孟鳶　劉麗蝶　黃允

【摘要】通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，而許多儲(chǔ)油罐會(huì)由于地基變形發(fā)生罐體位置縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變，影響了油站對(duì)于油料的有效監(jiān)控.結(jié)合CUMCM 2012年A題給出的實(shí)例，本文分析了在不同變位，情況下儲(chǔ)油罐內(nèi)實(shí)際油料體積與顯示油高的關(guān)系，建立了儲(chǔ)油罐變位參數(shù)、顯示油高和實(shí)際油料體積之間的函數(shù)關(guān)系.通過罐內(nèi)油料體積實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)修正了原模型，并利用改進(jìn)后的模型進(jìn)行變位識(shí)別和罐容表標(biāo)定.

【關(guān)鍵詞】罐容表標(biāo)定；變位；目標(biāo)規(guī)劃；體積模型

一、問題重述

通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)分別測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況.許多儲(chǔ)油罐會(huì)由于地基變形發(fā)生罐體位置縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，即變位.從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變.按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定，而目前尚無科學(xué)有效的方法，故此問題對(duì)于油站具有重要的研究?jī)r(jià)值.先考慮如下一個(gè)實(shí)例，嘗試建立數(shù)學(xué)模型研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的如下問題：

1.為了掌握罐體變位對(duì)罐容表的影響，利用橢圓柱型儲(chǔ)油罐，分別給出罐體無變位和傾斜角為α=4.1°的縱向變位兩種情況下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1 cm的罐容表標(biāo)定值.

2.對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度α和橫向偏轉(zhuǎn)角度β）之間的一般關(guān)系，并利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10 cm的罐容表標(biāo)定值，進(jìn)一步利用實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性與方法的可靠性.

二、問題分析

求解體積的思路為建立積分式，首先需要準(zhǔn)確地選取體積微元.考慮垂直于罐底的切面選取體積微元，則其形狀在實(shí)際油罐體中均為橢圓或圓的一部分，解簡(jiǎn)單方便.在積分時(shí)需要特別注意變位對(duì)積分上下限的影響.以大油罐為例，考慮利用解析幾何相關(guān)知識(shí)確定出計(jì)算每一體積微元底面積時(shí)的積分上限.對(duì)于變位，首先考慮縱向傾斜，再考慮罐體橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)，其只會(huì)對(duì)測(cè)量高度值產(chǎn)生影響，而不會(huì)影響油在罐體內(nèi)的分布情況，因此只需要將測(cè)量高度值轉(zhuǎn)化成此時(shí)油位探針處真實(shí)的油高值即可.

三、模型假設(shè)

1.油罐規(guī)格的測(cè)量數(shù)據(jù)均由在油罐內(nèi)測(cè)量取得，并且誤差很小.

2.實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)較為準(zhǔn)確可靠.

四、符號(hào)與變量說明

h：某時(shí)刻測(cè)量油高，S：油平面面積，α：縱向傾斜角度，β：橫向偏轉(zhuǎn)角度， l0：油浮子到柱體近端距離，L：容器柱體部分長度.

五、模型的建立與求解

將橢圓柱體油罐和帶有球冠體的大油罐分開分析.對(duì)于橢圓柱體，建立其測(cè)量高度與實(shí)際油體積間的方程，求解出與問題中附件給出高度相應(yīng)高度的理論體積之后，運(yùn)用回歸分析方法探索差值規(guī)律，修正體積模型后解決罐容表標(biāo)定.對(duì)于大油罐，建立變位情況下的油體積模型后，建立目標(biāo)規(guī)劃模型尋求最佳的變位參數(shù)，并標(biāo)定此時(shí)的罐容表.

（一）對(duì)橢圓柱體的分析

1.無變位時(shí)，平行于柱體側(cè)面縱向截取體積微元.將體積微元抽象于標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系中，a為側(cè)面橢圓的長半軸，b為側(cè)面橢圓的短半軸，h為油高.

