應(yīng)德勇

當(dāng)帶電粒子在電場(chǎng)中受到靜電力、重力以及其他的外力作用且有力做功時(shí)，粒子的動(dòng)能將發(fā)生改變，粒子將做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)粒子的向心力將由這些力在圓周半徑方向上的合力提供，通常利用牛頓第二定律和功能關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題。

一、考慮重力作用，利用牛頓第二定律和功能關(guān)系求解帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)和重力場(chǎng)共同作用的場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，是一類(lèi)重要而典型的題型。在考慮重力作用的情況下，對(duì)于帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)的處理通常是利用牛頓第二定律與功能關(guān)系。與不考慮重力的情況相比，主要是注意重力對(duì)解題的影響。

例1

如圖1所示，在E=1×l0³V/m的水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一光滑半圓形絕緣軌道豎直放置，軌道與一水平絕緣軌道MN連接，半圓軌道所在豎直平面與電場(chǎng)線平行，其半徑R=40cm，一帶正電荷量q=l×10^-4C的小滑塊的質(zhì)量m=40g，與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²，求：

（1）要使小滑塊能運(yùn)動(dòng)到半圓形軌道的最高點(diǎn)L，小滑塊應(yīng)在水平軌道上離N點(diǎn)多遠(yuǎn)處釋放？

（2）這樣釋放的小滑塊通過(guò)P點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是多大？（P為半圓形軌道的中點(diǎn)）

解析：（1）小滑塊剛能通過(guò)軌道最高點(diǎn)的條件是 ，解得 。小滑塊由釋放點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得 ，解得

（2）小滑塊在從P點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得 ，小滑塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得 ，解得N=l.5N。

點(diǎn)評(píng)：軌道模型的特點(diǎn)是軌道對(duì)物體的作用力參與提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，但不參與做功。

二、考慮重力作用，帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的等效處理

（一）帶電粒子在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)和重力場(chǎng)共同作用的場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，分析在豎直面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)常常會(huì)涉及一些能否會(huì)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，若采用常規(guī)方法求解，過(guò)程復(fù)雜，運(yùn)算量大，若采用“等效法”求解，則能避開(kāi)復(fù)雜的運(yùn)算，過(guò)程比較簡(jiǎn)潔?！暗刃Хā钡木唧w內(nèi)容是先求出重力與靜電力的合力，將這個(gè)合力視為一個(gè)“等效重力”，將 視為“等效重力加速度”。再將物體在重力場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律遷移到等效重力場(chǎng)中分析求解即可。

1.靜電力與重力方向垂直，處理等效最高點(diǎn)問(wèn)題。

例2 如圖2所示，絕緣光滑軌道AB部分為傾角θ=30。的斜面，AC部分為豎直平面內(nèi)半徑為R的圓弧軌道，斜面與圓弧

圖2軌道相切，整個(gè)裝置處于場(chǎng)強(qiáng)為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中?，F(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，帶正電荷量 ，要使小球能安全通過(guò)圓弧軌道，在O點(diǎn)的初速度應(yīng)滿足什么條件？

解析：小球先在斜面上運(yùn)動(dòng)，受重力、靜電力、支持力作用，然后在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，受重力、靜電力、軌道作用力作用，如圖3所示，類(lèi)比重力場(chǎng)，將靜電力與重力的合力視為等效重力mg'，其大小為 即a=30°，等效重力的方向與斜面垂直指向右下方，小球在斜面上做勻速運(yùn)動(dòng)。要使小球能安全通過(guò)圓弧軌道，在圓弧軌道的等效“最高點(diǎn)”（設(shè)為D點(diǎn)）滿足等效重力剛好提供向心力，即 ，因?yàn)閍=30°與斜面的傾角相等，由幾何關(guān)系知AD=2R，令小球以最小初速度u₀運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得 解得 。因此要使小球安全通過(guò)圓軌道，初速度應(yīng)滿足

點(diǎn)評(píng)：要使小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，就要使小球能安全地通過(guò)最高點(diǎn)，在重力場(chǎng)與勻強(qiáng)電場(chǎng)共同作用的場(chǎng)中，就要分析等效最高點(diǎn)，這與只有重力場(chǎng)時(shí)的最高點(diǎn)是不相同的，所以解決此類(lèi)問(wèn)題最好的方法是分析等效重力加速度。

