鄭小洋 羅其莉 姚蕾 宋江敏

【摘要】本文直接從建立阻滯增長(zhǎng)模型出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用MATLAB解決實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算和估計(jì)參數(shù)的能力.

【關(guān)鍵詞】阻滯增長(zhǎng)模型;參數(shù)估計(jì);最小二乘法;數(shù)值計(jì)算

引言 在大學(xué)生數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)中有人口預(yù)測(cè)模型這部分內(nèi)容，最開(kāi)始導(dǎo)出的是人口指數(shù)增長(zhǎng)模型，但是，對(duì)一般情況的人口預(yù)測(cè)效果不怎么好，后又建立了人口阻滯增長(zhǎng)模型.這一過(guò)程的推導(dǎo)和教學(xué)能夠讓學(xué)生體會(huì)到怎么樣從一個(gè)粗略的模型提煉出一個(gè)能描述、反映和解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，從而可以培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題抽象出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題的建模能力.本文直接從建立阻滯增長(zhǎng)模型出發(fā)，重在培養(yǎng)學(xué)生的建模思想、建模能力、以MATLAB軟件求解模型和估計(jì)模型參數(shù)的能力.

1.模型的建立

人口阻滯增長(zhǎng)模型的原理：阻滯增長(zhǎng)模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用，對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的.阻滯作用體現(xiàn)在對(duì)人口增長(zhǎng)率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降.若將r表示為x的函數(shù)r（x），則它應(yīng)是減函數(shù)，可以得到：

dxdt=r（x）x，x（0）=x0，（1）

這里x0為初始時(shí)的人口數(shù)量.

對(duì)人口增長(zhǎng)率r（x）的一個(gè)簡(jiǎn)單的假定是設(shè)r（x）為x的線性函數(shù)，即

r（x）=r0-sx，（r>0，s>0），（2）

這里r0為固有增長(zhǎng)率.另外，假設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量xm，當(dāng)x=xm時(shí)人口不再增長(zhǎng)，即增長(zhǎng)率r（xm）=0，代入（2）式得s=r0xm，則（2）式為

r（x）=r01-xxm，（3）

將（3）代入（1）得：

dxdt=r0x1-xxm，

x（0）=x0，（4）

注意微分方程（4）帶有兩個(gè)參數(shù)xm和r0.具體求解模型時(shí)，該問(wèn)題就是求解帶參數(shù)的微分方程，這是個(gè)非常有意義的主題，可以引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)、討論相關(guān)的內(nèi)容.另外，該模型是荷蘭生物學(xué)家Verhulst提出的，稱為L(zhǎng)ogistic模型，它在描述許多物種數(shù)量的變化規(guī)律以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.

2.求解模型

這里從兩方面求解這個(gè)帶參數(shù)的微分方程模型.一個(gè)是教材敘述的分離變量法解該微分方程，得解析解

x（t）=xm1+xmx0-1e-r0t.（5）

另一個(gè)方法是以MATLAB軟件求解，其程序?yàn)閐solve（′Dx=r_0*x*（1-x/x_m）′，′x（0）=x_0′，′t′）.結(jié)果為：xm/（1+exp（-r0*t）*（xm-x0）/x0）.當(dāng)然，較復(fù)雜的微分方程可以通過(guò)MATLAB軟件求數(shù)值解，這些內(nèi)容可以指導(dǎo)學(xué)生課外去學(xué)習(xí)、實(shí)踐.

3.估計(jì)模型參數(shù)

人口阻滯增長(zhǎng)模型的解（5）里含有兩個(gè)參數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)可以通過(guò)某一國(guó)家或者某一地區(qū)的實(shí)際人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作參數(shù)估計(jì)，本文采用最小二乘法估計(jì)參數(shù).如果直接用教材的線性二乘法估計(jì)參數(shù)，則需要對(duì)解作處理，可以參閱教材.這里調(diào)用MATLAB的函數(shù)lsqcurvefit就可以完成參數(shù)估計(jì)，該函數(shù)的算法原理，可以指導(dǎo)感興趣的學(xué)生課外學(xué)習(xí).本文以《數(shù)學(xué)建?！方滩牡拿绹?guó)每隔10年（1790—1960）的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（×106）估計(jì)該模型的兩個(gè)參數(shù)xm和r0.求解程序?yàn)椋?/p>

函數(shù)文件logistic：function y=logistic（a，x）

x0=3.9; y=a（1）./（1+（a（1）/x0-1）.*exp（-a（2）*x））

主函數(shù)：

x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17];

y=[3.9，5.3，7.2，9.6，12.9，17.1，23.2，31.4，38.6，50.2，62.9，76.0，92.0，106.5，123.2，131.7，150.7，179.3]; % 人口數(shù)量

a0=[570 0.03]; % 參數(shù)初值

[a，resnorm]=lsqcurvefit（@logistic，a0，x，y）

x1=linspace（0，18，100）;x0=3.9;

y1=a（1）./（1+（a（1）/x0-1）.*exp（-a（2）*x1））;

plot（10*x1+1790，y1）; hold; ?plot（10*x+1790，y，′o′）; axis（[1790 1970 3 240]）; xlabel（′年份/年′）; ?ylabel（′×e+006人′）;

title（′美國(guó)人口預(yù)測(cè)′）; legend（′擬合的值′，′實(shí)際值′）;

y1970=a（1）./（1+（a（1）/x0-1）.*exp（-a（2）*19））

求得的結(jié)果為：xm=226.0779，r0=0.3026，y1970=191.3787.注意xm的值不太理想，可再以較多的人口數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù).

本文就在人口阻滯增長(zhǎng)模型教學(xué)時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題展開(kāi)了討論，注重培養(yǎng)學(xué)生的建模能力以及用MATLAB軟件解決實(shí)際問(wèn)題的能力.當(dāng)然，進(jìn)一步要求的是在課外指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)本文涉及的MATLAB函數(shù)，例如dsolve和lsqcurvefit的算法原理.

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