侯靜

教材：人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·八年級(jí)（下冊(cè)）

課題：勾股定理應(yīng)用（三）螞蟻怎樣爬最近

教材分析：在上一節(jié)課中學(xué)生通過(guò)“觀察”發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊得出了勾股定理，勾股定理用于解決直角三角形三邊的關(guān)系，是幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)工具。勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用是中、高考的考點(diǎn)。求立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短距離是學(xué)生的難點(diǎn)，通過(guò)觀察和動(dòng)手把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”解決此類(lèi)問(wèn)題。

教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)：

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：

（1）運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。

（2）運(yùn)用勾股定理解釋生活中的實(shí)際問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法目標(biāo)：

（1）學(xué)習(xí)“觀察——?dú)w納”的思維方法。

（2）理解轉(zhuǎn)化，化歸思想。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)研究一系列富有探究性的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生與他人交流、合作的意識(shí)和品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力。

教學(xué)過(guò)程：

引例.如圖一只螞蟻在長(zhǎng)方形ACDF的地面上，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8米，寬為3米，它要從A點(diǎn)出

發(fā)到B點(diǎn)找食物，點(diǎn)B是長(zhǎng)方形的中點(diǎn)，它怎樣爬最近？最短距離是多少？從 A 到D點(diǎn)呢？

解：連接AB（圖略）

在△ABC中∠C=90°

∴AB= ?=5

連接AD

在△ABD中∠C=90°

∴AD= = =

簡(jiǎn)析：平面兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題學(xué)生易于解決，利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，圖中AB的長(zhǎng)是直角三角形的斜邊，再找到兩直角邊的大小即可。教師在教學(xué)中可以以平面為介推入立體圖形，解決立體圖形中的最短問(wèn)題。

變形1.已知圓柱的底面半徑為2厘米，高為8厘米，螞蟻從A點(diǎn)繞圓柱的一圈爬到C點(diǎn)的最短路程是多少厘米？爬到B點(diǎn)呢？ （π取3）（圖形略）

簡(jiǎn)析：本變形1來(lái)自于教材，以教材的原題為母題變化出各種各樣的題型。原題中螞蟻從A點(diǎn)到B點(diǎn)在曲面上很難求出A到C的距離，引導(dǎo)學(xué)生回憶圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，矩形的的寬是圓柱的高AC，矩形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)CC1，AC的長(zhǎng)就是Rt△ACC1的斜邊AC1的長(zhǎng)，而CB就是圓柱底面半周長(zhǎng)，這樣此題的問(wèn)和上題一樣，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形得以解決。

解：連接AC1，在△ACC1中∠C=90°

AC1= = = = =4

連接AB，在△ACB中∠C=90°

AB= = = =10

變形2.（2011.荊州）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2厘米和4厘米，高為5厘米，若一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻的最短路徑長(zhǎng)多少？

把圓柱換成長(zhǎng)方體從P點(diǎn)繞側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)成一個(gè)大矩形，矩形的長(zhǎng)是長(zhǎng)方體的底面周長(zhǎng)，寬是長(zhǎng)方體的高PQ，爬行的距離是Rt△PQQ1的斜邊PQ1的長(zhǎng)。（圖形略）

∴PQ1= = = =13

簡(jiǎn)析：雖然兩題都是爬行的立體圖形不一樣，但路程都是直角三角形的斜邊。只要找到直角邊分別是什么問(wèn)題就易于解決。

變形3.如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2厘米和4厘米，高為5厘米，若一只螞蟻要從P點(diǎn)開(kāi)始出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到Q點(diǎn)尋找食物，螞蟻的最短路徑長(zhǎng)多少？

螞蟻從P點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到Q點(diǎn)尋找食物有很多條路線(xiàn)。學(xué)生會(huì)思考先從前面再到上底面;先從下底面再到后面;先從前面再到右面;先從左面再到后面;先從下底面再到右面;先從左面再到上底面六條路線(xiàn)，根據(jù)長(zhǎng)方體的特點(diǎn)前后兩個(gè)面，上下兩個(gè)面，左右兩個(gè)面分別相等，所以實(shí)際上就只有3條路線(xiàn)。引導(dǎo)學(xué)生思考還是把立體圖形展成平面圖形，如下圖所示：（圖形略）

圖（1）：經(jīng)過(guò)前面和上底面（或經(jīng)過(guò)下底面和后面）

圖（2）：經(jīng)過(guò)前面和右面（或經(jīng)過(guò)左面和后面）

圖（3）：經(jīng)過(guò)下底面和右面（或經(jīng)過(guò)左面和上底面）（圖形略）

可以依次算出3條路線(xiàn)的長(zhǎng)分別為：

ι1= =

ι2= =

ι3= =

通過(guò)比較得到第二種最短，觀察發(fā)現(xiàn)計(jì)算最短路線(xiàn)是：長(zhǎng)方體中兩條較短邊和的平方與較大邊的平方的和的算術(shù)平方根。這樣可以推廣到一般：若一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，且x>y>z，則螞蟻爬行最短距離為： 。還可以推廣到是一個(gè)正方體，正方體的邊長(zhǎng)為a則為： a。這兩個(gè)式子對(duì)學(xué)生高考題中涉及到此類(lèi)題都非常適用，學(xué)生可先比較線(xiàn)段大小后直接帶入公式進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)論，在實(shí)際解題中就可套用公式很快解決問(wèn)題。

趁熱打鐵：

1.如圖（一），長(zhǎng)方體長(zhǎng)為3cm，寬為2cm，高為1cm，若一只螞蟻要從A點(diǎn)開(kāi)始出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬到B點(diǎn)尋找食物，爬行的最短路程是 ? ? ? ? ? ? .

2.如圖（二），邊長(zhǎng)為2的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是（ ? ? ）.

A.36 ? ? ? ?B.2 ? ? ? ? C.4 ? ? ? ?D.2

如圖（一）（圖形略） ? ? 如圖（二）（圖形略）

3.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為200cm、30cm、20cm，A和B是臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，問(wèn)螞蟻沿著臺(tái)階爬行到B點(diǎn)的最短路程是多少？（圖形略）

從上面的例子中可以看出解決初中幾何中螞蟻如何爬距離最短問(wèn)題，最關(guān)鍵是把空間圖形兩點(diǎn)之間的最短路徑問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為平面圖形中兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短來(lái)解決，同時(shí)需要全方位考慮各種不同的展平辦法，不能遺漏。