2.靜電力與重力方向垂直，處理等效最低點(diǎn)問(wèn)題。

例3 如圖4所示，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線上端固定在0點(diǎn)，下端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，將它置于一個(gè)很大的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向右，已知小球在B點(diǎn)時(shí)平衡，細(xì)線與豎直方向間的夾角為a。求：當(dāng)細(xì)線與豎直方向間的夾角為多大時(shí)，才能使小球由靜止釋放后，細(xì)線到豎直位置時(shí)，小球的速度恰好為零？

解析：（1）運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。小球在重力、靜電力兩個(gè)恒力與不做功的細(xì)線拉力作用下的運(yùn)動(dòng)。

（2）等效分析。對(duì)小球在B點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析，如圖5所示，將重力與靜電力等效為一個(gè)恒力，將其稱(chēng)為等效重力得 ，小球做只受等效重力mg'與細(xì)線拉力的運(yùn)動(dòng)，可等效為單擺運(yùn)動(dòng)。

（3）規(guī)律應(yīng)用。如圖6所示，根據(jù)單擺的對(duì)稱(chēng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得，B點(diǎn)為振動(dòng)的平衡位置，豎直位置對(duì)應(yīng)小球速度為零，是小球做單擺運(yùn)動(dòng)的最大位移處，另一最大位移處在小球釋放的位置。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，當(dāng)細(xì)線與豎直方向間的夾角滿足p=2a時(shí)，則小球從這一位置由靜止釋放后至細(xì)線到豎直位置時(shí)，小球的速度恰好為零。

3.靜電力與重力在同一條直線上。

例4 如圖7所示，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端固定在0點(diǎn)，另一端拴一個(gè)帶電荷量為+q的小球，已知qE= 3mg，要使小球能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在A點(diǎn)的最小速度應(yīng)是多少7

解析：小球在A點(diǎn)受到重力mg和靜電力qE作用，其合力為2mg，方向向上，用此合力代替重力場(chǎng)中的重力，則B點(diǎn)等效于小球只在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的“最高點(diǎn)”。要使小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)，則需小球在等效“最高點(diǎn)”B時(shí)，有 （此時(shí)TB=0），在小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中，應(yīng)用動(dòng)能定理得 ，解得 。因此要想讓小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在A點(diǎn)的最小速度應(yīng)為 。

點(diǎn)評(píng)：在應(yīng)用等效法處理圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，要注意等效最高點(diǎn)（最低點(diǎn)）與實(shí)際最高點(diǎn)（最低點(diǎn)）的區(qū)分，有些情況下等效最高點(diǎn)（最低點(diǎn)）與實(shí)際最高點(diǎn)（最低點(diǎn)）重合，有些情況下等效最高點(diǎn)（最低點(diǎn)）與實(shí)際最高點(diǎn)（最低點(diǎn)）則不重合。

（二）帶電粒子在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于重力會(huì)與支持力相互抵消，從而造成靜電力等效代替重力的作用。

例5 如圖8所示，在光滑水平面上的O點(diǎn)系一長(zhǎng)為l的絕緣細(xì)線，細(xì)線的另一端系一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球，當(dāng)沿細(xì)線方向加上場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)后，小球處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)給小球一垂直于細(xì)線的初速度v⁰，使小球在水平面上開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，若v⁰很小，則小球第一次回到平衡位置所需時(shí)間為多長(zhǎng)？

解析：因?yàn)槌跛俣葀⁰很小，所以小球擺動(dòng)的幅度很小，即可將小球的運(yùn)動(dòng)視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，類(lèi)似于單擺模型，先求等效加速度，可以求得等效單擺周期，進(jìn)而可以求得返回的時(shí)間。等效重力為mg'=qE，則等效重力加速度 ，根據(jù)單擺的周期表達(dá)式得 ，解得小球第一次回到平衡位置所需時(shí)間 。

小結(jié)：圓周運(yùn)動(dòng)是高中物理重點(diǎn)研究的曲線運(yùn)動(dòng)之一，帶電粒子在電場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)是近年高考命題的熱點(diǎn)之一。掌握好解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法，即牛頓第二定律與功能關(guān)系（在特定情景下靈活應(yīng)用等效法），同學(xué)們?cè)诿鎸?duì)重力場(chǎng)與勻強(qiáng)電場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)就可以有充足的信心了！