王華

【摘要】高等數(shù)學(xué)中的微積分思想，是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路，對培養(yǎng)學(xué)生的思維素質(zhì)、創(chuàng)新能力起十分重要的作用.本文從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分思想獲得啟示，把握了微元法是將變量問題轉(zhuǎn)化為常量問題進(jìn)行處理的核心思想，并引入解析幾何笛卡爾坐標(biāo)概念，為工程技術(shù)中涉及與變量相關(guān)的許多幾何、物理定積分應(yīng)用問題提供了一種方法和思路.作為算例，對物理學(xué)中的變速運動物體的動能和轉(zhuǎn)動慣量的計算問題應(yīng)用微元法進(jìn)行了求解，方法簡潔、通用.

【關(guān)鍵詞】微積分；微元法；極限

1.引言

從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看，17世紀(jì)前由古希臘、印度、巴比倫、中國、埃及等創(chuàng)立的代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)所研究的對象“數(shù)”是常量，研究的對象“形”是不變的規(guī)則幾何形體，然而，客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動變化著，且運動變化的過程在空間形式上都存在著一定的數(shù)量對應(yīng)關(guān)系，這種建立在以不變“數(shù)”“形”及其相互關(guān)系之上的初等數(shù)學(xué)無法解釋自然界事物變化的根本內(nèi)在規(guī)律.

17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650）和德國數(shù)學(xué)家費馬（1601—1665）在幾何學(xué)上引入了直角坐標(biāo)系，建立了坐標(biāo)法，即用代數(shù)方程研究和表示曲線，從而創(chuàng)立了一門用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)學(xué)科——解析幾何，溝通了數(shù)學(xué)中的兩個基本研究對象“數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系，研究的“數(shù)”是變數(shù)，研究的“形”是不規(guī)則的幾何形體，如曲線、曲面、曲邊形和曲面體等，別開生面地開創(chuàng)了數(shù)形結(jié)合的研究方法.解析幾何學(xué)的誕生標(biāo)志著人類從常量數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)的新階段.

同時，17世紀(jì)的工業(yè)革命，諸如天文學(xué)、航海學(xué)、測量學(xué)、造船業(yè)等的發(fā)展需求，迫切需要數(shù)學(xué)上提出更好的方法去解決工程實際中出現(xiàn)的應(yīng)用問題，這些問題主要涉及運動學(xué)的速度問題、曲線的切線問題、函數(shù)的最值問題、與曲線及曲面相關(guān)的弧長面積的體積計算問題等.在這一背景下，進(jìn)入17世紀(jì)下半葉，英國科學(xué)家牛頓（1643—1727）和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（1646—1716）在許多著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家諸如法國的費爾馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格，英國的巴羅、瓦里士，德國的開普勒，意大利的卡瓦列利等研究切線問題、求積問題、瞬時速度、函數(shù)極值等問題的基礎(chǔ)上，將古希臘求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關(guān)系，完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步.牛頓為解決運動問題從運動學(xué)的角度創(chuàng)立了這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論——微積分，而萊布尼茲則是從幾何學(xué)的角度進(jìn)行研究，達(dá)到的效果卻是異曲同工，他們把切線的微分問題和求積的積分問題聯(lián)系在一起，破天荒地為變量建立了一種運算規(guī)則，用以描述因變量對于自變量的瞬時變化率以及在自變量的某個變化過程中因變量作用的整體積累效果，但是牛頓和萊布尼茲在處理無窮小量的問題上卻不能自圓其說，直到19世紀(jì)初，法國科學(xué)家柯西建立了極限理論，又經(jīng)德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯的進(jìn)一步嚴(yán)謹(jǐn)化，牛頓和萊布尼茲的微積分思想方法才在極限理論的支持下形成了數(shù)學(xué)上優(yōu)美完善的微積分學(xué).

無論是歐氏幾何，還是上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)，都是常量數(shù)學(xué)，只有微積分的問世才為變量數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)，微積分學(xué)為近代科學(xué)的快速發(fā)展提供了最有效的數(shù)學(xué)工具，開辟了數(shù)學(xué)上的新紀(jì)元.

從研究常量到研究變量，從研究規(guī)則的幾何形體到研究不規(guī)則的幾何形體，是人類對自然界認(rèn)識的一大飛躍，今天，我們可以通過微積分理論的一系列公式和定理去求解工程實際中出現(xiàn)的應(yīng)用問題，然而，在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意識、能力方面，牛頓—萊布尼茲的微積分原始創(chuàng)立思想在分析問題和解決問題上則具有重要的學(xué)術(shù)價值.

2.瞬時速度問題的處理方法到導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生

牛頓在1671年“流數(shù)法和無窮級數(shù)”中提出兩個中心問題：第一個問題是已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度；第二個問題是已知運動的速度，求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程.其求解過程分析如下.

盡管平均速度和瞬時速度是兩個不同的物理概念，但是時間增量Δt在無窮小極限的條件下，平均速度可以轉(zhuǎn)化為瞬時速度，這就是以“勻速代變速”無窮小極限的處理思想，可用微元法描述如下：

從上述瞬時速度的處理方法可以看出，在短暫的時間段內(nèi)，變速的問題將近似為簡單的勻速問題處理，由此，根據(jù)瞬時速度由增量比取極限的方法可推論出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義的一般形式，即設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)增量與自變量增量之比在自變量增量趨于零時條件下的極限，表示如下：

微分的幾何意義是函數(shù)y=f（x）在笛卡爾直角坐標(biāo)系所描述的曲線在點P（x0，y0）處切線的縱坐標(biāo)的增量.

