陳芙蓉

摘 要 本文通過若干實(shí)例，介紹不等式在求解函數(shù)的最值問題中的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 不等式 實(shí)例 極值 應(yīng)用

函數(shù)的極值不僅在實(shí)際中有重要的應(yīng)用，而且也是函數(shù)性態(tài)的重要特征。在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，我們常會(huì)碰到求函數(shù)的最大值或最小值的問題。學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析后，我們知道了根據(jù)費(fèi)馬定理有：可導(dǎo)函數(shù) 的極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn)。

而在中學(xué)數(shù)學(xué)中就已出現(xiàn)求函數(shù)的最值問題，中學(xué)生對(duì)穩(wěn)定點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)還很陌生，無法理解和接受，這就要求我們?cè)谥袑W(xué)教學(xué)中更重視求解函數(shù)最值的另一種方法—利用不等式求解函數(shù)的最值。且不等式是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分，它刻畫了事物在數(shù)量上的不等關(guān)系。不等式的理論，是在有序集中數(shù)的順序律和加法、乘法的單調(diào)率的基礎(chǔ)上建立起來的，是中學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中很重要的一部分，“學(xué)以至用”，利用不等式來求解函數(shù)的最值問題，不僅可簡(jiǎn)化解題過程，更可幫助學(xué)生掌握不等式。

一、利用二次函數(shù)的值域求最值

主要解題思路：求出函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)的值域，從而得出最值。

例1 已知為實(shí)數(shù)，∣∣<2，求的最大值與最小值。

解：設(shè) = ，由于∣∣<2，所以 = + >0。

即不論取何值，分母恒大于零。因此，去分母整理后得等價(jià)方程

+ ?+ ?= 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①

若≠0，①式可看作關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程。方程恒有實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)它的判別式⊿≥0，即⊿= =[I]≥0。

∵∣∣<2，∴2 ？>0。

∴≤≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

顯然， = 0（此時(shí) = ）也在不等式②的范圍內(nèi)。當(dāng) = 時(shí)，代入方程①，解得 = ?+1。因此，當(dāng) = ?+1時(shí)，原式的最大值為;當(dāng) = ?1時(shí)，原式的最小值為。

二、用平均不等式求最值：由平均不等式≥可以推得

定理對(duì)于任意個(gè)正數(shù)、…，如果它們的和（設(shè)為）是定值，那么，當(dāng) = ?= … = 時(shí)，積·…取最大值，最大值為 = ;如果它們的積（設(shè)為）是定值，那么，當(dāng) = ?= … = 時(shí)，和 + ?+ … + 取最小值，最小值為 = 。

三、利用其它重要不等式求極值

例把一條長(zhǎng)是l的鐵絲截成三段，各圍成一個(gè)正方形，怎樣截法使得這三個(gè)正方形面積之和最小。

解：設(shè)三段長(zhǎng)度分別為、、，則 + ?+ ?= 1（定值），再設(shè)為三個(gè)正方形面積之和，則 = ?+ ?+ ?= （ + ?+ ）

當(dāng)且僅當(dāng) = ?= 時(shí)等號(hào)成立。

因此，當(dāng) = ?= ?= 時(shí)， + ?+ 有最小值;從而最小 = · = ，即把鐵絲截成相等的三段，各圍成的正方形的面積之和為最小。

以上通過若干實(shí)例，介紹不等式在求解函數(shù)的最值問題中的一些應(yīng)用。從而可得不等式的相關(guān)理論，在函數(shù)、方程、數(shù)列等各個(gè)方面，都有著重要的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

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[2]蘇勇，熊斌.不等式的解題方法與技巧[M].華東師范大學(xué)出版社，2012.

[3]范建熊.不等式的秘密[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014.

（作者單位：湖北省襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院）