楊若晨，馬明菊，齊逸飛,李 君

(1. 圣約翰大學(xué)托賓商學(xué)院, 美國(guó) 紐約 NY11439；2. 莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 福建 莆田 351100；3. 西北師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070；4. 西安電子科技大學(xué), 陜西 西安 710071)

?

含潛伏時(shí)滯效應(yīng)和非線性發(fā)生率的SEIR模型的長(zhǎng)時(shí)間行為*

楊若晨1，馬明菊2，齊逸飛3,李 君4

(1. 圣約翰大學(xué)托賓商學(xué)院, 美國(guó) 紐約 NY11439；2. 莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 福建 莆田 351100；3. 西北師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070；4. 西安電子科技大學(xué), 陜西 西安 710071)

研究了一類含有潛伏時(shí)滯和非線性發(fā)生率的SEIR流行病模型。給出了疾病流行的閾值條件，并且得到了無(wú)病平衡點(diǎn)和流行病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性條件。通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)?Lyapunov 泛函, 結(jié)合 LaSalle 不變集原理, 證明了當(dāng)基本再生數(shù)R0≤1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的；但當(dāng)R0>1時(shí)，流行病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的, 同時(shí)利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了分析的結(jié)果。

流行??；數(shù)學(xué)模型；潛伏期；復(fù)發(fā)；時(shí)滯；全局穩(wěn)定性

在有關(guān)傳染病模型的文獻(xiàn)中, 常常假設(shè)疾病的潛伏期是可以忽略的, 基于這種假設(shè)的傳染病模型被稱為是模型, 但是在某些疾病中, 它們的潛伏期是不能被忽略的,例如結(jié)核, 流感, 麻疹等[1-2]。感染了相應(yīng)病菌的染病者在潛伏期內(nèi)是不具有傳染性的, 他們會(huì)在發(fā)病前有一段潛伏期, 因此在描述這種潛伏期時(shí), 引入時(shí)滯的因素是合理的[3-5]。Van den Driessche 和Zou 在文獻(xiàn)[6]中指出, 有些康復(fù)者會(huì)由于休眠致病菌的復(fù)原作用而復(fù)發(fā)成為感染者, 例如人和牛肺結(jié)核[7-8], 及弓形體病毒感染[9]等。比率依賴型發(fā)生率最早是由Arditi等在文獻(xiàn)[10]中引入, 后來(lái)由Li等應(yīng)用于傳染病模型中[11]。受文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[11]的啟發(fā), 考慮具有潛伏時(shí)滯影響的傳染病模型。我們將人群分為四類, 其人數(shù)分別記作易感者S(t), 處于潛伏期的人E(t), 感染者I(t), 具有短暫免疫者R(t)。

(1)

S(θ)=φ1(θ),E(θ)=φ2(θ),

I(θ)=φ3(θ),R(θ)=φ4(θ)，

φi(θ)≥0,θ∈[-τ,0],

φi(0)>0,i=1,2,3,4

(2)

(3)

由文獻(xiàn)[12],系統(tǒng)(1)有滿足初始條件(2)和(3)的唯一解(S(t),E(t),I(t),R(t))。容易得到系統(tǒng)(1)初始值定義在[0,+∞)的所有解，當(dāng)t≥0時(shí)為正。

1 平衡點(diǎn)和局部穩(wěn)定性

(R0-1)

(4)

Aβe-μτ(μ+δ)>(aA+μ)·

[δ(μ+ε)+μ(μ+γ+ε)]>

aA[δ(μ+ε)+μ(μ+γ+ε)]

即

βe-μτ(μ+δ)>a[δ(μ+ε)+μ(μ+γ+ε)]

因此, 當(dāng)R0>1時(shí), 正平衡點(diǎn)存在。系統(tǒng)(1)在無(wú)病平衡點(diǎn)處的特征方程為

(λ+μ)2[λ2+P1(τ)λ+P0(τ)+

(Q1(τ)λ+Q0(τ))e-λτ]=0

(5)

其中

P1(τ)=2μ+δ+γ+ε,

P0(τ)=(μ+δ)(μ+γ+ε)-δγ,

顯然, 方程(5)有一個(gè)負(fù)實(shí)根λ=-μ, 其余的根由下面的方程來(lái)決定

λ2+P1(τ)λ+P0(τ)+
(Q1(τ)λ+Q0(τ))e-λτ=0

(6)

