趙文才，劉雨林

(山東科技大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590)

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一類非線性脈沖免疫接種SIR傳染病模型的周期解與分支*

趙文才，劉雨林

(山東科技大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590)

由于受到醫(yī)療資源的限制，疫苗的免疫接種率一般不是常數(shù)。采用非線性脈沖免疫接種函數(shù)，建立了一類具有終身免疫的脈沖預防接種SIR模型，利用頻閃映射及差分方程的不動點，討論了模型無病周期解的存在性；運用Floquet乘子理論和脈沖微分方程比較定理，證明了模型無病周期解的全局漸近穩(wěn)定性；選取脈沖免疫接種周期為分支參數(shù)，利用分支定理，給出了系統(tǒng)存在正周期解的充分條件。

非線性脈沖接種；傳染病模型；周期解；全局漸近穩(wěn)定性；分支

傳染病是人類的大敵，世界衛(wèi)生組織2013年發(fā)布《世界衛(wèi)生統(tǒng)計報告》(World health statistics 2013)，現(xiàn)在每年新增艾滋病毒感染者約250萬，這與二十年前的每年300萬相比有所下降，但新增感染者仍比死于艾滋病的人數(shù)多8萬，因此艾滋病人的絕對人數(shù)仍在增加。同時，艾滋病對高感染率國家成年人的死亡率產生了重要影響，比如在南非，該國的男性和女性平均預期壽命在1990年均為六十三歲，但到2011年下降為五十八歲，另一個非洲國家津巴布韋的人均壽命下降幅度更大，為六歲。近年來，由于人感染H7N9禽流感等新的傳染病不斷出現(xiàn)，全球范圍內的傳染病防控形勢依然嚴峻。

為了對傳染病進行預防和控制，人們常采用免疫接種策略，免疫接種有兩種方式：連續(xù)接種和脈沖接種。麻疹、病毒性肝炎、脊髓灰質炎等人類長期面對的傳染病，常采用連續(xù)接種策略。對于突發(fā)傳染病，如重癥急性呼吸綜合征(SARS)、人感染高致病性禽流感、流行性感冒等，則適合采用脈沖免疫接種策略。脈沖免疫接種模型已有大量文獻研究[1-7]，文獻[8]研究了一類具有飽和傳染率的脈沖免疫接種SIRS模型

其中，p為免疫接種率，接種成功的比例為常數(shù)，即脈沖函數(shù)為線性函數(shù)

S(t+)=(1-p)S(t)

但是，免疫接種率一般不是常數(shù)。特別是對某些新發(fā)傳染病，疫苗的研制和生產要受技術、人力、物力等條件的制約，疫苗接種要受到醫(yī)院床位、醫(yī)護人員等醫(yī)療資源的限制。醫(yī)療資源的限制會導致接種成功的比例具有飽和效應。因此，我們假設接種率為飽和函數(shù)

(2)

這里，p表示最大脈沖免疫接種率，θ為半飽和常數(shù)，即接種率為最大接種率的一半時所對應的易感者數(shù)量。從而脈沖接種函數(shù)為非線性函數(shù)

S(t+)=(1-p(t))S(t)

許多疾病治愈后會獲得免疫力，隨著時間的推移，有些疾病的免疫力會逐漸喪失，使得免疫人群重新成為易感者，也就是模型(1)中ω≠0的情況；有些疾病治愈后會獲得長久免疫力，如麻疹、天花、白喉、流行性腮腺炎等病后終身免疫，也就是模型(1)中ω=0的情況。

綜上分析，我們建立如下具有非線性脈沖免疫接種和終身免疫的SIR傳染病模型

這里，S(t)、I(t)、R(t)分別表示t時刻易感者、染病者、移出者的數(shù)量。aA及(1-a)A分別表示單位時間內外來人口輸入易感者和移出者的數(shù)量(0

對于非線性脈沖生態(tài)模型研究，目前文獻較少。文獻[9]研究了一類非線性脈沖狀態(tài)依賴捕食被捕食模型，利用LambertW函數(shù)，研究了模型的階1周期解。本文運用Floquet乘子理論和脈沖微分方程比較定理，討論了模型(3)無病周期解的存在性和穩(wěn)定性。利用分支定理，給出了系統(tǒng)存在正周期解的充分條件。

1 無病周期解的存在性與穩(wěn)定性

在系統(tǒng)(3)中，人口總數(shù)N(t)=S(t)+I(t)+R(t)滿足

在系統(tǒng)(3)中，令I(t)=0,則

(4)

引理1 系統(tǒng)(4)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的正周期解(S*(t),R*(t))。

證明 由系統(tǒng)(4)的前兩個方程，得

(5)

由(4)式的第三、四個方程，

于是

(6)

(7)

記S(kT+)=Sk，構造頻閃映射

Sk+1=

f(Sk)

(8)

其中

q1=e-μT-(1-p)e-2μT>0,

由(8)式可知

記R(kT+)=Rk，由(7)式可知

(9)

