靳文嵐

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)列；解讀

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 C

【文章編號(hào)】 1004—0463（2015）08—0123—01

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容.2014新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)高考中數(shù)列為第18大題，分值12分；文科數(shù)學(xué)數(shù)列為第5題選擇，分值5分和第16題填空，分值5分，共10分.從考題的類型來(lái)看，數(shù)列會(huì)在高考中以各種題型出現(xiàn)，并且題目的難易程度分布均勻，是每年的必考題型之一.從分值來(lái)看，數(shù)列占10或12分，在高考中占舉足輕重的作用，而且是學(xué)生容易得分的模塊，所以數(shù)列在高考中的重要性是不言而喻的.

數(shù)列在高考中考查的內(nèi)容主要有以下幾個(gè)方面：1.能用等差或等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式求解；2.等差或等比數(shù)列的判斷與證明；3.數(shù)列和其他知識(shí)的結(jié)合，其中數(shù)列常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)綜合求解.

下面對(duì)2014高考中的一些典型題進(jìn)行分析

一、等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算

[2014·湖北卷18] 已知等差數(shù)列{an}滿足：a1=2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.

解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

依題意得：2，2+d，2+4d成等比數(shù)列，

故有（2+d）2=2（2+4d），

化簡(jiǎn)得d2-4d=0，解得d=0或d=4.

當(dāng)d=0時(shí)，an=2；

當(dāng)d=4時(shí)，an=2+（n-1）·4=4n-2.

從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2.

（2）當(dāng)an=2時(shí)，Sn=2n，顯然2n<60n+800，

此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n+800成立.

當(dāng)an=4n-2時(shí)，Sn==2n2.

令2n2>60n+800，即n2-30n-400>0，

解得n>40或n<-10（舍去），

此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn>60n+800成立，n的最小值為41.

綜上，當(dāng)an=2時(shí)，不存在滿足題意的正整數(shù)n；當(dāng)an=4n-2時(shí)，存在滿足題意的正整數(shù)n，其最小值為41.

考點(diǎn)分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式和不等式的相關(guān)知識(shí)，考查方程思想、分類討論的思想，同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算能力以及綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力.

二、等差、等比數(shù)列的判斷與證明

[2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ17] 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

（1）證明an

+是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明++…+<.

解：（1）由an+1=3an+1得an+1+=3an

+

又a1+=，所以an

+是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以an+=，因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.

（2）證明：由（1）知=.

因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n-1≥2×3n-1，

所以≤，即=≤.

于是++…+≤1++…+=1-

<.

所以++…+<.

考點(diǎn)分析：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查等比數(shù)列的概念，不等式的證明及數(shù)列的求和等知識(shí)，意在考查考生的分析轉(zhuǎn)化能力與推理論證能力.

三、等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

1.[2014·安徽卷12] 數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+1，a3+3，a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q= 1

考查性質(zhì)：（1）若{an}是等差數(shù)列，則ak，ak+m，ak+2m，…（k、m∈N+）也是等差數(shù)列；（2）若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan+qbn}是等差數(shù)列.

2.[2014·北京卷12] 若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，則當(dāng)n= 8 時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大.

3.[2014·遼寧卷8] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列，則（ C ）

A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0

考點(diǎn)分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)列和函數(shù)的綜合考查.

編輯：謝穎麗