趙虎 藺興旺

題目：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB，（1）求角B（略）;（2）若b=2，求△ABC面積的最大值.

一、解法的緣由

因第（1）問(wèn)題求出B=π4，S△=12acsinB=24ac，由余弦定理得4=a2+c2-2ac·cosπ4，故a2+c2-2ac=4（*），求△ABC面積最大值轉(zhuǎn)化為求ac的最大值.從而引發(fā)多種思考.

二、多種不同的解法

解法1：（運(yùn)用輔助角公式法）由bsinB=2R=2sinπ4得R=2，

故ac=2RsinA·2RsinC=8·sinA·sin3π4-A

=8sinA（22cosA+22sinA）

=22sinA-22cosA=22

=4sin（2A-π4）+22.

由0

-22<4 sin（2A-π4）≤4，

∴0

∴（S△）max=2+1，此時(shí)A=3π8.

解法2：（運(yùn)用基本不等式法）由（*）得a2+c2-2ac=4，故a2+c2=4+2ac.由基本不等式

a2+c2≥2ac得4+2ac≥2ac，故ac≤4+22，此時(shí)a=c，即A=3π8時(shí)，（S△）max=2+1.

解法3：（運(yùn)用判別式法）由（*）得a2+c2-2ac=4，令ac=t，得c=ta，代入（*）式a2+c2-2ac=4，整理得t2-22 c2t+c4-2c2=0.

由判別式Δ=（2t+4）2-4·1·t2≥0，得t2-42t-8≤0，解得-4+22≤t≤4+22.又t>0，

∴0

解法4：（運(yùn)用參數(shù)法）由（*）得a2+c2-2ac=4得（a-22c）2+（22c）2=4.

令a-22c=2cosA，22c=2sinA，則a=2sinA+2cosA，c=22sinA，從而

ac= （2sinA+2cosA）·22sinA=42sin2A+42sinA cosA=42·1-cos2A2+42·12 sin2A=22sin2A-22cos2A+22=4 sin（2A-π4）+22.

∴（ac）max=4+22，進(jìn)而（S△）max=2+1.

三、多種解法后對(duì)教學(xué)的反思

一道數(shù)學(xué)題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路.在教學(xué)中，用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，又能幫助不同程度的學(xué)生運(yùn)用自己的方法去解題.通過(guò)一題多解，分析比較，尋找到解題的最佳途徑和方法，這對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和積極培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力大有益處.本題原是已知△ABC中，B=π4，b=2，求△ABC的面積的最大值，即化歸為已知三角形的對(duì)邊、對(duì)角，求與此三角形有關(guān)的最值與值域（如周長(zhǎng)、面積、a2+b2+c2的范圍等），通過(guò)一題多解，可讓不同層次的學(xué)生都有不同的發(fā)展，這也是當(dāng)前新課標(biāo)教育的要求.