王志

1.改革開放以來，我國高等教育事業(yè)有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，有人記錄了某村2005年到2014年十年間每年考入大學(xué)的人數(shù)。為方便計算，2005年編號為1，2006年編號為2，…，2014年編號為10。數(shù)據(jù)如表1所示。

（1）從這10年中隨機(jī)抽取兩年，求考人大學(xué)的人至少有1年多于15人的概率。

（2）根據(jù)前5年的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出 關(guān)于x的回歸方程y=bx+a，并計算第8年的估計值和實際值之間的差的絕對值。

2.某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量（單位：g），質(zhì)量的分組區(qū)間為（490，495]、（495，500]、…、（510，515]。由此得到樣本的頻率分布直方圖（如圖1）。

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505 g的產(chǎn)品的數(shù)量。

（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)￡為質(zhì)量超過505g的產(chǎn)品的數(shù)量，求￡的分布列。

（3）從流水線上任取5件產(chǎn)品，估計其中恰有2件產(chǎn)品的質(zhì)量超過505g的概率。

3.為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對該班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如表2所示的列聯(lián)表。已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為 。

（1）請將表2補充完整。

（2）是否有99.5%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由。

（3）已知喜愛打籃球的10位女生中，A₁、A₂、A₃還喜歡打羽毛球，B₁、B₂、B₃還喜歡打乒乓球，C₁、C₂還喜歡踢足球?，F(xiàn)在從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的8名女生中各選出1名進(jìn)行其他方面的調(diào)查，求B₁和C₁不全被選中的概率。

下面的臨界值表（表3）供參考。

4.某大學(xué)高等數(shù)學(xué)科老師在大一上學(xué)期分別采用了A、B兩種不同的教學(xué)方式對甲、乙兩個大一新生班進(jìn)行教改試驗（兩個班人數(shù)均為60，入學(xué)時數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）?，F(xiàn)隨機(jī)抽取甲、乙兩班各20名同學(xué)的大一上學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試成績，得到莖葉圖（如圖2）。

（1）依據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均分高。

（2）從乙班這20名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名高等數(shù)學(xué)成績不低于85分的同學(xué)，求成績?yōu)?0分的同學(xué)被抽中的概率。

（3）學(xué)校規(guī)定：成績不低于85分的為優(yōu)秀，請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表（如表4），能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)？

下面的臨界值表（同表3，此處略）供參考。

參考公式： ，其中n=a+b+c+d。

（4）從乙班高等數(shù)學(xué)成績不低于85分的同學(xué)中抽取2人，成績不低于90分的同學(xué)得獎金100元，否則得獎金50元，記￡為這2人所得的總獎金，求￡的分布列和數(shù)學(xué)期望。

5.某校舉行環(huán)保知識大獎賽，比賽分初賽和決賽兩部分。初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選題答題的機(jī)會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽：答對3題者直接進(jìn)入決賽，答錯3題者則被淘汰。已知選手甲答對每道題的概率相同，并且相互之間沒有影響，答題連續(xù)兩次答錯的概率為 。

（1）求選手甲可進(jìn)入決賽的概率。

（2）設(shè)選手甲在初賽中答題的數(shù)量為￡，試求￡的分布列，并求￡的數(shù)學(xué)期望。

6.某單位實行休年假制度已經(jīng)三年，現(xiàn)對50名職工休年假的次數(shù)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到的結(jié)果如表5所示.

根據(jù)表中的信息解答以下問題。

（1）從該單位任選兩名職工，用叩表示這兩人休年假的次數(shù)之和，記“函數(shù)廠（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（4，6）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發(fā)生的概率。

（2）從該單位任選兩名職工，用￡表示這兩人休年假的次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量￡的分布列及數(shù)學(xué)期望E￡。

7.設(shè)不等式X²+y²≤4確定的平面區(qū)域為U，|x|+|y|≤1確定的平面區(qū)域為V。

（1）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點為“整點”，在區(qū)域U內(nèi)任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V內(nèi)的概率。

