付秀鳳

【摘要】“算兩次”這種數(shù)學方法在數(shù)學中又叫做富比尼原理，其基本思想是：把一個量按照兩個不一樣的角度進行兩次計算，然后建立一種等量關(guān)系.本文結(jié)合高中數(shù)學中具體例子探討了算兩次思想方法在高中數(shù)學的應用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學解題；算兩次思想方法；應用

解析幾何中如果要求某個動點的軌跡，一般是按照動點所滿足兩個條件來建立等式.算兩次思想方法在數(shù)學競賽題中也有較多的應用.在高中數(shù)學中，教師和學生在解題時也使用算兩次思想方法，但是該解題方法沒有受到重視，沒有從數(shù)學思想上認識它，在教師的解題教學中算兩次方法被應用的也不多.

1.算兩次數(shù)學思想方法在數(shù)學題中的體現(xiàn)

算兩次解題法表現(xiàn)出了從兩個方面來解題的特點，從深一層次來說它蘊含的思想是換角度看問題，也就是轉(zhuǎn)化思想.高中數(shù)學中轉(zhuǎn)化思想有重要地位與作用，是數(shù)學思想精髓.何為轉(zhuǎn)化思想，教育分類學中指出：轉(zhuǎn)化思想把問題從一種形式朝另一種轉(zhuǎn)化，可從語言向圖形轉(zhuǎn)化，或從語言向符號轉(zhuǎn)化，或每種情況反轉(zhuǎn)化.這種轉(zhuǎn)化包含數(shù)學中數(shù)、式和形的轉(zhuǎn)換，又包含心理轉(zhuǎn)換.

哲學上看，轉(zhuǎn)化是用運動、聯(lián)系與發(fā)展的觀點來看問題；思想結(jié)構(gòu)上，首先對一些原理、法則與典型問題解法形成深刻認識，遇到復雜問題時，通過尋找其和基本問題關(guān)系，化繁為簡，化抽象成具體，從而解決問題.基本原則有簡單化與熟悉化、正難則反、和諧化與直觀化等.新課標下高中數(shù)學呈現(xiàn)起點高、容量多和課時緊特點，學生不適應突出，師生迫切強化思想方法，重視思想的教學和應用.

（1）簡單化與熟悉化在三角函數(shù)中應用.簡單化與熟悉化是將復雜的轉(zhuǎn)化為簡單的，生疏的轉(zhuǎn)化為熟悉的來解題.簡單化與熟悉化是數(shù)學解題與探究中常見方法之一，它要通過積累與熟悉基礎(chǔ)知識、技能與方法，既是解本題需掌握的技能方法，又是分解轉(zhuǎn)化數(shù)學問題的方法.簡單化與熟悉花在三角函數(shù)中化簡、求值與證明中應用廣泛.（2）和諧化與直觀化在不等式最值中應用.和諧化是指轉(zhuǎn)化的條件與結(jié)論，使其形式符合數(shù)和形所表示的和諧的形式.直觀化是指將抽象問題轉(zhuǎn)化成直觀問題解決.恩格斯指出數(shù)學是現(xiàn)實的空間形式與數(shù)量關(guān)系.解析幾何促進數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)解決幾何題.數(shù)學中遇見數(shù)、形與式的轉(zhuǎn)化問題，出現(xiàn)函數(shù)會聯(lián)想相關(guān)熟悉函數(shù)，它的圖像、所包含性質(zhì)和它們的關(guān)系等.求解或者驗證不等式最值時，可根據(jù)條件、形式與特征構(gòu)造輔助函數(shù)，轉(zhuǎn)化問題條件與結(jié)論，把原問題轉(zhuǎn)化的研究函數(shù)性質(zhì)，通過數(shù)、形、式轉(zhuǎn)化求解.（3）正難則反在證明題和概率題、排列組合中應用.正難則反指問題正面遇到困難，應考慮反面，設(shè)法從反面探求.這種問題是經(jīng)常出現(xiàn)的，可鍛煉與提升逆向思維.證明題反證法是應用逆否等價來求證，如恒等式正難則反轉(zhuǎn)化問題，概率和排列組合中出現(xiàn)至多、至少問題，可比較問題與它對立問題的復雜和簡單關(guān)系解題.

2.算兩次法在數(shù)學教材解題中的應用

該思想方法是以教材為基礎(chǔ)通過對很多道題的解答和證明而獲得的，所以說它來自教材，從數(shù)學水平和思想上來說又比教材高.在高考數(shù)學的命題過程中它是一個重要考查點，高考對它的考查也是以教材為基礎(chǔ)的，對于算兩次法現(xiàn)在的新數(shù)學教材中也出現(xiàn)了好幾次，例如在等差數(shù)列中求出數(shù)列的前n項和公式，在推導中要用到倒序相加法；關(guān)于兩個角在推導其和、差的余弦公式時也用到了算兩次法.但在數(shù)學的課堂教學中，算兩次思想方法并不被重視，不少一線教師和高三骨干教師，對這種思想方法都知道的不多；還有的認為該數(shù)學思想方法對于高中階段數(shù)學學習來說不是重要的，所以就不對它做重點講解，這就使學生在高考解數(shù)學題時如果可以用該思想方法解答，學生就不會運用.學會找出數(shù)學思想與對應方法，使學生提高分析與解決問題的水平，從而提高他們的數(shù)學素質(zhì)，要把教材作為基礎(chǔ).

在推導定理與公式時多多運用算兩次法，增強學生運用該思想方法來分析與解決數(shù)學題的意識.在新出版的高中數(shù)學教材中，像那些比較重要而又基礎(chǔ)性較強的定理與公式，對它們的結(jié)論進行證明時需要使用有創(chuàng)新性的方法，創(chuàng)新性主要是說選擇較為合適的角度來計算，更方便地建立等量或者不等量關(guān)系，這時算兩次法便是一種很好的方法，在課堂教學中教師要注意在講解這種題型時有效運用算兩次法，并讓學生聽明白，增強學生對該數(shù)學思想方法的認識.此外，高中數(shù)學課本上有不少定義與公式都有好幾種表達形式，像三角形面積公式、解答平面向量數(shù)量積時所用公式、圓錐曲線定義等，因為它們有多種表達方式，所以在應用過程中靈活性較強，算兩次在理解和解決這些定義與公式時是一種比較合適的方法.在給學生講解課本上和其他資料上的題時，對那些典型例題與習題要進行深入和多次講解，方便學生對算兩次思想方法的總結(jié).

3.總 結(jié)

在立體幾何中求兩點距離或其他距離經(jīng)常使用等體積法，這是運用了三棱錐的可換底性質(zhì)，對三棱錐體積進行兩次計算，然后建立等式來求高.算兩次法是一種常用到的解題方法，還是一個重要數(shù)學思想，在數(shù)學課本上它是化歸與方程思想的一種表現(xiàn)形式，同時也表現(xiàn)出了換角度思考這種理性思維特點.在使用算兩次法來解題時，不必注重其表面形式，重要的是要對該思想方法在本質(zhì)上認識與理解它.

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