的主體地位，注重的是學生的思維過程和能力的開發(fā)，活動指向的是學生的持續(xù)發(fā)展和終身發(fā)展.

案例3 “完全平方公式”的教學片斷

3.1 探索活動

(1)前面已經學習了多項式的乘法，你能說說運算法則嗎？運算的依據(jù)是什么？

(2)(x+b)(x+d)可以利用公式直接寫出結果，它是(a+b)(c+d)在a=c=x時的特例(先行組織者).在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你認為還有哪些特殊情形？你能得到什么？(完全放手讓學生探究，學生的結論多種多樣，包括完全平方公式和平方差公式.)

(3)完全平方公式有哪些特征？請你用自己的語言表述公式.

3.2 公式應用：略.

3.3 幾何解釋

如果a、b表示線段的長，則a2、b2分別表示正方形的面積，你能根據(jù)公式形式，自己構造圖形表示完全平方公式嗎？

3.4 課堂小結

(1)請你說說公式的結構特點及應用時應注意的問題.

(2)請你總結一下這節(jié)課討論問題的基本過程.(從一般到特殊，考察特例.)

(3)能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？

完全平方公式是多項式乘法(a+b)(c+d)在c=a，d=b時的特例，多項式乘法是完全平方公式的知識生長點.教師引導學生在多項式乘法基礎上探究特例，切合知識的發(fā)生發(fā)展過程和內在的邏輯線索，符合學生的認知規(guī)律.課堂小結時引導學生反思該課公式的探索過程，有利于學生積累基本活動經驗；鼓勵學生繼續(xù)探究特例，有的學生提出推廣次數(shù)，研究(a+b)3,(a+b)4……有的學生提出推廣字母個數(shù)，研究(a+b+c)2，有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.這些數(shù)學活動的設計很好地向學生滲透了從一般到特殊、歸納的思想，教給學生數(shù)學研究的一個重要的“基本套路”——考察特例.

探索公式時學生自己尋找特例，對公式進行幾何解釋時自己構造圖形，課堂小結時自己提出研究的問題.雖然探究活動耗時多，學生練習的量有所減少，但學生探究的空間大，是真探究，學生靠自己探究出公式，學生自己提出好的問題和研究思路.下課了學生還沉浸在濃厚的研究氛圍之中，學生的成就感得到了充分的滿足，學生對數(shù)學的興趣得到了充分的激發(fā).

本課充分挖掘知識內容所蘊含的發(fā)展價值，成功實現(xiàn)了課堂教學的育人價值，充分體現(xiàn)了以學生發(fā)展為本的教學理念，達到了授之以“育”的教學效果，數(shù)學活動關注了主體性，是生本立意的教學活動.

4 引導性

數(shù)學活動是指在教師的指導下，學習者充分發(fā)揮其主體作用，以活動為形式，通過一定的數(shù)學情境來體驗其中的數(shù)學知識，獲得直接經驗的過程.因為有效的數(shù)學活動意味著教師需要喚醒、引導學生數(shù)學學習的積極性來促進和激勵學生學習的主動性，不斷引發(fā)學生學習的內在需求，這是數(shù)學活動有效進行的動力.由此可見，教師在教學活動中的角色極為重要.這種重要性主要體現(xiàn)在數(shù)學活動必須按照引導的方式組織教學，把活動轉化為一系列問題，循循善誘，駕馭整個課堂活動的進程和方向，讓學生的數(shù)學活動有目標、有方向、有收獲.

案例4 “分式”的教學，在學生歸納總結出分式的概念后，設計這樣的活動：

(1)選擇一個你喜歡的x的值，求分式的值；

(2)當x取什么數(shù)時，分式有意義？

(3)當x取什么數(shù)時，分式的值是零？

活動(1)的目的是讓學生在活動中體驗到這里的字母可以取正數(shù)，也可以取負數(shù)；可以取整數(shù)，也可以取分數(shù)；同時通過這個活動，讓學生體驗分式中的字母能取的數(shù)是有一定的限制的，如這里的x不能取1，從而使問題(2)和(3)的解決順理成章.