（2）在區(qū)域U內(nèi)任取3個點，記這3個點在區(qū)域V內(nèi)的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

8.已知函數(shù) ，其中實數(shù)a、b是常數(shù)。

（1）已知a∈{O，1，2），b∈{O，1，2），求事件A“f（l）≥0”的概率。

（2）若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（a）是f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值，求當(dāng)|a|≥1時g（a）的解析式。

1.（1）設(shè)事件A表示“考入大學(xué)的人至少有1年多于15人”，則 。

（2）由已知數(shù)據(jù)得：x=3，y=8，∑xⁱyⁱ=3+10+24+44+65=146， ，則 ，故回歸方程為y=2.6x+0.2。

第8年的估計值和真實值之間的差的絕對值為12.6×8+0.2-221=1。

2.（1）質(zhì)量超過505g的產(chǎn)品的數(shù)量是40×（0.05×5+0.01×5）=12。

c2）￡所有可能的取值為0、1、2。

。

￡的分布列如表6所示。

（3）抽取的40件產(chǎn)品中有12件產(chǎn)品的質(zhì)量超過505g，其頻率為 ，可見從流水線上任取1件產(chǎn)品，其質(zhì)量超過505g的概率為0.3。

設(shè)η表示任取的5件產(chǎn)品中質(zhì)量超過505 g的產(chǎn)品的數(shù)量，則η～B（5，0.3），故所求的概率為 。

3.（1）完整的列聯(lián)表如表7所示。7.879，則有99.5%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)。

（3）從10位女生中選出喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、喜歡踢足球的各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件的總數(shù)為 。

用M表示事件“B₁、C₁不全被選中”，則其對立事件M表示“B₁、C₁全被選中”。事件M由3個基本事件組成，則 .故

4.（1）甲班高等數(shù)學(xué)成績集中于60～90分，乙班高等數(shù)學(xué)成績集中于80～100分之間，可以大致看出乙班的平均分高。

（2）所求概率為 。

（3）完整的列聯(lián)表如表8所示。

因此在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下可以認(rèn)為成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)。 （4）

￡的分布列如表9所示。

。

5.設(shè)選手甲任答一題正確的概率為p。由題意得 。

（1）選手甲選答3道題目后進(jìn)入決賽的概率為 ，選答4道、5道題目后進(jìn)人決賽的概率分別為 ，則選手甲可進(jìn)入決賽的概率為 。

（2）￡所有可能的取值為3、4、5。

由題意得 ￡的分布列如表10所示。

6.（1）函數(shù) 過點（0，-1），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（4，6）上有且只有一個零點，則 ：解得 ，故

“η=4”與“η=5”為互斥事件，則所求概率為

（2） 所有可能的取值為0、1、2、3。 的分布列如表11所示。

7.（1）平面區(qū)域U內(nèi)的整點為（0，O）、（0，±1）、（o，±2）、（±1，0）、（±2，0）、（±1，1）、（±1，-1），共13個。

平面區(qū)域V內(nèi)的整點為（O，O）、（O，±1）、（±1，0），共5個。

所求概率為 。

（2）平面區(qū)域U的面積為 ，平面區(qū)域V的面積為 。

在區(qū)域U內(nèi)任取1個點，則該點在區(qū)域V內(nèi)的概率為 。

X所有可能的取值為0、1、2、3。X的分布列如表12所示。

8.（1）當(dāng)a∈{0，1，2）、6∈{0，1，2）時，基本事件（a，6）共有9個：（O，O）、（O，1）、（O，2）、（1，O）、（1，1）、（1，2）、（2，O）、（2，1）、（2，2）.

事件 包含6個基本事件：（0，O）、（0，1）、（O，2）、（1，1）、（1，2）、（2，2）.

故 。

（2）由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，得f（O）=0 b=0，則 。

。

①當(dāng)a≥1時，由-1≤x≤1，得f'（x）≤0，則f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，故

②當(dāng)a≤-1時，由-1≤x≤1，得f'（x）>0，則f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，故 。