傅虹
摘要:著名的布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型成功為期權(quán)這一最復雜的衍生金融工具定價,他的提出最早可追溯到1973年,由美國芝加哥大學教授費雪·布萊克和梅隆·舒爾斯合作發(fā)表的《期權(quán)與公司負債定價》一文,這一難題的攻克引起了強烈的反響。隨著期權(quán)理論的逐步發(fā)展,人們意識到生活中很多事物或者交易可以被轉(zhuǎn)換為期權(quán)的思想。本文即將公司股票和債券視為基于公司資產(chǎn)的期權(quán),從而利用B-S模型為公司股票和債券定價。
關(guān)鍵詞:B-S定價模型;看漲期權(quán);看跌期權(quán);看漲-看跌平價理論
一、引言
正確地確定公司股票、債券等證券的內(nèi)在價值是公司價值評估的核心。一般采用絕對定價法為股票和債券定價。具體來說即利用未來各期的現(xiàn)金流貼現(xiàn)值進行估價。表現(xiàn)為債券估價的基本模型:V=[∑nt=11(1+r)t]+F(1+r)n。普通股的當前價格則等于未來所有股利的現(xiàn)值,即P=∑∞t=0Dt(1+R)t。(特別的,當股利0增長時,有P=D/R,若股利以g常增長,則P=D1R-g)
上述表明,決定資產(chǎn)價值主要有以下三個因素:1)資產(chǎn)的預期現(xiàn)金流。但是這樣的現(xiàn)金流預測即使在短期內(nèi)有效,也存在無法估計長期情況的棘手問題;2)貼現(xiàn)率。這一指標反應(yīng)的是貨幣的時間價值和現(xiàn)金流動的風險程度。我們可以根據(jù)CAPM得到合適的貼現(xiàn)率,但往往帶有主觀臆斷;3)現(xiàn)金流發(fā)生的時期。再者,即使以上三個因素的獲取都不存在問題,這種定價方法仍然存在未考慮公司價值及公司資本結(jié)構(gòu)變動效應(yīng)的缺陷。
本文中,我們利用期權(quán)的方法對公司股票和債券定價。首先我們應(yīng)該認識到,公司股票和債券實際上可視為基于公司資產(chǎn)的期權(quán)(下文將給出具體解釋)。我們可以利用經(jīng)典B-S期權(quán)定價模型估價股票和債券,并討論相關(guān)的性質(zhì)。
二、B-S期權(quán)定價模型
期權(quán)屬于較為復雜的金融衍生工具。其賦予持有人在特定的時間以特定的價格(即執(zhí)行價)購買(看漲期權(quán))或出售(看跌期權(quán))標的資產(chǎn)的權(quán)利。常見的歐式期權(quán)只能在到期才能被執(zhí)行,而美式期權(quán)可在到期日及之前的任何時間被執(zhí)行。期權(quán)買賣雙方權(quán)利義務(wù)的不匹配,使得期權(quán)買方需支付給期權(quán)賣方一筆合理的期權(quán)費。于是產(chǎn)生了關(guān)于期權(quán)公正價格計算的需要。B-S期權(quán)定價模型被認為最經(jīng)典且符合實踐的。當然,它的推導存在以下假定條件:
1)股票價格是連續(xù)的,股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。收益率服從正態(tài)分布
2)對應(yīng)資產(chǎn)可以自由買賣、賣空
3)對應(yīng)資產(chǎn)沒有其他收入,如股息,也沒有稅收和其他交易成本
4)期權(quán)為歐式期權(quán),到期前不可行使
5)以零風險利率融資,且為連續(xù)復利
經(jīng)過嚴密的數(shù)學推導,最終的定價公式為:
C=SN(d1)-Xe-rtN(d2)——(1)
其中,C是歐式看漲期權(quán)的價格,S是股票價格,X為期權(quán)的執(zhí)行價格,T是期權(quán)距到期日的時間,R為無風險利率,N(d1)和N(d2)表示累積正態(tài)密度函數(shù),d1=ln(SX)+(r+12σ2)tσt