然而，沒有教師的必要引導，學生很難給出“0”或“負數(shù)”的例子，如果就學生給出的幾個簡單的正整數(shù)，匆匆讓活動結束，那么這個活動的價值就無法體現(xiàn)，活動也等于虛設.這時候，教師的必要引導，就顯得格外重要.如教師可以這樣引導：還有很多數(shù)字在我們的身邊，而我們卻沒有察覺到，你能聯(lián)系我們提出的問題“你喜歡的x的值，再說一些不同的數(shù)嗎？”

在解決了前面的問題之后，如何讓學生在活動中體驗“x≠1”并保持問題的探索性，就需要教師設置一些問題引導學生討論，增加師生互動.

比如可以設問：老師也喜歡一個數(shù)，因為它是我的幸運數(shù)，你們能猜出來嗎？

(學生猜想，教師注意課堂的變化.當學生猜不出時，可以揭示答案：我喜歡的是“1”，因為我出生在1月.這樣的回答，引起學生的思維沖突，以利于下一步問題的解決.)

生：x不能取1，

師：如果x取1，結果會怎么樣呢？

生：會使分式無意義.

師：要使分式有意義，x應滿足什么條件？

同時多媒體出示：

(2)當x取什么數(shù)時，分式有意義？

(3)當x取什么數(shù)時，分式的值是零？

雖然只是幾句簡單的引導語，但已經體現(xiàn)了活動的目的，學生在活動中體驗到了分式中字母的取值可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)，但使分式有意義是前提條件，解決了本課的難點.

5 探索性

數(shù)學教師在設計數(shù)學活動時，所選擇的問題及安排的數(shù)學活動不但要適合于學生現(xiàn)有的數(shù)學思維水平，也要考慮到促進學生的數(shù)學思維向下一個數(shù)學思維階段發(fā)展，既要考慮到學生數(shù)學思維能力水平的限制，又要考慮到數(shù)學思維發(fā)展的潛力.從這樣的角度去分析，數(shù)學教學應該不斷深入了解學生真實的思維活動，善于引起學生觀念上的不平衡，采取有效的教學對策，促使學生的數(shù)學思維水平不斷上層次.一個有效的策略，就是加大數(shù)學活動的探索性成分，引導學生對已有數(shù)學知識做進一步整理和改組，適當加大數(shù)學知識難度和滲透科學認識的教學，重視學生對科學方法、科學價值的掌握和理解的導引教學，加強學生對整理知識和重組知識能力的培養(yǎng)，使學生能從知識材料間的問題和矛盾中不斷探索發(fā)現(xiàn)和解決問題，實現(xiàn)認識的深化和發(fā)展.

案例5 “切線長定理”的教學片斷

教師設計如下數(shù)學活動：

活動1 分別畫出已知圓的一條切線；兩條相交的切線.

活動2 教師講解切線長概念，并強調辨析切線與切線長的區(qū)別.

活動3 如圖2，利用圖形的軸對稱性，說明圖中PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？

活動4 得出猜想，驗證，形成定理并命名為切線長定理.

這樣的活動設計，學生自始至終都是由教師牽著走，學生心里自然會產生以下疑問：學習了切線之后為什么要畫兩條切線，有什么目的？為什么要給“這條線段長”下定義，有什么用處？為什么要比較“PA與PB，∠APO與∠BPO”的關系？這樣的數(shù)學活動，雖說學生也經歷了“觀察——猜想——驗證——形成定理”的過程，但是，這一過程完全是在教師的“預設”中，教師預先布置好路線，確定好目標，學生要做的只是“按圖索驥”，并非由學生主動發(fā)現(xiàn)知識的過程，更不是以知識的發(fā)生發(fā)展為線索展開探索活動.

古希臘數(shù)學研究幾何學的線索主要有兩條，一條是研究圖形本身的性質，另一條思路即是構圖，通過構圖研究圖形之間的關系及性質.我試著揣摩當時發(fā)現(xiàn)這個定理的數(shù)學家所處的情境，當他通過畫圓的一條切線研究了切線的性質及判定，很容易利用構圖思想，構造出圓的兩條相交的切線有哪些特殊的性質，當這位數(shù)學家通過觀察、猜想、驗證得出線段PA=PB，便試著用文字語言來描述這個定理，當他發(fā)現(xiàn)用文字語言描述PA、PB比較麻煩時，并給這條線段長下了個定義叫“切線長”，順勢將這個定理命名為“切線長定理”.所以，在教學的過程中，我們的活動設計應回歸到數(shù)學研究的本質，從這個定理是怎么研究出來的設計教學，這樣才能真正體現(xiàn)探索性.基于以上的思考，設計以下數(shù)學活動：

圖2

圖3

活動1 前面我們學習了切線的性質以及切線的判定方法，幾何的研究過程實質是一個構圖的過程，我們能構造出圓的兩條相交的切線么？

活動2 在你構造的圖形中(如圖3)，你有什么發(fā)現(xiàn)？請寫出你的猜想，并加以驗證.

