仲崇林

水是有源的，樹是有根的.數(shù)學(xué)定義是解決數(shù)學(xué)問題的根，是解決數(shù)學(xué)問題的源.在一些問題的求解中，把握好這個(gè)根源，會(huì)起到意想不到的效果.利用定義解題，在教科書和高考試題中多有體現(xiàn).本文僅舉幾例，以饗讀者.

一、利用圓錐曲線定義

例1 （人教版選修（2-1）49頁(yè)7題）如圖，

圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，

P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l

和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

解 ∵l是線段AP的垂直平分線

∴|QA|=|QP|

∴|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r>|OA|.

由橢圓的定義得，點(diǎn)Q的軌跡是以

O，A為焦點(diǎn)的橢圓.

例2 （人教版選修（2-1）62頁(yè)5題）

如圖，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是

圓O外一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，

線段AP的垂直平分線l和直線OP相交

于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的

軌跡是什么？為什么？

解 仿例1可得：點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線.

例3 （2009重慶卷）已知以原點(diǎn)O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線的方程為x=55，離心率e=5.

（1）求該雙曲線的方程;

（2）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0），B是圓

x2+（y-5）2=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線

的右支上，求MA+MB的最小值，并求

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).

解 （1）易得該雙曲線的方程為x2-y24=1.

（2）點(diǎn)A（-5，0）為該雙曲線的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為 A′（5，0）.

由雙曲線定義得：MA+MB=2+MA′+MB.

所以，當(dāng)A′，M，B共線時(shí)，MA+MB最小.

圓x2+（y-5）2=1的圓心為C（0，5），連接A′C分別交圓和雙曲線于B，M點(diǎn)，則MA+MB=2+MA′+MB=1+A′C=1+10.

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為42-53，45-423.

例4 （2009天津模擬）已知拋物線y2=ax（a>0），直線l過焦點(diǎn)F且與x軸不重合，則拋物線被l垂直平分的弦共有（ ?）.

A.不存在B.有且只有一條

C.2條 D.3條

解 設(shè)拋物線y2=ax（a>0）的焦點(diǎn)為F，

弦MN被直線l垂直平分.

過M，N分別作拋物線準(zhǔn)線的

垂線，垂足分別為M1，N1.

∴MM1=MF

NN1=NF

MF=NFMM1=NN1MN∥M1N1.

因此直線MN和x軸垂直，直線l與x軸重合.這與已知l與x軸不重合矛盾.故選A.

二、利用導(dǎo)數(shù)定義

例5 （2010江西卷12）如圖，一個(gè)正

五角星薄片（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速

地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分

面積為S（t）（S（0）=0）.則導(dǎo)函數(shù)y=S′（t）的圖

象大致為（ ?）.

解 由導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)值就是f（x）在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率.當(dāng)?shù)谝粋€(gè)角逐漸露出水面時(shí)，S（t）在逐漸增大，且增長(zhǎng)速度越來越快，故其瞬時(shí)變化率S′（t）也應(yīng)逐漸增大，當(dāng)?shù)诙糠珠_始露出水面時(shí)，此時(shí)的S（t）應(yīng)突然增大，然后的增長(zhǎng)速度越來越慢，但仍為增函數(shù)，故其瞬時(shí)變化率S′（t）也應(yīng)突然增大，再逐漸變小，但S′（t）>0（故可排除B）;當(dāng)五角星全部露出水面后，S（t）不再變化，故其導(dǎo)數(shù)值S′（t）最終應(yīng)等于0.

答案 A

三、利用三角函數(shù)定義

例6 （2010安徽卷9）動(dòng)點(diǎn)A（x，y）在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是12，32，則當(dāng)0≤t≤12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)y關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ?）.

A.[0，1] B.[1，7]

C.[7，12]D.[0，1]和[7，12]

解 由三角函數(shù)的定義知，三角函數(shù)是用來描繪圓周運(yùn)動(dòng)的，所以可設(shè)y=sin（ωt+φ）.

由時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是12，32，得φ=π3.

由點(diǎn)A在圓周上逆時(shí)針12秒旋轉(zhuǎn)一周，得ω=π6.

∴y=sinπ6t+π3.

當(dāng)0≤t≤12時(shí)，函數(shù)y=sin（π6t+π3）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，1]和[7，12]，故選D.