當(dāng)τ=0, 方程(6)變?yōu)?/p>

λ2+(P1(0)+Q1(0))λ+P0(0)+Q0(0)=0

直接計(jì)算得到

P1(0)+Q1(0)=

[(μ+γ+ε)μ+δ(μ+ε)](1-R0)>0

因此，當(dāng)τ=0時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)τ>0時(shí)，設(shè)iw(w>0)是方程(5)的一個(gè)純虛根,代入(5)式中，分離實(shí)部、虛部，直接計(jì)算得

w2-P0(τ)=Q0(τ)coswτ+Q1(τ)wsinwt,

P1(τ)w=Q0(τ)sinwτ+Q1(τ)wcoswτ

平方相加得

(7)

[(μ+δ)4+δ2(γ(2μ+2ε+γ)+

2δγ(μ+δ)2+2μδγ(μ+γ+ε)]>0

因此, 當(dāng)R0<1時(shí), 方程(7)無(wú)實(shí)根。注意到無(wú)病平衡點(diǎn)E1當(dāng)τ=0時(shí)是局部漸近穩(wěn)定的。由文獻(xiàn)[13]的定理4.1, 當(dāng)R0<1時(shí), 無(wú)病平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的。

記

f(λ)=λ2+P1(τ)λ+P0(τ)+

(Q1(τ)λ+Q0(τ))e-λτ

如果R0>1, 則

f(0)=(1-R0)[μ(μ+γ+ε)+δ(μ+ε)]<0

另一方面，當(dāng)λ→+∞時(shí)，f(λ)→+∞，故方程(5) 至少有一個(gè)正實(shí)根,因此當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E1不穩(wěn)定。

下面考慮流行病平衡點(diǎn)E2的穩(wěn)定性。系統(tǒng)(1)在流行病平衡點(diǎn)E2處的特征方程為

(λ+μ)[λ3+p2(τ)λ2+p1(τ)λ+p0+

(q2(τ)λ2+q1(τ)λ+q0)e-λτ]=0

(8)

這里

(2μ+δ+γ+ε)+α(μ+δ)·

q2(τ)=-α,

q1(τ)=-α(2μ+δ),

q0(τ)=-αμ(μ+δ)

方程(8) 有一個(gè)負(fù)實(shí)根λ=-μ, 其余的根由下面的方程決定

λ3+p2(τ)λ2+p1(τ)λ+p0+

(q2(τ)λ2+q1(τ)λ+q0)e-λτ=0

(9)

當(dāng)τ=0, 方程(9)變?yōu)?/p>

λ3+(p2(0)+q2(0))λ2+(p1(0)+
q1(0))λ+p0(0)+q0(0)=0

當(dāng)R0>1時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算

并且

(p1(τ)+q1(τ))(p2(τ)+q2(τ))-(p0(τ)+q0(τ))=

(2μ+δ)[μ(2μ+δ+γ+ε)-μα]+

[(2μ+δ)(2μ+δ+γ+ε)-α(μ+δ)]·

其中

F2=(2μ+δ)[μ(2μ+δ+γ+ε)-μα]>0,

F3=[(2μ+δ)(2μ+δ+γ+ε)-α(μ+δ)]·

因此, 當(dāng)R0>1時(shí), 方程(9) 沒(méi)有正實(shí)根, 平衡點(diǎn)E2當(dāng)τ=0時(shí)是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)τ>0時(shí), 設(shè)iw(w>0)是方程(9)的一個(gè)純虛根, 帶入(9)中, 分離實(shí)部、虛部, 直接計(jì)算得

p1(τ)w-w3=

(q0(τ)-q2(τ)w2)sinwτ-q1(τ)wcoswτ

p2(τ)w2-p0(τ)=

(q0(τ)-q2(τ)w2)coswτ-q1(τ)wsinwτ

平方相加得到

w6+a4,0w4+a2,0w2+a0,0=0

其中，

因此若R0>1時(shí), 方程(9)沒(méi)有實(shí)根。注意到平衡點(diǎn)E2當(dāng)τ=0時(shí)是局部漸近穩(wěn)定的, 根據(jù)文獻(xiàn)[13]定理4.1, 得到當(dāng)R0>1時(shí), 平衡點(diǎn)E2存在并且是局部漸近穩(wěn)定的。有下面的結(jié)論。