活動3 用文字語言表達你的發(fā)現(xiàn).

活動4 當學生難以或用比較繁的語言表述線段PA時，教師介紹切線長定義，并辨析“切線長”與“切線”，順勢將此定理命名為“切線長定理”.

這樣的設計立足于學生的學，以學生的主體探索為中心來展開教學，自然流暢，教師通過構圖思想引導學生發(fā)現(xiàn)問題，并學會自己或通過合作交流解決問題.定理的教學過程不僅要讓學生經過“觀察、實驗——猜想——驗證”的過程，更重要的是，學生應自主的發(fā)現(xiàn)問題并學會探索，教師不能代替學生找問題，整個活動的流程應讓學生體驗像數(shù)學家一樣去探索數(shù)學的過程.

6 交流性

我國《全日制義務教育數(shù)學課程標準》在闡述“解決問題”時指出“學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果”.問題解決的四個重要組成部分是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，數(shù)學交流可以促進問題解決的有效達成.按照斯滕伯格的理論，數(shù)學思維分為分析性思維、創(chuàng)造性思維和實踐性思維.有的學生善于分析性思維，他們在通常的學業(yè)測試中會取得較好的成績；有的學生善于創(chuàng)造性思維，他們在提出問題和方法的突破上會有所長；有的學生善于實踐性思維，在數(shù)學定理的認識中會找尋示例來促進理解.在學生的相互交流中，三種不同的方式都會出現(xiàn)，彼此啟發(fā)或彌補，從而使得數(shù)學思維活動兼顧三種思維的培養(yǎng).因此，數(shù)學教學要重視學生數(shù)學交流活動，給學生相互交流、相互理解的機會，讓學生嘗試用數(shù)學語言解釋數(shù)學概念和現(xiàn)象，表述問題的推理論證過程，說明數(shù)學結論的合理性，進而培養(yǎng)學生數(shù)學表達的條理性、邏輯性和嚴謹性，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

案例6 “探索多邊形的內角和”的教學片斷

多邊形的內角和問題是通過添加輔助線將其轉化為三角形的問題得以解決的，這個問題對于培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)性思維能力具有積極的意義.考慮到學習內容的特點和學生的實際情況，設計數(shù)學活動：

(1)教師首先讓各小組內的每名學生針對圖4中的多邊形，自己獨立思考、自主添加輔助線，推導出n邊形的內角和公式.

圖4

(2)當每名學生都用自己的計算方法求出n邊形的內角和后，再讓學生在小組內進行交流，說說自己添加輔助線的方法和計算結果，進而相互比較、分享他人的成果(右圖5—圖7是學生得到的幾種填加輔助線的方法).

圖5

圖6

圖7

(3)各小組間交流、匯總.

經過全班合作，共同概括，最后發(fā)現(xiàn)：雖然添加輔助線的方法不同，但基本思路是一致的(即通過分割多邊形，把多邊形內角和的問題轉化為三角形內角和的問題)，無論按照哪種分割方法去計算，其結果都是一樣的.最后，學生經過思考、計算、交流、歸納，得到了結論：n邊形的內角和等于(n-2)·180°.

不難看出，該活動從易到難，具體地給出了數(shù)學活動的內容，并始終注意讓學生自己思考，并要求學生在活動中，相互交流，探討和說明思考問題的方法以及思考的過程.這樣的活動，可使學生學會思考、學會探索，學會表達，促進學生的數(shù)學思考力、理解力和表達力的提高.這種數(shù)學活動關注交流性，交流注重的是實質而不是流于形式.

數(shù)學教學需要數(shù)學活動，結合具體內容和學生情況設置合理的數(shù)學思維活動和數(shù)學實踐活動體現(xiàn)了教師的教學能力和專業(yè)素養(yǎng).我們只有不斷學習、不斷探索、不斷反思才能提高數(shù)學活動設計的實效性，從而提高數(shù)學課堂教學效益.

2015-03-03)