劉彬

【摘要】導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)

問(wèn)題提供了新的視野，是研究函數(shù)問(wèn)題的有力工具，也是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).

本文擬對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)中常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行歸類(lèi)和做簡(jiǎn)單的剖析，以便廣大教師在

教學(xué)過(guò)程中有的放矢，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和提高教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】定義式;切線方程;極值;單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)是近幾年江蘇高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及求曲線的切線斜率等方面，有著廣泛的應(yīng)用，但學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常會(huì)陷入誤區(qū).本文從例題入手，對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用常見(jiàn)的錯(cuò)解進(jìn)行分類(lèi)剖析，以期拋磚引玉.

易錯(cuò)點(diǎn)1 對(duì)導(dǎo)數(shù)定義式的理解不到位

例1 函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是f′（x0）=a，則limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）Δx=.

錯(cuò)解 由導(dǎo)數(shù)的定義知：

f′（x0）=limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）Δx=a.

剖析 防錯(cuò)的關(guān)鍵是認(rèn)清導(dǎo)數(shù)定義中Δx的形式是多樣的.

正解 limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx=f′（x0）

=limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）-Δx=-a，

從而答案是-a.

點(diǎn)評(píng) 在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多樣化的，但無(wú)論如何變化，其實(shí)質(zhì)是分子中x的增量與分母中x的增量必須是一致的，否則必須經(jīng)過(guò)一些適當(dāng)?shù)淖冃问怪恢?

小試牛刀 已知函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是f′（x0）=a，

則limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0-Δx）Δx=.（參考答案：2a）

易錯(cuò)點(diǎn)2 混淆導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

例2 已知函數(shù)f（x）=-13x3+x2-2f′（1）x，求f′（x）.

錯(cuò)解 f′（x）=-x2+2x-2f′（1）.

剖析 本錯(cuò)誤解法忽視了f′（1）是一個(gè)可以求得的定值.

正解 ∵f′（x）=-x2+2x-2f′（1），∴f′（1）=-1+2-2f′（1），∴f′（1）=13.

點(diǎn)評(píng) f′（1）=y′|x=1是一個(gè)定值，故[f′（1）·x]′=f′（1）.再給導(dǎo)函數(shù)中的x賦值，即可求出f′（1）的值.

小試牛刀 已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=3x2+2xf′（2），

則f′（5）=.（參考答案：6）

易錯(cuò)點(diǎn)3 求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程時(shí)不注意區(qū)分點(diǎn)是否在曲線上

例3 已知曲線f（x）=x3-3x，過(guò)點(diǎn)A（0，16）作它的切線，求此切線方程.

錯(cuò)解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線的切線斜率k=f′（0）=-3，所以曲線的切線方程為y=-3x+16.

剖析 本題錯(cuò)在對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解有誤，切線的斜率k應(yīng)是在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，而點(diǎn)A（0，16）不在曲線上.故本題應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求斜率，最后寫(xiě)出直線的方程.

正解 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)M（x0，x30-3x0），則切線的斜率k=f′（x0）=3x20-3，切線方程為y=（3x20-3）x-16，又因?yàn)辄c(diǎn)M在切線上，所以x30-3x0=3（x20-3）x0+16，解得x0=-2，∴切線方程為y=9x+16.

點(diǎn)評(píng) 一般地，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過(guò)一點(diǎn)的切線，無(wú)論已知點(diǎn)是不是切點(diǎn)均可以設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合方程組求解.

小試牛刀 已知函數(shù)f（x）=x3+f′23x2-x，則函數(shù)f（x）的圖像在點(diǎn)23，f23處的切線方程是.（參考答案：27x+27y+4=0）

易錯(cuò)點(diǎn)4 忽視函數(shù)有極值時(shí)的條件

例4 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a+b的值.

錯(cuò)解 由導(dǎo)數(shù)的極值知f′（1）=0

f（1）=10得a=4

b=-11或a=-3

b=3，所以a+b的值為-7

或者0.

剖析 錯(cuò)解是沒(méi)有注意到f′（x0）=0是函數(shù)在這點(diǎn)處有極值的必要不充分條件.

正解 由導(dǎo)數(shù)的極值知f′（1）=0

f（1）=10得a=4

b=-11或a=-3

b=3.當(dāng)a=-3

b=3時(shí)，f′（x）=3（x-1）2≥0恒成立，故x=1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，此解舍去，所以a+b的值是-7.

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)極值點(diǎn)的定義是：在這點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，而不僅僅是f′（x0）=0，所以，由極值算參數(shù)范圍或者參數(shù)值時(shí)，要注意檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)左右兩側(cè)的符號(hào)是否相反.

小試牛刀 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在點(diǎn)x=-1處取得極大值為2，求函數(shù)f（x）的解析式.（參考答案：f（x）=x3-3x）

易錯(cuò)點(diǎn)5 忽略函數(shù)單調(diào)性的充要條件

例5 已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2-x+1在

R上是減函數(shù)，求a的取值范圍.

錯(cuò)解 ∵f′（x）=3ax2+6x-1，∴f（x）在R上是減函數(shù).

∴f′（x）<0在R上恒成立.

∴3ax2+6x-1<0對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.∴Δ<0，a<0，即36+12a<0.∴a<-3.

剖析 此題中f（x）不是常值函數(shù)，故此函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)遞減的充要條件是對(duì)任意實(shí)數(shù)f′（x）≤0.

正解 ∵f′（x）=3ax2+6x-1，∴f（x）在R上是減函數(shù).∴f′（x）≤0在R上恒成立.∴Δ≤0且a<0.即36+12a≤0且a<0，∴a≤-3.

點(diǎn)評(píng) 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍時(shí)，若f（x）在區(qū)間I上不是常值函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)在區(qū)間I上，對(duì)任意的x，f′（x）≥0;f（x）在區(qū)間I上是減函數(shù)在區(qū)間I上，對(duì)任意的x，f′（x）≤0.

小試牛刀 已知函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，則a的取值范圍是.（參考答案：a≥1）

綜上所述，要提高學(xué)生解題的正確率，除了要注意題中的隱含條件外，在教學(xué)中還要加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解和對(duì)基本方法的掌握，并結(jié)合相關(guān)練習(xí)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，以期不再“物是人非眼迷離”.