馮興進(jìn)　盧建川

一、解析幾何產(chǎn)生的歷史背景

眾所周知，解析幾何是代數(shù)和幾何相結(jié)合的產(chǎn)物.比笛卡爾早出生56年的韋達(dá)，在前人的經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，有意識(shí)地系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)，在他的成名作《分析入門》一書里，把代數(shù)看作一門符號(hào)化的科學(xué)，也正因?yàn)檫@一貢獻(xiàn)，韋達(dá)被西方稱為“代數(shù)之父”.代數(shù)的成熟，為笛卡爾向解析幾何的邁進(jìn)奠定了基礎(chǔ).出生在1596年3月31日的笛卡爾，他是一個(gè)十分注重方法的大家，他在自己創(chuàng)立的哲學(xué)中證明上帝的存在，并認(rèn)為上帝一定是按照數(shù)學(xué)定律來(lái)建立自然界的.所以笛卡爾認(rèn)為作為來(lái)源于自然界的形式幾何也應(yīng)是數(shù)學(xué)的化身（當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)指的大多是代數(shù)）.而事實(shí)上，笛卡爾在這方面做的更多的是把代數(shù)用到幾何上去.笛卡爾所創(chuàng)立的解析幾何的精髓在于他不僅把前人的網(wǎng)格簡(jiǎn)化為坐標(biāo)系（笛卡爾的坐標(biāo)系與今天的平面直角坐標(biāo)系不同，他不要求橫軸和另一坐標(biāo)軸的夾角互相垂直），并且把字母表示數(shù)引入到幾何學(xué)中去.有了笛卡爾所邁出的具有決定意義的第一步，人類對(duì)幾何的研究從“定性”推進(jìn)到“定量”了.值得注意的是：笛卡爾是從幾何出發(fā)然后尋找到幾何的方程.而與笛卡爾恰恰相反，出生于1601年的費(fèi)馬卻是從代數(shù)方程出發(fā)畫出方程所表示的幾何，就像用描點(diǎn)法作圖一樣.

從解析幾何產(chǎn)生的歷史背景我們可以知道：解析幾何不僅使得幾何與數(shù)量、運(yùn)動(dòng)與靜止、辯證與算術(shù)開始融為一體，它還是數(shù)學(xué)走向空間解析幾何的一個(gè)啟示，是微積分產(chǎn)生的歷史條件.所以解析幾何的教育價(jià)值是非凡的.解題是我們當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的一大任務(wù)，所以在具體的解析幾何解題教學(xué)中我們要體現(xiàn)它原有的綜合性和融合性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一.

二、高中解析幾何解題教學(xué)的性質(zhì)和現(xiàn)狀

解析幾何的產(chǎn)生是得益于幾何和代數(shù)的成熟發(fā)展，就解析幾何解題本身而言，就如弗萊登塔

爾所言，解析幾何就是一些算法.現(xiàn)行的高中解析幾何知識(shí)教學(xué)中，大多數(shù)學(xué)教師認(rèn)為解析幾何的學(xué)科性質(zhì)是偏重于代數(shù)的，學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的宗旨就是要學(xué)會(huì)代數(shù)計(jì)算和代數(shù)方法；課程目標(biāo)就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)列方程，熟練解方程，即使注重?cái)?shù)形結(jié)合這一核心思想，也側(cè)重于幾何問題代數(shù)化這單一的方面；教學(xué)上偏重于列方程和解方程，以訓(xùn)練算法為主，靠做大量習(xí)題提高代數(shù)技巧.在具體問題的解決過程中還會(huì)涉及用到許多的思想方法，例如：映射、化歸、方程、函數(shù)、分類、變換、參數(shù)等.然而高中解析幾何題要解題者得到的結(jié)論形式要么是代數(shù)關(guān)系要么是幾何結(jié)論.那我們?nèi)绾芜\(yùn)用頭腦中已有的由代數(shù)和幾何綜合而成的解析幾何知識(shí)得到這般的結(jié)論呢？如果在此過程中還涉及其他思想方法，這些思想方法能否實(shí)現(xiàn)為解題者“雪中送炭”呢？這一切取決于解題者有沒有一定的實(shí)踐指導(dǎo)原則.

三、高中解析幾何解題教學(xué)探究——基于RMI原則

由于解析幾何是幾何和代數(shù)的混沌，作為解題者如何把握好這種混沌的知識(shí)，讓它們更好地引領(lǐng)我們得到我們想要的代數(shù)關(guān)系或者幾何結(jié)論呢？

從解析幾何產(chǎn)生的歷史背景我們可以知道：解析幾何其實(shí)就是代數(shù)、幾何與笛卡爾坐標(biāo)平面共同構(gòu)成的一個(gè)映射，它們之間的互相轉(zhuǎn)化就是映射和反演兩種操作的完成.通常，一個(gè)幾何問題無(wú)非是關(guān)于某些特定幾何圖像間的關(guān)系問題.這種關(guān)系結(jié)構(gòu)問題在笛卡爾坐標(biāo)平面的映射下便轉(zhuǎn)化為代數(shù)式之間的關(guān)系問題.于是通過代數(shù)運(yùn)算不難求得所需的一些代數(shù)關(guān)系.這些關(guān)系再翻譯回去就可得出原來(lái)幾何圖形間的某種幾何結(jié)論.上述就是解答解析幾何問題的思想方法，可以簡(jiǎn)單地用框圖表示：