定理1 對(duì)于系統(tǒng)(1)有,

(i)若R0<1無(wú)病平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的；如果R0>1,E1是不穩(wěn)定的。

(ii)若R0>1，系統(tǒng)(1)有唯一的流行病平衡點(diǎn)E2，并且它是局部漸近穩(wěn)定的。

2 全局穩(wěn)定性

通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov泛函并利用LaSalle不變集原理討論系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E1和流行病平衡點(diǎn)E2的全局穩(wěn)定性。注意到在E(t)系統(tǒng)(1)的第一、第三和第四個(gè)方程中并未出現(xiàn), 因此只需要考慮系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng)的穩(wěn)定性

(10)

證明 記S0=A/μ,(S(t),I(t),R(t))是系統(tǒng)(10)具有初始條件(2)的解。定義

則V1(t)沿著系統(tǒng)(10)的全導(dǎo)數(shù)為

(11)

將A=μS0代入(11)式有

(12)

其中α如(4)式所定義。構(gòu)造如下形式的Lyapunov 泛函

(13)

由(12)式和(13)式

(R0-1)I(t)

(14)

當(dāng)R0<1時(shí)，由(14)式知V′(t)≤0。由文獻(xiàn)[14]的定理5.3.1，定義M為集合{V′(t)=0}的最大不變子集。又由(14)式,{V′(t)=0}當(dāng)且僅當(dāng)S(t))=0,I(t)=0。注意到集合M是不變的, 對(duì)于集合M中的每個(gè)元素,有I(t)=0,I′(t)=0。因此由(10)的第二個(gè)方程,

0=I′(t)=δR(t)

證明 設(shè)(S(t),E(t),I(t),R(t)) 是系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)-(3)的正解，由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)方程和條件(3)得到

(15)

再由定理2, 當(dāng)R0<1,t→∞時(shí),

(16)

由(15)-(16)式，得

注意到當(dāng)R0<1時(shí), 系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E1是局部穩(wěn)定的, 因此E1是全局漸近穩(wěn)定的, 證畢。

下面為了證明系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)E2的全局穩(wěn)定性, 首先來(lái)證明系統(tǒng)(10)的正平衡點(diǎn)E2的全局漸近穩(wěn)定性。

證明 設(shè)(S(t),I(t),R(t))是系統(tǒng)(10)具有初始條件(2)的正解, 定義

那么

另外，定義

構(gòu)造如下形式的Lyapunov泛函

V2(t)=V2,0(t)+V2,1(t)

那么

函數(shù)

H(t)=1-f(t)+lnf(t)

3 數(shù)值模擬

在本部分中, 對(duì)前面的相關(guān)的分析結(jié)果做數(shù)值模擬, 以驗(yàn)證這些結(jié)果。其中所采用的數(shù)據(jù)均是估算值。

例1 取參數(shù)值：A=0.9,μ=0.2,β=0.3,a=0.2,δ=0.2,γ=0.2,ε=0.2,τ=8, 此時(shí)經(jīng)計(jì)算R0=0.286 906<1, 由推論1, 無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。如圖1 所示。

圖1 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E1是全局漸近穩(wěn)定的Fig.1 The disease free- equilibrium E1is globally asymptotically stable whenR0<1

例2 取參數(shù)值：A=0.9,μ=0.2,β=0.3,a=0.2,δ=0.2,γ=0.2,ε=0.2,τ=0.6, 此時(shí)經(jīng)計(jì)算R0=1.260 36>1, 由推論2, 無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。如圖2 所示。

圖2 當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(1)的流行病平衡點(diǎn)E2是全局漸近穩(wěn)定的Fig.2 The epidemic equilibrium E2is globally asymptotically stable whenR0>1

4 討 論

在本文中,綜合考慮了一類同時(shí)具有潛伏時(shí)滯, 復(fù)發(fā)因素的SEIR傳染病模型,并完整地分析了模型的全局穩(wěn)定性, 得到了疾病流行的基本再生數(shù)R0。如果R0<1,系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。相反,如果R0>1,流行病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。由基本再生數(shù)的表達(dá)式容易得到,潛伏時(shí)滯越大,有效接觸率越低, 基本再生數(shù)越小而且這種影響對(duì)于疾病的流行是指數(shù)級(jí)的。換言之,有效的控制疾病的潛伏期對(duì)于該類疾病的控制起著至關(guān)重要的作用，稍加延長(zhǎng)疾病處在潛伏期內(nèi)的時(shí)間就有可能大大減少疾病流行的可能性。

[1]FENGZ,HUANGW,CASTILLO-CHAVEZC.Ontheroleofvariablelatentperiodsinmathematicalmodelsfortuberculosis[J].JDynamDifferentialEquations, 2001, 13: 425-452.

