張波

【摘要】針對高中數(shù)學(xué)中的古典概率問題，設(shè)計了實驗教學(xué)方法.每個實驗案例都是從一個實際問題出發(fā)，來討論分析如何解決這個問題.一共設(shè)計了3個教學(xué)案例，每個教學(xué)案例基本上包括了“問題提出——建立數(shù)學(xué)模型——分析研討——計算機(jī)處理——思考”的過程.

【關(guān)鍵詞】實驗教學(xué)；案例教學(xué)；古典概率

1.引言

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育主要注重理論知識教育，主要講解數(shù)學(xué)的概念、定理、公式和法則，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程只是被動地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而很少主動地應(yīng)用數(shù)學(xué)，學(xué)生主體作用得不到發(fā)揮.因此需要變革傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)教學(xué)需要聯(lián)系實際應(yīng)用，要與計算機(jī)結(jié)合起來，學(xué)生不僅僅靠聽課和看書接受數(shù)學(xué)知識，而且要親自動手去“學(xué)數(shù)學(xué)”和“用數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)實驗課就是讓學(xué)生自己動手，借助計算機(jī)，自主探索，綜合運用所學(xué)的知識解決實際問題.中科院院士、北京大學(xué)姜伯駒教授對建立數(shù)學(xué)實驗課十分重視，他認(rèn)為“應(yīng)該試驗組織數(shù)學(xué)實驗課程，在教師的指導(dǎo)下，探索某些理論或應(yīng)用的課題.學(xué)生的新鮮想法借助數(shù)學(xué)軟件可以迅速實現(xiàn)，在失敗與成功中得到真知.這種方式變被動地灌輸為主動地參與，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨立工作能力和創(chuàng)新精神”.

數(shù)學(xué)實驗課按照數(shù)學(xué)教學(xué)大綱所確定的教學(xué)目的，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動手能力，通過數(shù)學(xué)實驗加深對數(shù)學(xué)思想的了解，鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，加深對基本理論、基本方法的理解；掌握簡單的數(shù)據(jù)處理方法，學(xué)會使用數(shù)學(xué)軟件解決數(shù)學(xué)問題；提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，掌握基本的數(shù)學(xué)建模方法和技巧，為將來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)與工作打下一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).同時在教師指導(dǎo)下用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識和計算機(jī)技術(shù)分析、解決一些經(jīng)過簡化的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，從而進(jìn)一步提高學(xué)生“用計算機(jī)做數(shù)學(xué)”的能力.

2.教學(xué)案例

案例一：優(yōu)質(zhì)車輛的選擇

問題的提出：兩人去某風(fēng)景區(qū)游玩，每天某一時段開往該風(fēng)景區(qū)有三輛汽車（票價相同），但是他們不知道這些車的舒適程度，也不知道汽車開過來的順序.兩人采用了不同的乘車方案：甲無論如何總是上開來的第一輛車.而乙則是先觀察后上車，當(dāng)?shù)谝惠v車開來時，他不上車，而是觀察車的舒適狀況，如果第二輛車的舒適程度比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛車不比第一輛好，他就上第三輛車.如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等，請嘗試著解決下面的問題：

（1）三輛車按出現(xiàn)的先后順序有哪幾種不同的可能？

（2）你認(rèn)為甲、乙采用的方案，哪一種方案使自己乘上等車的可能性大？為什么？

問題應(yīng)用背景：通過研究樣本空間與隨機(jī)事件，利用古典概率公式計算隨機(jī)事件的概率，利用數(shù)學(xué)解決實際問題.

涉及知識點：樣本空間、隨機(jī)事件.

解題思路：本題是求乘上等車的可能性，學(xué)生需要通過分析找到本問題樣本空間，也就是三種等級的車輛的所有順序，然后研究甲與乙乘上等車這兩個隨機(jī)事件所包含的樣本點的個數(shù)，利用古典概率公式來計算各自的概率.

解答過程：

第1步，直觀分析問題，得到樣本空間.

通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)三輛車出現(xiàn)的先后順序的所有可能為：{上中下上下中中上下中下上下中上下上中}，一共有P33=6種可能，包含有6個基本事件，每一個基本事件均是樣本空間的一個樣本點.

第2步，分析隨機(jī)事件“甲上上等車”.

甲無論如何總是上開來的第一輛車，依據(jù)樣本空間得到：“甲上上等車”={上中下上下中}，“甲上上等車”是一個隨機(jī)事件，隨機(jī)事件是樣本空間的一個子集，這個隨機(jī)事件包含兩個基本事件，即是包含兩個樣本點.

第3步，分析隨機(jī)事件“乙上上等車”.

乙則是先觀察后上車，當(dāng)?shù)谝惠v車開來時，他不上車，而是觀察車的舒適狀況，如果第二輛車的舒適程度比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛車不比第一輛好，他就上第三輛車，根據(jù)乙上車的方式及本問題的樣本空間得到：“乙上上等車”={中上下中下上下上中}，“乙上上等車”這個隨機(jī)事件包含有三個基本事件，即包含三個樣本點.

第4步，根據(jù)古典概率計算公式，分別計算兩個隨機(jī)事件的概率.

