趙繼紅

【摘要】通過探討分部積分法在處理幾類特殊函數(shù)的不定積分中的若干準(zhǔn)則，為學(xué)生利用分部積分法求不定積分提供有效便捷的思路，幫助學(xué)生理解求不定積分過程中分部積分法的本質(zhì)及其巨大功效.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué); 不定積分;分部積分法

【中圖分類號(hào)】O13;O172.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【基金項(xiàng)目】 西北農(nóng)林科技大學(xué)陜西省專項(xiàng)配套基金（Z109021118）.

不定積分求解方法的核心是換元積分法和分部積分法.相比較換元積分法而言，分部積分法是由兩個(gè)函數(shù)乘積的微分運(yùn)算法則推得的一種求積分的基本方法，主要解決被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)乘積的不定積分.具體地說，將兩個(gè)函數(shù)乘積的微分公式d（uv）=udv+vdu改寫成udv=d（uv）-vdu，則兩邊積分可得

∫udv=uv-∫vdu

（*）

這就是求不定積分的分部積分公式[1，2].上述公式表明：對(duì)于一個(gè)形如∫udv的不定積分，如果它本身不好計(jì)算，但是∫vdu卻容易計(jì)算，則通過公式（*），不易求解的積分∫udv的計(jì)算就可以轉(zhuǎn)化為較易求解的積分∫vdu的計(jì)算.

有關(guān)討論分部積分法求不定積分教學(xué)研究和解題方法的文章已經(jīng)有很多，讀者可以參考文獻(xiàn)[3，4，5].由分部積分公式（*）可知，利用分部積分法求不定積分時(shí)我們主要考慮以下兩點(diǎn)：

（1）u和dv的選取是關(guān)鍵;如果u和dv的選取不當(dāng)，就可能使得求解變得更困難，從而求不出結(jié)果;

（2）∫vdu要比∫udv易求解.

依據(jù)上面兩點(diǎn)，我們提出利用分部積分法處理下面五類兩個(gè)函數(shù)乘積的不定積分時(shí)選u的若干準(zhǔn)則，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.假設(shè)P（x）和Q（u，v）是任意多項(xiàng)式函數(shù)，并設(shè)a，b為任意實(shí)數(shù)，k，n為任意正整數(shù).

一、 ∫P（x）sin（ax）dx或∫P（x）cos（ax）dx，即多項(xiàng)式函數(shù)和三角函數(shù)乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準(zhǔn)則為“三多選多”.

例1 求∫x2cos（ax）dx

解 根據(jù)“三多選多”的準(zhǔn)則，我們選u=x2，從而dv=cos（ax）dx=1ad（sin（ax）），利用分部積分公式（*）可得，∫x2cos（ax）dx=1a∫x2d（sin（ax））=1ax2sin（ax）-∫sin（ax）d（x2）=1ax2sin（ax）-2∫xsin（ax）dx.

注意到上式最后一項(xiàng)中∫xsin（ax）dx仍然是多項(xiàng)式函數(shù)和三角函數(shù)乘積的不定積分，所以仍然適用“三多選多”的準(zhǔn)則，從而∫x2cos（ax）dx=1ax2sin（ax）-2∫xsin（ax）dx=1ax2sin（ax）+2a∫xd（cos（ax））=1ax2sin（ax）+2axcos（ax）-∫cos（ax）dx=1ax2sin（ax）+2axcos（ax）-2a2sin（ax）+C.

注：上題中我們連續(xù)應(yīng)用了兩次分部積分法.一般來說，對(duì)于形如∫xkcosaxdx或者∫xksinaxdx的不定積分，可以依據(jù)“三多選多”的準(zhǔn)則應(yīng)用多次分部積分法進(jìn)行求解.

二、 ∫P（x）eaxdx，即多項(xiàng)式函數(shù)和指數(shù)函數(shù)乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準(zhǔn)則為“指多選多”.

例2 求∫x2eaxdx

解 根據(jù)“指多選多”的準(zhǔn)則，我們選u=x2，從而dv=eaxdx=1ad（eax），利用分部積分公式（*）得，∫x2eaxdx=1a∫x2d（eax）=1ax2eax-∫eaxd（x2）=1ax2eax-2∫xeaxdx.

注意到上式最后一項(xiàng)中∫xeaxdx仍然是多項(xiàng)式函數(shù)和指數(shù)函數(shù)乘積的不定積分，所以仍然適用“指多選多”的準(zhǔn)則，從而∫x2eaxdx=1ax2eax-2∫xeaxdx=1ax2eax-2a∫xd（eax）=1ax2eax-2axeax+2a∫eaxdx=1ax2eax-2axeax+2a2eax+C.

注：一般來說，對(duì)于形如∫xkeaxdx的不定積分，可以依據(jù)“指多選多”的準(zhǔn)則應(yīng)用多次分部積分法進(jìn)行求解.

三、 ∫P（x）lnnxdx，即多項(xiàng)式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準(zhǔn)則為“多對(duì)選對(duì)”.

例3 求∫xkln2xdx

解 根據(jù)“多對(duì)選對(duì)”的準(zhǔn)則，我們選u=ln2x，從而dv=xkdx=1k+1d（xk+1），利用分部積分公式（*）得，∫xkln2xdx=1k+1∫ln2xd（xk+1）=1k+1xk+1ln2x-∫xk+1d（ln2x）=1k+1xk+1ln2x-2∫xklnxdx.