該映射有唯一的不動點

kT

kT

由引理1，系統(tǒng)(3)存在無病周期解(S*(t),0,R*(t))，下面討論該周期解的穩(wěn)定性。

設(S(t),I(t),R(t))是系統(tǒng)(3)的任一正解，做變換x(t)=S(t)-S*(t),y(t)=I(t),z(t)=R(t)-R*(t),當t≠kT時，系統(tǒng)(3)關于無病周期解(S*(t),0,R*(t))的線性化系統(tǒng)為

(10)

設Φ(t)為該系統(tǒng)的基解矩陣，則

且Φ(0)=E，E為單位矩陣。于是

當t=kT時，脈沖條件變?yōu)?/p>

(11)

引入矩陣

則系統(tǒng)(10)的單值矩陣

于是，

(λ+γ+μ)T

綜上討論，得

定理1 當R1<1時,系統(tǒng)(3)的無病周期解(S*(t),0,R*(t))局部漸近穩(wěn)定。其中

下面證明無病周期解(S*(t),0,R*(t))的全局吸引性。

定理2 當R1<1時,系統(tǒng)(3)的無病周期解(S*(t),0,R*(t))全局吸引。

證明 由系統(tǒng)(3)得，

根據(jù)引理1,系統(tǒng)

存在正周期解

設(S(t),I(t),R(t))是系統(tǒng)(3)的任一解,由脈沖微分方程比較定理，對于任意正數(shù)ε，存在正整數(shù)N，當k>N時，有

S(t)≤x(t)

(12)

根據(jù)模型(3)的第二個方程，當k>N時，有

(13)

由于R1<1，存在充分小的ε>0，使

綜合定理1、2得，

定理3 當R1<1時，系統(tǒng)(3)的無病周期解(S*(t),0,R*(t))全局漸近穩(wěn)定。

2 正周期解的存在性與分支

由于系統(tǒng)(3)的第一、二個方程不含移出者R(t)，因而只需研究下面的子系統(tǒng)

(14)

下面利用分支定理[10]討論系統(tǒng)(14)正周期解的存在性與分支。

考察閾值R1，不難發(fā)現(xiàn)，R1與脈沖免疫接種周期T成正比，若T過大，將導致R1≥1，無病周期解(S*(t),0,R*(t))不穩(wěn)定。假設T=T0時R1=1,選取T為分支參數(shù),并進行變量替換x1(t)=S(t),x2(t)=I(t),將系統(tǒng)(14)改寫為

(15)

顯然,

根據(jù)分支定理，若BC≠0，則系統(tǒng)(15)可由邊界周期解分支出非平凡周期解。并且當BC<0時，分支是超臨界的，當BC>0時，分支是次臨界的。令

得到如下定理。

定理4 若條件(H)成立，則系統(tǒng)(15)在T0點存在超臨界分支，即可由邊界周期解(S*(t),0)分支出非平凡正周期解。這里,T0滿足R1(T0)=1。

3 討 論

模型(3)采用飽和接種率

θ反映了接種率受醫(yī)療資源限制的程度，θ越大，對易感者的免疫接種率越低。閾值R1與模型(3)中所有參數(shù)有關，下面考察R1與醫(yī)療資源的限制程度θ及疫苗接種周期T之間的關系(如圖1)

圖1 R1與參數(shù)θ、T之間的關系Fig.1 The relationship of the R1 between the parameter θ and T

顯然，若醫(yī)療資源的限制程度θ為定值，閾值R1與疫苗接種周期T成正比。同樣，若疫苗接種周期T固定，R1隨θ的增大而增大。因此，充實醫(yī)療資源、縮短疫苗接種周期，使閾值R1<1，則疾病滅絕。否則,疾病持續(xù)。

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Periodic Solution and Bifurcation of an SIR Epidemic Model with Nonlinear Pulse Vaccination

ZHAOWencai,LIUYulin

(Shandong University of Science and Technology, College of Mathematics and Systems Science, Qingdao 266590, China)

Due to limited medical resources, vaccine immunization rates are not often constant. To adapt nonlinear pulse vaccination function, an SIR epidemic model with lifelong immunity and pulse vaccination is stablished. By using stroboscopic map and fixed point of difference equations, the existence of disease free periodic solution in the model is discussed. The global asymptotically stability of disease free periodic solution is proved by applying Floquet multiplier theory and differential pulse comparison theorem. By choosing the pulse vaccination period as a bifurcation parameter, a sufficient condition under which the system has a positive periodic solution is obtained by using the bifurcation theorem.

nonlinear pulse vaccination; epidemic model; periodic solution; global asymptotically stability; bifurcation

2014-05-13

國家自然科學基金資助項目(11371230)；山東省自然科學基金資助項目(ZR2012AM012)；山東省高等學校科技計劃資助項目(J13LI05)

趙文才(1966年生)，男；研究方向：生物數(shù)學;E-mail:wencaizhao@126.com

10.1347/j.cnki.acta.snus.2015.01.004

O

A

0529-6579(2015)01-0013-06