P{甲上上等車}=26=13，

P{乙上上等車}=36=12.

問題延伸：李紅和張明正在玩擲骰子游戲，兩人各擲一枚骰子.（1）當(dāng)兩枚骰子點數(shù)之積為奇數(shù)時，李紅得3分，否則，張明得1分，這個游戲公平嗎？為什么？（2）當(dāng)兩枚骰子的點數(shù)之和大于7時，李紅得1分，否則張明得1分，這個游戲公平嗎？為什么？如果不公平，請你提出一個對雙方公平的意見.

案例二：賭徒下賭注問題

問題提出：賭徒德梅萊在賭博中注意到一對骰子擲多次，有時把賭注押在“至少出現(xiàn)1次雙6”比賭注押在“沒出現(xiàn)雙6”有利，有時則相反，他找不到原因，后來他請教了輪盤賭的發(fā)明人法國科學(xué)家萊茲·帕斯卡才弄清楚原因.當(dāng)投擲骰子的次數(shù)為n時，請你代替帕斯卡為德梅萊設(shè)計一個有利的投注策略.

問題應(yīng)用背景：計算隨機(jī)事件序列發(fā)生的概率.

涉及知識點：古典概型，對立事件的概率，獨立性及乘法公式.

解題思路：首先計算投擲一次，“沒有出現(xiàn)雙6”的概率.然后利用獨立性及乘法公式計算n次投擲中，“沒有出現(xiàn)雙6”的概率，并用對立事件的概率計算得出“至少出現(xiàn)1次雙6”的概率.其次要考慮隨投擲n次的變化，兩個概率的大小比較，進(jìn)而為賭徒設(shè)計出更為有利的投注策略，完成解題.

解答過程：

第1步，先計算投擲1次，“沒有出現(xiàn)雙6”的概率.

一對均勻的骰子投擲一次，“出現(xiàn)雙6”的概率是136，由對立事件概率公式，“沒出現(xiàn)雙6”的概率是3536.

第2步，再計算投擲n次，“沒有出現(xiàn)雙6”的概率及“至少出現(xiàn)1次雙6”的概率.

一對均勻的骰子投擲n次，由獨立性及乘法公式得“沒出現(xiàn)雙6”的概率是3536n，則由對立事件的概率公式“至少出現(xiàn)1次雙6”的概率為1-3536n.

第3步，考慮n次投擲中，兩個事件發(fā)生概率的比較.

顯然當(dāng)n=1時，“沒出現(xiàn)雙6”的概率3536大于“至少出現(xiàn)1次雙6”的概率136，此時押注“沒出現(xiàn)雙6”對賭徒更為有利.

但是注意到3536<1，所以當(dāng)n增大時，3536n將變小，并最終趨于零.因此必然存在某個n，為兩個概率大小關(guān)系的臨界值，即在該值前后，概率的大小關(guān)系出現(xiàn)逆轉(zhuǎn).令

1-3536n=3536n，

即

0.5=0.972n，

解得

n=log0.9720.5≈24.4.

也就是概率大小關(guān)系的臨界值為25.

第4步，根據(jù)概率隨投擲次數(shù)n的變化關(guān)系，設(shè)計投注策略.

由上面的分析，顯然當(dāng)投擲次數(shù)n小于25次時，“沒出現(xiàn)雙6”的概率大于“至少出現(xiàn)1次雙6”的概率，此時押注“沒出現(xiàn)雙6”對賭徒更為有利.而當(dāng)投擲次數(shù)等于或大于25次時，情況恰好相反.

為德梅萊設(shè)計一個的投注策略可以表示如下：

投擲次數(shù)

押注策略

取勝概率

n<25

沒出現(xiàn)雙6

3536n>0.5

n≥25

至少出現(xiàn)1次雙6

1-3536n>0.5

問題延伸：小概率事件在無限次重復(fù)試驗中必然出現(xiàn)的原理.

在上述問題中我們看到雖然投擲一對骰子“出現(xiàn)雙6”的概率很小為136≈0.028，但是當(dāng)投擲次數(shù)n無限增大時，“沒出現(xiàn)雙6”的概率3536n將趨于零，其對立事件“至少出現(xiàn)1次雙6”的概率將趨于1，即

limn→∞1-3536n=1.

這說明小概率事件當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)無限增大時幾乎是必然要出現(xiàn)的.

案例三：賭徒與賭場

問題提出：18世紀(jì)法國科學(xué)家萊茲·帕斯卡發(fā)明了輪盤賭，他設(shè)計的這個裝置讓許多人發(fā)財致富，同時又讓更多人傾家蕩產(chǎn).蒙特卡羅輪盤賭機(jī)上有37個小槽，編號從0到36，轉(zhuǎn)盤每轉(zhuǎn)一次停下后，盤上的小金屬球就會落進(jìn)其中某個小槽.賭客的賭注可以壓在單數(shù)或雙數(shù)上，0號槽被看作既非單數(shù)又非雙數(shù).美國賭場的輪盤賭稍有不同，輪盤賭機(jī)上既有0號槽又有00號槽.請分析兩地的輪盤賭機(jī)，賭場的收益率和賭徒押中賭注的概率分別是多少？帕斯卡設(shè)計的輪盤賭機(jī)是公平的賭博嗎？

問題應(yīng)用背景：計算隨機(jī)事件序列發(fā)生的概率.