d1=ln(SX)+(r-12σ2)tσf=d1-σt
σ是股票價格的年化波動率。
另外,我們簡單介紹下看漲-看跌平價理論。設(shè)計以下交易:1)賣出看漲期權(quán),到期日t,交割價格X。2)買入看跌期權(quán),到期日t,交割價格X。3)買入對應(yīng)的標的資產(chǎn)。4)借入Xe-rt的資金。令C表示看漲期權(quán)價格,P表示看跌期權(quán)價格。則期初現(xiàn)金流為:C-P-S+Xe-rt。則到到期日,不論股票價格大于或者小于交割價格X,凈現(xiàn)金流均為0,由無套利可知,初始的現(xiàn)金流也該為0。即:P= C-S+Xe-rt=SN(d1)-Xe-rtN(d2)-S+Xe-rt=Xe-rtN(-d2)-SN(-d1)
P+S=C+Xe-rt——(2)
由上述式子可知,期權(quán)的價格只和S,X,r,t,σ這五個變量有關(guān),而前四個變量都可以通過數(shù)據(jù)觀察得到,σ則可以通過歷史的價格數(shù)據(jù)進行估計。投資者的風險偏好和股票的預期收益率沒有出現(xiàn)在定價公式中,這正是期權(quán)定價方法不同于開篇所述的現(xiàn)金流絕對定價法的地方。
三、公司股票估值
從期權(quán)的角度看,公司股票可以被視為股東所持有的看漲期權(quán),標的資產(chǎn)為公司資產(chǎn),執(zhí)行價格為公司債務(wù)。債務(wù)到期時,當公司資產(chǎn)的價值大于公司負債時,為實值期權(quán),股東將執(zhí)行看漲期權(quán),支付債權(quán)人應(yīng)得的部分。若資不抵債,則為虛值期權(quán),股東將不執(zhí)行權(quán)利,宣布公司破產(chǎn)。
現(xiàn)在,我們考慮到一個有負債的公司,其資本結(jié)構(gòu)由權(quán)益資本和債務(wù)資本組成,設(shè)V(t)為此公司在t時刻的總價值,E(t)表示t時刻的權(quán)益資本(即普通股股票的價值),D(t)為t時刻的債務(wù)資本價值,根據(jù)MM定理有:
V(t)= E(t)+ D(t)
設(shè)T時刻公司的債務(wù)價值為B(T)= B(t)*(1+r)T-t(若公司發(fā)行債券為貼現(xiàn)債券,則B(T)即為發(fā)行債券時的票面價值),其中rb為借款利率,大于無風險利率r。V(T)為T時刻的公司總價值,它是不確定的,E(T)為T時刻權(quán)益的價值。我們假設(shè)債務(wù)在T時刻進行清算,則到期日T時,若V(T)B(T),根據(jù)上述分析的,股東將執(zhí)行看漲期權(quán),支付B(T)給債權(quán)人,可視為股東以B(T),即低于公司資產(chǎn)價值的價格向債權(quán)人買入公司。股東獲得差額E(T)= V(T)- B(T),即公司股票價格在T時為V(T)- B(T)。相反,若V(T)B(T),即資不抵債(從看漲期權(quán)的角度看,為執(zhí)行價格大于標的資產(chǎn)的虛值期權(quán)),股東不執(zhí)行權(quán)利,宣布破產(chǎn),將公司交予債權(quán)人,債權(quán)人獲得公司價值V(T),而股東一無所獲,此時股票的價值將等于0。綜上所述,T時債券的價值等于Min[V(T),B(T)],而T時股票的價值等于E(T)=Max[V(T)- B(T),0]。
可見,公司股票確實可視為基于公司資產(chǎn)的看漲期權(quán),因此,其價值可以用B-S看漲期權(quán)定價公式估計為:
E(t)=V(t)N(d1)-B(T)e-r(T-t)N(d2)——(3)
其中
d1=ln(V(t)B(t))+(r+12σv2)(T-t)σvT-t
d2=ln(V(t)B(t))+(r-12σv2)(T-t)σvT-t
σv是公司資產(chǎn)價值的標準差,它反映了公司資產(chǎn)的風險程度。
四、公司債券的估價