則在坐標(biāo)系下，側(cè)面橢圓方程易知，當(dāng)參數(shù)a=0.89 m，b=0.6 m，可知當(dāng)x>0時(shí)，x（y）=abb2-y2，此時(shí)體積微元的面積為

S=∫h02x（y）dy=2aLb∫h-b-bb2-y2dy（1）

對(duì)體積微元進(jìn)行積分，解得油料體積與顯示油高間的關(guān)系：

V=2aLb∫L0∫h-b-bb2-h2dhdx=arccos1-hb-1-hb2hb-hb2abL（2）

將橢圓柱油罐的實(shí)驗(yàn)采集數(shù)據(jù)表中進(jìn)油的各測(cè)量高度代入式（2），即可得出對(duì)應(yīng)高度的理論體積值，即罐容表.

2.縱向傾斜時(shí)，同樣只需要知道微元位置處的油面高度，即可通過式（1）算出該微元的側(cè)面積；而由于罐體縱向傾斜，各體積微元h不再相同.將小橢圓儲(chǔ)油罐的立體圖抽象到坐標(biāo)系中，求解縱向傾斜時(shí)的h值.直線yx代表油平面，2b是側(cè)面橢圓的長軸，l是柱體的長，l0是油浮子和相近側(cè)面的距離.

則油浮子坐標(biāo)為l0，h，由點(diǎn)斜式得

y=yx=-tanαx-l0+h（3）

而體積微元dVx=Sbydx，可得體積微元的表達(dá)式為

V=∫L0S（x）dx=∫L0π2+γb1-γb2+arcsinγbabdx（4）

其中γ=-tanα（x-l0）+h-b.

3.下面進(jìn)行理論與實(shí)際值誤差的分析.

上文已由微積分的知識(shí)推導(dǎo)出兩種情況下的油體積公式，即為體積的理論值.將累加的進(jìn)油量加上初始油值作為實(shí)際值.發(fā)現(xiàn)理論與實(shí)際的油體積值會(huì)有一定差距.接下來對(duì)不同位置的橢圓柱油罐的油體積公式做差值分析.

下面進(jìn)行無變位時(shí)的差值分析，建立的多項(xiàng)式回歸的模型通過Matlab檢驗(yàn)回歸模型顯著，采用一元三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，結(jié)果如下：

ΔV=-82.64h3+148.15h2+59.54h-1.8545

同理可以求得縱向傾斜時(shí)的誤差.

（二）實(shí)際儲(chǔ)油罐內(nèi)油體積的計(jì)算模型

實(shí)際儲(chǔ)油罐的形狀分為圓柱體和球冠面兩部分，分開討論.且因難于確定罐體的變位情況，先將縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)分開討論，再解決它們同時(shí)存在的情況.

1.圓柱體部分油體積公式

（1）僅有縱向傾斜時(shí)

因?yàn)閳A柱實(shí)際上側(cè)面橢圓的長短半軸相等的是橢圓柱，故僅有縱向傾斜時(shí)的圓柱體部分油體積公式為橢圓柱油體積公式的特殊情況，設(shè)圓柱徑為R0，則令式（6）中的a=b=R0，即可得到圓柱體油體積公式積分公式

V=∫L0S（x）dx=∫L0π2+γR01-（γR0）2+arcsinγR0R0dx（5）

（2）僅有橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)

僅有橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)，體積微元和無偏轉(zhuǎn)時(shí)的橢圓柱體情況類似.但此時(shí)實(shí)際油面高度不再等于測(cè)量高度，需要找到其中的轉(zhuǎn)化關(guān)系.橫向偏轉(zhuǎn)角度為β，實(shí)際油面高度為h′.由圖1中的幾何關(guān)系可知：h′=R0+h-R0cosβ，代入式（2）中，即可得到僅有橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)圓柱體內(nèi)油體積公式：

（3）同時(shí)存在縱向傾斜和橫向偏移時(shí)

可把整個(gè)變位看作是個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，先有縱向傾斜，此時(shí)油體積與測(cè)量高度的關(guān)系已知.再作橫向偏移，由于圓的對(duì)稱性，每個(gè)平行于圓柱體側(cè)面的微元形狀和面積與偏移前完全相同，因此計(jì)算方法也不變，只是此時(shí)的測(cè)量高度不再是其測(cè)量位置的實(shí)際油高，而需要通過式（5）將測(cè)量高度轉(zhuǎn)化為實(shí)際高度.再將h′作h代入式（5），則同時(shí)存在兩種變位時(shí)的油體積積分公式為

V1=∫L0S（x）dx=∫L0π2+γR01-γR02+arcsinγR0R0dx

其中γ=-tanα（x-l0）+h′-b.