注意到上式最后一項(xiàng)中∫xklnxdx仍然是多項(xiàng)式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)乘積的不定積分，所以仍然適用于“多對(duì)選對(duì)”的準(zhǔn)則，從而∫xkln2xdx=1k+1xk+1ln2x-2∫xklnxdx=1k+1xk+1ln2x-2k+1∫lnxd（xk+1）=1k+1xk+1ln2x-2k+1xk+1lnx+2k+1∫xkdx=1k+1xk+1ln2x-2k+1xk+1lnx+2（k+1）2xk+1+C.

注：一般來說，對(duì)于形如∫xklnnxdx的不定積分，可以依據(jù)“多對(duì)選對(duì)”的準(zhǔn)則應(yīng)用多次分部積分法進(jìn)行求解.

四、 ∫P（x）arcsinxdx，∫P（x）arccosxdx或∫P（x）arctanxdx，即多項(xiàng)式函數(shù)和反三角函數(shù)乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準(zhǔn)則為“多反選反”.

例4 求∫xarctanxdx

解 根據(jù)“多反選反”的準(zhǔn)則，我們選u=arctanx，從而dv=xdx=12d（x2），利用分部積分公式（*）得，∫xarctanxdx=12∫arctanxd（x2）=12x2arctanx-∫x2d（arctanx）=12x2arctanx-∫x21+x2dx=12x2arctanx-∫1-11+x2dx=12x2arctanx-x+arctanx+C.

注：一般來說，對(duì)于形如∫xkarcsinxdx，∫xkarccosxdx或∫xkarctanxdx的不定積分，可以應(yīng)用分部積分法結(jié)合第一類換元積分法進(jìn)行求解.

五、 ∫Q（sinbx，cosbx）eaxdx，即由正余弦構(gòu)成的多項(xiàng)式函數(shù)和指數(shù)函數(shù)乘積的不定積分，在分部積分公式（*）中我們選u的準(zhǔn)則為“指弦任選”.

例5 求∫eaxcos（bx）dx

解 根據(jù)“指弦任選”的原則，我們既可以選取u=eax，也可以選取u=cos（bx）.

法一、選取u=eax，從而dv=cos（bx）dx=1bd（sin（bx）），利用分部積分公式（*）得，

∫eaxcos（bx）dx=1b∫eaxd（sin（bx））=1beaxsin（bx）-∫sin（bx）d（eax）=1beaxsin（bx）-a∫eaxsin（bx）dx.

注意到上式右端仍然是指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)乘積的不定積分，所以我們需要再次使用分部積分法，但此時(shí)應(yīng)注意選取u的準(zhǔn)則一定要和第一步一致，即第一步中我們選取的u為指數(shù)函數(shù)，則第二步必須也要選取u=eax，我們有

∫eaxcos（bx）dx=1beaxsin（bx）-a∫eaxsin（bx）dx=1beaxsin（bx）+ab∫eaxd（cos（bx））=1beaxsin（bx）+abeaxcosbx-a2b∫eaxcos（bx）dx.

最后，我們有

∫eaxcos（bx）dx=ba2+b2eaxsin（bx）+abeaxcos（bx）+C.

法二、選取u=cos（bx），從而dv=eaxdx=1ad（eax），利用分部積分公式（*）得，

∫eaxcos（bx）dx=1a∫cos（bx）d（eax）=1aeaxcos（bx）-∫eaxd（cos（bx）=1aeaxcos（bx）+b∫eaxsin（bx）dx=1aeaxcos（bx）+ba∫sin（bx）d（eax）=1aeaxcos（bx）+baeaxsin（bx）-b2a∫eaxcos（bx）dx.

所以

∫eaxcos（bx）dx=aa2+b2eaxcos（bx）+baeaxsin（bx）+C=ba2+b2eaxsin（bx）+abeaxcos（bx）+C.

注：一般來說，對(duì)于形如∫eaxsink（bx）dx或者∫eaxcosk（bx）dx的不定積分，首先通過三角函數(shù)的倍角公式，積化和差公式將其化為形如例5的形式，再利用分部積分法進(jìn)行求解.

利用分部積分法求解不定積分，上述五類準(zhǔn)則只是具有指導(dǎo)性的準(zhǔn)則，更多的時(shí)候，在具體題目中需要我們結(jié)合換元積分法和分部積分法進(jìn)行求解.而掌握分部積分法求不定積分技巧的方法只有通過大量地做練習(xí)來實(shí)現(xiàn).希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中，多動(dòng)腦筋，靈活主動(dòng)地應(yīng)用各種辦法來計(jì)算各種各樣的不定積分，而不是硬記公式，死搬硬套.也只有這樣，才能深刻理解分部積分法求解不定積分的本質(zhì)和內(nèi)涵，更重要的是達(dá)到開闊思維，啟迪智慧的目的.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].7版.北京：高等教育出版社2014：208-212.

[3]朱孝春.一元函數(shù)不定積分中換元積分法與分部積分法的教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011，30（11）：51-56.

[4]羅瓊.不定積分的分部積分法教學(xué)淺談[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，11（5）：15-18.

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