綜上，解答解析幾何問題的基本思想是符合RMI原則的.在解析幾何解題教學(xué)中以RMI原則為指導(dǎo)，不但可以在方法上更好地讓我們運(yùn)用混沌的解析幾何知識(shí)得到單純的代數(shù)關(guān)系或幾何結(jié)論；而且可以客觀上影響目前高中解析幾何解題教學(xué)的導(dǎo)向，從而促進(jìn)解析幾何課程科學(xué)有效地實(shí)施.在具體解題教學(xué)中，我們?nèi)绾误w現(xiàn)RMI原則呢？

[2013年廣東理數(shù)A卷20題]已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為32[]2.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).

（Ⅰ） 求拋物線C的方程；

（Ⅱ） 當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；

（Ⅲ） 當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|·|BF|的最小值.

分析 顯然這道題要求我們得到的結(jié)論都是代數(shù)關(guān)系的形式，所以把題中的幾何圖像及其之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式及其之間的代數(shù)關(guān)系是該道題的主要方向，通過對(duì)代數(shù)關(guān)系進(jìn)行一定的代數(shù)運(yùn)算得到特定的代數(shù)關(guān)系是解題的主要任務(wù).

（Ⅰ） 依題意，設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy，由|0-c-2|[]2=32[]2結(jié)合c>0，

解得c=1.所以拋物線C的方程為x2=4y.

（Ⅱ） 拋物線C的方程為x2=4y，即y=1[]4x2，求導(dǎo)得y′=1[]2x.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）其中y1=x21[]4，y2=x22[]4，則切線PA，PB的斜率分別為1[]2x1，1[]2x2，

所以切線PA的方程為y-y1=x1[]2（x-x1），即y=x1[]2x-x21[]2+y1，即x1x-2y-2y1=0.

同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.

因?yàn)榍芯€PA，PB均過點(diǎn)P（x0，y0），所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0.

所以（x1，y1），（x2，y2）為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.

所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

（Ⅲ） 由拋物線定義可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

所以|AF|·|BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1.

聯(lián)立方程x0x-2y-2y0=0

x2=4y

，消去x整理得y2+（2y0-x20）y+y20=0.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=x20-2y0，y1y2=y20.

所以|AF|·|BF|=y1y2+（y1+y2）+1=y20+x20-2y0+1.

又點(diǎn)P（x0，y0）在直線l上，所以x0=y0+2.

所以y20+x20-2y0+1=2y20+2y0+5=2y0+1[]22+9[]2.

所以當(dāng)y0=-1[]2時(shí)，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值為9[]2.

點(diǎn)評(píng) （1）該題的第一問顯然簡(jiǎn)單，但我們要知道它為什么如此簡(jiǎn)單.這是由于我們需要轉(zhuǎn)化的幾何和幾何關(guān)系本來(lái)就少，而且轉(zhuǎn)化之后得到的代數(shù)關(guān)系是簡(jiǎn)單的一元一次方程，固然第一問即是一元一次方程的求解問題.

（2）第二問需要轉(zhuǎn)化的幾何和幾何關(guān)系是：兩條切線和交點(diǎn)P與切線的關(guān)系.對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化得到兩切線的方程，P點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩切線方程.所以第二問的關(guān)鍵在于由代數(shù)關(guān)系觀察抽象得到直線AB的方程.

（3）第三問需要轉(zhuǎn)化的幾何是：?jiǎn)栴}中的|AF|·|BF|和P與直線l的關(guān)系.對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化得到（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1（二元二次函數(shù)）和x0=y0+2.此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)問題的解決就是如何通過已有的代數(shù)式把二元二次函數(shù)消元變成一元二次函數(shù)，以便把最值問題轉(zhuǎn)化為求一元二次函數(shù)的最值問題.

所以該題的整個(gè)解題過程基本可以歸納為這樣一個(gè)框架：

四、結(jié) 語(yǔ)

以RMI原則指導(dǎo)實(shí)踐解析幾何解題教學(xué)是解析幾何課程教學(xué)本質(zhì)的需要，能很好地實(shí)現(xiàn)教師教學(xué)的宗旨和充分體現(xiàn)解析幾何的教育價(jià)值.在實(shí)際課堂中，基于RMI原則的解析幾何解題教學(xué)還可以促進(jìn)師生課堂的共同探究和交流，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力.弗萊登塔爾認(rèn)為任何思辨的新生事物都在其自身中包含著算法的萌芽，這是數(shù)學(xué)的特點(diǎn).算法化意味著鞏固，為更深的發(fā)掘提供技巧，我們?cè)诮馕鰩缀谓忸}中僅僅體現(xiàn)解析幾何算法的本質(zhì)是不夠的，更要體現(xiàn)解析幾何在思辨之后對(duì)算法的更高需求的這種跳躍，這不僅僅是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，更是數(shù)學(xué)的魅力.