根據(jù)以上對公司股票當前價值的估算,我們可以輕松得出當前債務(wù)的價值D(t)=V(t)-E(t)——(4)
由于股票可看成是基于公司資產(chǎn)價值的看漲期權(quán),所以(4)式實際上是說公司債券價值等于公司資產(chǎn)價值減去資產(chǎn)看漲期權(quán)的價值。
另一方面,我們知道T 時債券的價值可表示為Min[V(T),B(T)],它說明,從債權(quán)人的角度看,股東手里持有一個執(zhí)行價格為B(T),到期日為T 的基于公司資產(chǎn)的看跌期權(quán)。具體來說,當清算T時,公司資產(chǎn)大于債務(wù),此時看跌期權(quán)是虛值的,股東不執(zhí)行期權(quán),因而,持股人保留公司的所有權(quán),但連本帶利支付給債權(quán)人B(T);倘若資不抵債,即V(T)B(T),股東將執(zhí)行看跌期權(quán),以B(T)賣出公司,然而還需償還債權(quán)人債務(wù)也是B(T),即可視為持股人以放棄股本來換取債務(wù)注銷,股東一無所獲。這與以上按看漲期權(quán)來看待公司的分析是吻合的,股東的獲利依然是Max[V(T)- B(T),0]。從看漲期權(quán)——看跌期權(quán)平價關(guān)系,注意到V(t)=E(t)+D(t),E(t)=C,我們有:
P+V(t)=P+E(t)+D(t)=C+B(T)e-r(T-t)=E(t)+ B(T)e-r(T-t)
即 D(t)=B(T)e-r(T-t)- P——(5)
P是看跌期權(quán)的價值,B(T)e-r(T-t)是公司債券約定支付的,以無風險利率折現(xiàn)的現(xiàn)值。(5)式說明公司債券的價值等于無風險債券的價值減去公司資產(chǎn)看跌期權(quán)的價值。因此可直接用B-S模型估計:
P=B(T)e-r(T-t)N(-d2)-V(t)N(-d1)——(6)
所以我們有公司債務(wù)當前估價
D(t)= B(T)e-r(T-t)-B(T)e-r(T-t)N(-d2)-V(t)N(-d)——(7)
這樣不論是將股東視為持有看漲期權(quán),算出E(t),再根據(jù)(4)式算出D(t),還是直接根據(jù)(7)式算出D(t),二者的結(jié)果應(yīng)當是一致的。
五、結(jié)論
以上我們已經(jīng)論證持股人和債權(quán)人既可以用看漲期權(quán),也可以用看跌期權(quán)來看待,下表總結(jié)了這兩種觀點:
持股人債權(quán)人
以看漲期權(quán)看待時的狀況
持股人擁有B(T)執(zhí)行價格的公司看漲期權(quán)1債權(quán)人擁有公司2債權(quán)人向持股人出售看漲期權(quán)
以看跌期權(quán)看待時的狀況
1持股人擁有公司2持股人欠債權(quán)人B(T)的利息和本金和3持股人擁有B(T)執(zhí)行價格的公司看跌期權(quán)1債權(quán)人擁有B(T)的利息和本金的債權(quán)2債權(quán)人向持股人出售看跌期權(quán)
當然,我們也必須認識到公司證券和股票期權(quán)存在的不同。如公司證券的基礎(chǔ)資產(chǎn)是公司的總價值。持有者除了可以從企業(yè)那里獲得支付,還具備通過股息政策、融資政策和投資政策的改變來變動公司證券的價值的權(quán)力,這都是股票期權(quán)所沒有的。另外,本文中根據(jù)B-S模型的估價是受到B-S模型假設(shè)前提條件的限制的,比如,B-S假設(shè)標的資產(chǎn)是無收益的,實際上公司擁有的資產(chǎn)是可以給我們帶來收益的。此外公司需要繳納公司所得稅,股東和債權(quán)人也需要繳納個人所得稅,實際上我們無法要求無交易成本和稅收的限制等等。但是撇去這些,本文所論述的方法還是具有一定意義的。(作者單位:福州大學)
參考文獻:
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