錢進

數學解題是數學學習中的重要組成部分，其功能不僅能鞏固所學的新知識、查缺補漏，而且能培養(yǎng)學生較強的邏輯推理能力.在教學過程中，經常發(fā)現學生在解題時找不到突破口，學生感覺題目所給的條件與所求解的問題“相距”太遠，找不到它們之間的聯系.造成這種結果的原因有很多，但我認為主要的原因是學生對所要求解的目標理解不是很透徹，如何實現目標感到迷茫，缺乏解題的方向性，導致思維受到了阻礙.即使有些題目最終也能做出來，卻可能花費了大量的時間，這在高考中是致命的，也是不可取的.下面舉例談談“目標性”和“方向性”在解題中的重要作用，以供參考.

例1 已知x，y，z∈R+，x-2y+3z=0，則y2xz的最小值是（ ）.

我曾經把該題作為課堂教學例題，但當時能做出來的學生卻很少，學生反映出來的情況是：找不到x-2y+3z=0與y2xz的聯系.以下是當時兩名同學的解法.

學生甲：x-2y+3z=0x=2y-3z代入y2xz得y2（2y-3z）z，到此進行不下去……

學生乙：x-2y+3z=02y=x+3z代入y2xz得（x+3z）24xz，到此也進行不下去……

如何思考這個題，從什么地方入手？關鍵問題是這個條件是x，y，z三個正數的一些代數和，要求解的是y2xz的最小值，而y2xz是一些數的乘積.如何實現從和轉化為積？如何把條件中變量y的次方從一次升到二次？這就是解該題的目標和方向.雖然我們沒有直接把x-2y+3z=0轉化為y2xz的辦法，但是我們有這樣的關系，可以把和式轉化為乘積式，即x+3z≥2x·3z（因為題中要變成xz的積式）.因此我們就得到該題的解題思路：

x-2y+3z=02y=x+3z≥2x·3zy≥3xz，兩邊平方得y2xz≥3（當x=y=3z時等號成立），所以y2xz的最小值是3.

我們回顧一下學生甲與學生乙的解題思路方向性是否正確.學生甲的解題方向有明顯的失誤，因為所要求的問題中x與z是一個整體，所以不能把它們分開；學生乙的方向雖然正確，但目標不是很明確，導致代入 y2xz后不知道如何進行下一步.其實學生乙把2y=x+3z代入y2xz得（x+3z）24xz后，觀察到分母是x與z的乘積，只需把分母的平方展開，利用均值不等式即可解決y2xz=（x+3z）24xz=x2+6xz+9z24xz≥6xz+6xz4xz=3（當x=y=3z時等號成立）.從該題看出解題時思考解題的方向性變得尤為重要，只要我們的目標明確、解題方向正確，理論上來講都應該能把問題解決.

例2 已知α，β是銳角，且3sin2α+2sin2β=1 （1），3sin2α-2sin2β=0 （2）

求證：α+2β=π2.

錯證 由α+2β=π2，得2β=π2-α，代入（2）得3sin2α-2cosα=0，即6sinαcosα-2cosα=0，因為α，β是銳角sinα=13，從而得到cos2β=13，所以sinβ=33，代入（1）成立，故命題得證.該證明犯了方向性不明確的錯誤，把結論當作條件來進行證明，沒弄清楚目標是什么，導致證明方法錯誤.

證法1：把（1）中的sin2α轉化為cos2α（sin2α=1-cos2α2），sin2β轉化為cos2β（sin2β=1-cos2β2）與（2）聯立，把角都統(tǒng)一成二倍角后再進行運算，最后再把2α轉化為a，雖然得證但過程較復雜，主要是忽略了題目的目標性和方向性，因為結論里的角是α和2β，所以我們只要：（1）sin2β=1-cos2β2，而sin2α不進行變形；（2）sin2α=2sinαcosα，而sin2β不進行變形，即可得到以下簡單的證法.

證法2：由（1）得3sin2α=cos2β，由（2）得6sinαcosα=2sin2β，

兩式相除得tanα=tanπ2-2β，因為α，β是銳角α=π2-2β，即α+2β=π2，命題得證.

證法3：α，β是銳角0<α+2β<3π2，要證明α+2β=π2，只需證明cos（α+2β）=0即可.而cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β中，把由（1）得3sin2α=cos2β、由（2）得6sinαcosα=2sin2β代入即得cos（α+2β）=0.

通過以上幾種證明方法的比較可以看出，問題的關鍵是把條件中的角2α轉化為α，把角β轉化為2β，因為我們的結論中的角只有α和2β，這就是該題的目標性和方向性.我們只要把握了正確的方向，多種解法只是本質的外在表現而已.

在解題中如何把握其目標性和方向性呢？我認為應注意以下幾點：

1.學生必須有扎實的數學基礎知識和掌握常見的數學思想方法，因為數學思想方法是解決數學問題的指路燈，解法只是實現目標的手段而已.

2.突出數學意識的培養(yǎng)，注重數學問題的背景.

3.培養(yǎng)學生平常養(yǎng)成仔細分析問題的條件與結論之間的內在聯系的好習慣.

4.在課堂例題的講解和習題課上，選好典型的題目來引導、分析其錯在何處，思路間斷是何原因等等.