涉及知識點：古典概型，對立事件的概率，獨立性及乘法公式.

解題思路：賭場的收益率是在等可能的情況下計算數(shù)字0或數(shù)字0和00出現(xiàn)的概率，賭徒押中賭注的概率是單數(shù)或雙數(shù)（除0或00外）在37（或38）個數(shù)字中出現(xiàn)的概率.

解答過程：

第1步，先計算賭場的收益率.

蒙特卡羅賭場的輪盤賭中，當(dāng)小球落入0號槽時，既非單數(shù)又非偶數(shù)，賭場可以通吃全部賭注，因此賭場獲得收益的概率就是數(shù)字0出現(xiàn)的概率，考慮所有數(shù)字出現(xiàn)是等概率的，則賭場的收益率為137，約為2.7%.美國賭場的輪盤賭中，除0號槽外還有00號槽，賭場可以通吃全部賭注，因此賭場獲得收益的概率就是數(shù)字0或00出現(xiàn)的概率，考慮所有數(shù)字出現(xiàn)是等概率的，則賭場的收益率為238，約為5.26%.

第2步，計算賭徒押中賭注的概率.

在蒙特卡羅賭場的輪盤賭中，單數(shù)和雙數(shù)出現(xiàn)的概率均為1837，因此賭徒押中賭注的概率為1837，約為48.6%.在美國賭場的輪盤賭中，單數(shù)和雙數(shù)出現(xiàn)的概率均為1838，因此賭徒押中賭注的概率為1838，約為47.4%.

第3步，分析輪盤賭機(jī)是否是公平的.

在輪盤賭中押單數(shù)或雙數(shù)，看似機(jī)會相等，實際卻是一場不公平的賭博.雖然平均來看一半的賭注會押在單數(shù)上，另一半的賭注會押在雙數(shù)上，而賭場會把從這一半賺到的錢賠到那一半上去，然而數(shù)字0或00的設(shè)置才是確保賭場在輪盤賭中穩(wěn)賺不賠的秘訣.從上面的概率計算中我們已經(jīng)看出賭場的收益率無論是蒙特卡羅的2.7%，還是美國的5.26%都是很可觀的.而對于賭徒，無論他押注什么，獲勝的機(jī)會都不會超過一半.從我們的分析中，賭徒能得到的啟發(fā)或許只是如何在兩個壞的輪盤賭中選擇一個不是最壞的.

3.結(jié)語

課題組通過調(diào)研和閱讀大量文獻(xiàn)，提出了案例教學(xué)法.我們始終堅持以學(xué)生為本的“學(xué)生是學(xué)習(xí)主體”“教師是教學(xué)關(guān)鍵”教學(xué)理念.在教學(xué)方法上狠下工夫，不斷探索教學(xué)方法.項目組老師提倡除采用傳統(tǒng)的啟發(fā)式教學(xué)外，還結(jié)合學(xué)生實際和學(xué)校專業(yè)特點，注重新的教學(xué)方法的引進(jìn)與吸收，尤其應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)建模，采用啟發(fā)式、案例式、討論式等教學(xué)方法，啟發(fā)學(xué)生課內(nèi)課外的學(xué)習(xí)積極性、主動性，充分發(fā)揮學(xué)生的思維能力和想象能力，使他們在課堂上得到最大的收益.

課題組針對高中數(shù)學(xué)中的概念部分內(nèi)容，設(shè)計實驗課教學(xué)的基本框架：即教學(xué)實驗都是從一個實際問題出發(fā)，來討論分析如何解決這個問題.一共設(shè)計了3個教學(xué)案例，每個教學(xué)案例基本上包括了“問題提出——建立數(shù)學(xué)模型——分析研討——計算機(jī)處理——思考”的過程.由于這一模式由實際問題導(dǎo)出相應(yīng)的方法和理論，有的放矢，針對性強(qiáng)，符合人們的認(rèn)識過程；另一方面具有相對的獨立性和完整性，便于靈活安排；同時這種模式也強(qiáng)調(diào)了實驗與教學(xué)相結(jié)合，達(dá)到以實驗輔助教學(xué)的目的.項目組在設(shè)計案例時，結(jié)合了學(xué)生專業(yè)的特點，注重調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識，在課程教學(xué)中為學(xué)生留有充分的自由，留有發(fā)揮的余地和空間.我們在數(shù)學(xué)實驗的案例、任務(wù)和完成方式等各個方面都有意識地體現(xiàn)出多樣性和靈活性，讓學(xué)生可以自主選擇.課題組編寫的案例教學(xué)實驗素材，選取范圍涉及領(lǐng)域廣泛，內(nèi)容力求典型生動；通過實驗介紹相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)模型和數(shù)值方法.我們始終堅持以學(xué)生為本的“學(xué)生是學(xué)習(xí)主體”“教師是教學(xué)關(guān)鍵”教學(xué)理念.希望通過小論文等形式培養(yǎng)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.