[2]HUOH,FENGL.GlobalstabilityforanHIV/AIDSepidemicmodelwithdifferentlatentstagesandtreatment[J].ApplMathModel, 2013, 37:1480-1489.

[3]HETHCOTEHW,VANDENDRIESSCHEP.AnSISepidemicmodelwithvariablepopulationsizeandadelay[J].JMathBiol, 1995, 34:177-194.

[4]HETHCOTEHW,VANDENDRIESSCHEP.TwoSISepidemilogicmodelswithdelays[J].JMathBiol, 2000, 40: 3-26.

[5]GAOS,CHENL,TENGZ.PulsevaccinationofanSEIRepidemicmodelwithtimedelay[J].NonlinearAnal,RealWorldAppl, 2008, 9: 599-607.[6]VANDENDRIESSCHEP,ZOUX.Modelingrelapseininfectiousdiseases[J].MathBiosci, 2007, 207: 89-103.

[7]CHINJ.Controlofcommunicablediseasesmanual[M].Washington:AmericanPublicHealthAssociation, 1999.

[8]MARTINSW.Livestockdiseaseeradication:evaluationofthecooperativestate-federalbovinetuberculosiseradicationprogram[M].Washington:NationalAcademyPress, 1994.

[9]VANLANDINGHAMKE,MARSTELLERHB,ROSSGW,etal.Relapseofherpessimplexencephalitisafterconventionalacyclovirtherapy[J].JAMAJ,AmMedAsoc, 1988, 259: 1051-1053.

[10]ARDITIR,GINZBURGLR.Couplinginpredator-preydynamics:ratio-dependence[J].JTheorBiol, 1989, 139: 311-326.

[11]LID,MAW.AsymptoticpropertiesofanHIV-1infectionmodelwithtimedelay[J].JMathAnalAppl, 2007, 335: 683-691.

[12]COOKEK,VANDENDRIESSCHEP.AnalysisofanSEIRSepidemicmodelwithtwodelays[J].JMathBiol, 1996, 35: 240-260.

[13]KUANGY.Delaydifferentialequationswithapplicationsinpopulationdynamics[M].NewYork:AcademicPress, 1993.

[14]HALEJK,VERDUYNLUNELS.Introductiontofunctionaldifferentialequations[M].NewYork:Springer, 1993.

[15]HADDOCKJR,TERJEKIJ.Liapunov-Razumikhinfunctionsandaninvarianceprincipleforfunctional-differentialequations[J].JDifferEquations, 1983, 48: 95-122.

Long Time Behavior for an SEIR Epidemic Model with Latent Delay and Nonlinear Incidence Rate

YANGRuochen1,MAMingju2,QIYifei3,LIJun4

(1.Tobin College of Business, St.John’s University, New York NY11439, USA; 2. Department of Mathematics, Putian University, Putian 351100, China; 3. School of Economics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China; 4..School of Mathematics and Statistics, Xidian University, Xi’an 710071, China)

A mathematical model describing the transmission dynamics of disease with nonlinear incidence rate and delay is constructed. The local stability of the disease-free equilibrium and epidemic equilibrium is established by analyzing the corresponding characteristic equation. Using suitable Lyapunov function and LaSalle’s invariance principle, it is proved that ifR0≤1thenthedisease-freeequilibriumisgloballyasymptoticallystable,butifR0>1thentheepidemicequilibriumisgloballyasymptoticallystable.Somenumericalsimulationsarealsogiventoexplaintheconclusions.

epidemic disease; mathematical model; incubation period; latent relapse; delay; global stability

2014-07-31

福建省教育廳中青年教師教育科研資助項(xiàng)目(JA13283)

楊若晨(1994年生), 男；研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)；通訊作者：李君；E-mail:j.lee.nx@gmail.com

10.1347/j.cnki.acta.snus.2015.01.006

O

A

0529-6579(2015)01-0024-07