高艷軍

摘要：數(shù)學學習不單純是數(shù)的計算與形的研究，其中貫穿始終的是數(shù)學思想和數(shù)學方法.在數(shù)學里所接觸到的一些思想方法中，數(shù)形結(jié)合的思想方法無疑是比較重要的一種，著名思想家華羅庚指出：“數(shù)”與“形”是數(shù)學中最本質(zhì)、最古老的兩樣東西，它們既分別發(fā)展著，同時又互相滲透、互相啟發(fā)，共同推動著數(shù)學科學的向前發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；幾何圖形；數(shù)軸；方程；乘法法則

【分類號】G633.6

所謂數(shù)形結(jié)合，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀.數(shù)形結(jié)合主要有兩方面：其一，從形到數(shù)，揭示形中數(shù)的本質(zhì)，數(shù)學的發(fā)展使許多幾何問題不再是單純的圖形研究，人們在透過形的外表觸及其內(nèi)在的數(shù)量特征，探索由形到數(shù)的聯(lián)系與規(guī)律；其二，由數(shù)到形，利用形的直觀，加深對概念的理解記憶，開拓解題思路.形與數(shù)互相比較有著直觀上的優(yōu)勢.對于學生相對于抽象思維，普遍更喜歡形象思維，對圖形的記憶也總強于對文字、數(shù)式的記憶，所以老師在講述有關(guān)數(shù)學知識時，都盡可能用數(shù)形結(jié)合、形數(shù)對照的方法，使學生對所學知識有更深刻的了解.

在小學學習中，用的最多的是前者，而且在應用題的分析求解中，通常是將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段圖.然而，這并不是唯一的方式.實際上，在不同的問題中，可將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不同的圖形.其中有一個原則：能把數(shù)量關(guān)系最清晰、最直接地顯示出來的圖形，是我們最佳的選擇.例如下面這個例題

一色糖果平均分給三個小朋友，如果每人吃掉4塊，那么三人剩下的糖塊數(shù)之和恰好是原糖果數(shù)的1/3，問原糖果有多少塊？

分析與解答 當然上面的問題用方程來解決或許比較簡單，但是對于一個小學生來說方程也許對他們太抽象了，難于理解，所以這里我們用圖形來解決這個問題，我們希望選擇的圖形能夠一目了然地看出“三人剩下的糖果之和恰好是糖塊數(shù)的1/3”，就是說，能把“三個剩下的糖塊數(shù)之和”在圖形中連成一片，并且能夠直接看出它與原糖果數(shù)之間的關(guān)系，為此，我們畫一個大圓，并且大圓的面積表示原糖塊數(shù)，把大圓三等分，每份即表示每位小朋友分得的糖塊數(shù)，

在大圓中再畫一個小同心圓（小圓的半徑約等于大

圓半徑的0.6），用小同心圓的面積表示三人剩下的

糖塊的之和，于是圓環(huán)（陰影部分）的面積即表示三

人吃掉的糖塊數(shù)之和，如圖所示：這樣一來數(shù)量關(guān)系就

完全明了清晰了.

由此可見，在我們剛一接觸數(shù)學時，數(shù)形結(jié)合思想已扎根于我們的腦海中，給我們每個人留下了深刻的印象，下面我們就數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學中的幾點重要應用做一下歸納.

一 、從數(shù)軸上來看數(shù)形結(jié)合的重要性

步入小學六年級，我們要接觸一種新形式的數(shù)——“負數(shù)”，為了使學生易于理解什么是負數(shù)以及負數(shù)與我們以前所學的數(shù)的區(qū)別.就引進了數(shù)軸，即它是一條規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，有了數(shù)軸，負數(shù)、相反數(shù)以及數(shù)的絕對值都可以通過數(shù)軸來描述出來，看下面的例子

例1 若 且 試用

分析 由已知條件直接從“數(shù)”的關(guān)系比較很抽象，比較大小有一定困難；若由已知條件借助于“形”（數(shù)軸）來解決，則較為方便.

解 由條件不難知道 ，并結(jié)合相反數(shù)的意義，依題意將 在數(shù)軸上的大致位置表示

如圖所示： .

例2[1] 觀察數(shù)軸

（1）求適合 的整數(shù)？它們的和是多少？

（2）求適合 的所有整數(shù)x.

解 （1）根據(jù)絕對值的意義整數(shù)x滿足 表示到原點的距離小于5的所有整數(shù)點，在數(shù)軸上作圖

易知滿足 的所有整數(shù)為±4，±3，±2，±1，0這九個數(shù)，它們的和是0

解 （2）根據(jù)絕對值的意義 表示數(shù)軸上對應x的點到對應1的點的距離，那么求 的整數(shù)x即求數(shù)軸上到表示1的點的距離大于1小于4的所有整數(shù)點，作出數(shù)軸圖.

∴所有整數(shù)x為-1，-2，3

以上幾個例題主要建立在對相反數(shù)、絕對值意義的理解，利用數(shù)軸，使用數(shù)形結(jié)合從而使問題變得直觀，進而易于解決.其數(shù)形結(jié)合思想是隱含在習題的解決過程中的，平時對問題及過程多琢磨，多挖掘，認真提煉，對于學好用好數(shù)學思想將是十分有價值和十分有意義的.

二、多項式乘法法則的圖示使學生對法則易懂易記

對于單項式乘以多項式、多項式乘以多項式的法則在介紹了代數(shù)推導法則后，都給出了幾何圖示，這種數(shù)形結(jié)合的表示方法，使學生易于接受，容易理解，便于記憶.下面以多項式的乘法為例加以說明.

例3[2] 求 ，第一次見到兩個多項式相乘往往無從下手，可是通過以下我們建立幾何圖形，就可以使同學們輕松的得到問題的答案，如圖所示

分析與解答：用S表示右圖中改造后綠化帶

的面積，則 ，這是利用

了長方形的面積公式. 如果分別求出每

個小綠化帶的面積同樣也可以得到改造

后綠化帶的面積即：

.由此我們得到結(jié)論：

，由此可見數(shù)形結(jié)合能幫助學生在和諧、輕松的氛圍中，不知不覺地完成對新知識的認識過程.

綜上所述，我們很容易的就會得到用數(shù)形結(jié)合法去解決一些問題比較直觀、形象，而且內(nèi)容易于理解和記憶.所以我們說數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學特點的信息轉(zhuǎn)換，關(guān)于數(shù)形結(jié)合，華羅庚教授評價說：

數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；

數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微；

數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；

切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠聯(lián)系切莫分離.

由此可見，數(shù)與形之間有著多么重要的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法把幾何、代數(shù)融為一體，所以，在今后的學習中，我們要牢牢地掌握住這種方法，用“數(shù)”的準確性澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計算，抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，溝通知識聯(lián)系，激發(fā)學生學習興趣，提高思維能力.

參考文獻

[1] 中國數(shù)學會.數(shù)學通報.北京師范大學出版社[J].2004，（8）：19-20.

[2] 中國數(shù)學會.數(shù)學通報.北京師范大學出版社[J].2006，（8）：28-29.