導(dǎo)數(shù)和微分是兩個不同的概念，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點處的變化率，而微分是函數(shù)在一點處由自變量增量所引起的函數(shù)的變化量.

3.從變速運動路程的處理到定積分的產(chǎn)生

對于牛頓的第二個問題，設(shè)某物體做變速直線運動，在給定的時間間隔[a，b]上，其速度（因變量）與時間（自變量）的關(guān)系即運動方程可描述為

由于速度的連續(xù)變化性，在較短的時間段內(nèi)速度變化不大，運動近似于勻速，如將給定的時間間隔[a，b]進(jìn)行分割，在每一小段時間內(nèi)，以“勻速代變速”，求出路程的近似值，再對每一小段的路程求和并取極限，從而產(chǎn)生了定積分，可用微元法描述如下：

4.從微積分思想獲得的啟示

從上述導(dǎo)數(shù)和定積分產(chǎn)生的過程可知，牛頓—萊布尼茲的微分學(xué)和積分學(xué)中最重要的思想是無論是導(dǎo)數(shù)還是定積分，均采用了微元法這種無窮小量的處理方法，將變量問題轉(zhuǎn)化為常量問題，在無窮小的條件下用近似代替的方法解決了變量變化問題的瓶頸，這種微元法使“變”的問題轉(zhuǎn)化為“不變”的問題，使得復(fù)雜問題迎刃而解.

由此使我們聯(lián)想到對于工程技術(shù)中涉及與變量相關(guān)的許多幾何、物理定積分應(yīng)用問題，可以采用這種微元法作為求解變量問題的有效途徑.

對于由函數(shù)y=f（x）描述的一類幾何、物理應(yīng)用的定積分問題，微元法具體求解過程如下：

（1）首先將函數(shù)y=f（x）描述的一類幾何、物理應(yīng)用問題，引入合適的笛卡爾坐標(biāo)系，為定義微元變量的數(shù)量關(guān)系建立基準(zhǔn)，將函數(shù)y=f（x）轉(zhuǎn)化為在笛卡爾坐標(biāo)系下描述幾何曲線y=f（x）的代數(shù)方程.

（2）對于具體的變量變化問題通過微元法轉(zhuǎn)化為常量問題做近似處理，并借鑒數(shù)學(xué)、物理學(xué)等不同專業(yè)學(xué)科中的規(guī)律、定理建立方程.

（3）選定積分變量和積分區(qū)間，將多元被積函數(shù)用解析幾何的方法轉(zhuǎn)化為只與積分變量相關(guān)的單元被積函數(shù)，用牛頓—萊布尼茲定積分公式及相關(guān)的微積分運算規(guī)則進(jìn)行求解.

5.算例

為了說明微元法在處理與變量相關(guān)的許多幾何、物理定積分應(yīng)用問題的有效性，考慮如下兩個問題.

問題1：質(zhì)量為M的均勻細(xì)長桿，長為L，將其折成等邊三角形，選擇某一邊為旋轉(zhuǎn)軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，求其動能和轉(zhuǎn)動慣量.

分析物理學(xué)中定義的質(zhì)量為m的質(zhì)點，其速度為v的動能為1[]2mv2，屬于常量計算問題，而問題1的細(xì)長等邊三角形桿做旋轉(zhuǎn)運動時，在不同回轉(zhuǎn)半徑處的速度是變化的，屬于變量變化的物理問題.

同理，物理學(xué)中定義的質(zhì)量為m的質(zhì)點，其半徑為r的轉(zhuǎn)動慣量為mr2，屬于常量計算問題，而問題1的細(xì)長等邊三角形桿做旋轉(zhuǎn)運動時，回轉(zhuǎn)半徑是變化的，也屬于變量變化的物理問題.

分析物理學(xué)中定義的質(zhì)量為m的質(zhì)點，其速度為v的動能為1[]2mv2，屬于常量計算問題，而問題2的等邊三角形均勻薄板做旋轉(zhuǎn)運動時，在不同回轉(zhuǎn)半徑處的速度是變化的，屬于變量變化的物理問題.

同理，物理學(xué)中定義的質(zhì)量為m的質(zhì)點，其半徑為r的轉(zhuǎn)動慣量為mv2，屬于常量計算問題，而問題2的等邊三角形均勻薄板作旋轉(zhuǎn)運動時，回轉(zhuǎn)半徑是變化的，也屬于變量變化的物理問題.為了滿足物理學(xué)中動能和轉(zhuǎn)動慣量的計算規(guī)則，將問題2采用上述微元法求解如下：

（1）首先建立笛卡爾坐標(biāo)系，等邊三角形均勻薄板做旋轉(zhuǎn)運動，如圖2所示，其中A點的縱坐標(biāo)根據(jù)解析幾何中兩點直線公式可得y=L[]6-1[]2cos30°

6.結(jié)論

本文從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分思想獲得啟示，對微元法處理變量問題的一般通用化方法進(jìn)行了研究，并通過算例驗證了微元法的有效性，這對于有效解決工程技術(shù)中由變量描述的幾何、物理定積分應(yīng)用問題提供了一條可行途徑.

【參考文獻(xiàn)】

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