2.球冠體部分油體積公式

（1）無變位時(shí)的油體積公式

將球冠體的立體圖抽象于如圖2的坐標(biāo)系中，O為球冠體底面圓心，y軸與球冠體的底重合，x軸與圓柱體的母線平行.ξ為體積微元的球冠體底面處的油高，c為球冠體的高，d為球冠體的底面半徑.

設(shè)球冠體半徑為R，油面所截小圓的半徑為r=R2-e2，e=d-ξ.由幾何關(guān)系可得球冠體內(nèi)體積微元的面積為S（ξ）=r2θ（ξ）-rfcosθ.

其中θ（ξ）=arcsinfr=arcsind2-e2R2-e2=arcsind2-d-ξ2R2-d-ξ2， f=d2-e2.（6）

其中dξ為厚度微元，而體積微元 dV（ξ）=S（ξ）dξ，則無變位時(shí)油體積為

V=∫h0S（ξ）dξ=∫h0r2arcsind2-d-ξ2R2-d-ξ2-rfcosθdξ（7）

（2）有變位時(shí)的油體積公式

首先考慮求解面積微元截面的小圓半徑.球冠體及部分柱體的剖面示意圖如圖2，圖中圓為球冠體所在球的垂直于水平面的大圓，O′為其圓心，O″為體積微元所在小圓圓心.原點(diǎn)O在柱體母線和球冠體底面的交點(diǎn)，y軸與球冠體的底重合，x軸與圓柱體的母線平行.

由圖2中的幾何關(guān)系可得體積微元所在小圓半徑為：

r（ξ）=R2-e2，其中 t1=ξ-dtanα，t2=R-c-t1，e=t2sinα.

最終得到的縱向傾斜時(shí)體積微元的底面積為：

S（ξ）=r2θ（ξ）-rfcosθ，θ（ξ）=arcsinfr=arcsind2-e2R2-d-ξ2

由于縱向傾斜，微元厚度應(yīng)是cosαdξ.設(shè)R0為側(cè)面圓半徑，測(cè)量高度h與實(shí)際高度h′之間的關(guān)系為h′=R0+h-R0cosβ.由幾何關(guān)系可知：

h21=h′+l1tanα，h22=h′-l-l1tanα

則V21h=∫h210S（ξ）cosαdξ，V22h=V0-∫2b-h220S（ξ）cosαdξ（8）

最后，儲(chǔ)油罐內(nèi)油料體積V的為各部分之和，即V=V1+V21+V22.

（三）確定大油罐變位參數(shù)α和β的目標(biāo)規(guī)劃模型

結(jié)合大油罐進(jìn)出油實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將理論計(jì)算值和實(shí)際值之差的差最小作為目標(biāo)，建立目標(biāo)規(guī)劃模型.

實(shí)測(cè)部分?jǐn)?shù)據(jù)參見CUMCM 2010A題附件，i代表流水號(hào)，Vhi代表油高h(yuǎn)i對(duì)應(yīng)的理論油體積值，ΔV′i為i流水號(hào)對(duì)應(yīng)的實(shí)際出油量.以理論出油量和實(shí)際出油量的差最小為目標(biāo)，容量N=502，建立優(yōu)化模型為：

min∑Ni=1ε2i，εi=ΔVi-ΔV′i（9）

采用遍歷搜索法，MATLAB運(yùn)行結(jié)果為（α，β）的最優(yōu)取值為（2.1°，4.0°）.

將變位參數(shù)代入油體積公式，利用復(fù)化辛普森公式計(jì)算各刻度值對(duì)應(yīng)的數(shù)值解.

（四）模型的檢驗(yàn)

在對(duì)罐容表進(jìn)行標(biāo)定時(shí)，只使用了部分?jǐn)?shù)據(jù)，可將剩余的數(shù)據(jù)用作罐容表標(biāo)定方法的檢驗(yàn).所得模型誤差的均值Eεi=3.402，Dεi=10.295，可知罐容表標(biāo)定方法的系統(tǒng)誤差并不大，較為準(zhǔn)確.

【參考文獻(xiàn)】

[1]付叔林.傾斜油罐容量的計(jì)算[J].黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)，1981（2）：43-52.

[2]李志榮.橢圓柱形臥式油罐的計(jì)算[J].應(yīng)用與研究，2004：17-26.

[3]高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，CUMCM 2010A題.