莊喜

[摘 要]在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，構(gòu)造法作為一種嶄新的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，將數(shù)學(xué)條件向數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)化，利用條件和結(jié)論的關(guān)聯(lián)性，構(gòu)造解題對(duì)象.尤其是在目前的高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，構(gòu)造法作為考查學(xué)生開(kāi)放性思維的重要依據(jù)，得到廣泛的重視.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué) 構(gòu)造法 解題應(yīng)用

構(gòu)造法是指為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題而構(gòu)造的一種數(shù)學(xué)形式，可以是數(shù)學(xué)圖形、代數(shù)式、方程、函數(shù)等，利用構(gòu)造出的形式尋求構(gòu)造與問(wèn)題之間的深層聯(lián)系，從而起到簡(jiǎn)化求解過(guò)程、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思路等目的.數(shù)學(xué)構(gòu)造法包含化歸、類比、推理等眾多數(shù)學(xué)思想，常常對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有創(chuàng)造性的建議.在本文中，我們將從數(shù)列構(gòu)造、圖形構(gòu)造、方程構(gòu)造等高中數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，探究構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用

在高中數(shù)列教學(xué)中，數(shù)列的通項(xiàng)公式如同函數(shù)的解析式一樣重要.一旦我們求得了數(shù)列的解析式，那么該數(shù)列的任一項(xiàng)以及前n項(xiàng)和都可以被我們求得.可以說(shuō)，數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決一切數(shù)列問(wèn)題的根本.在處理一些關(guān)于自然數(shù)n的數(shù)列問(wèn)題時(shí)，我們常常可以利用替換、假設(shè)等方式，構(gòu)造出與題設(shè)相關(guān)的數(shù)列，從而起到幫助解題的作用.

【例1】 已知數(shù)列{an}滿足a1=14，an=an-1（-1）n·an-1-2（n≥2，n∈N*），試求通項(xiàng)an.

解析：本題已經(jīng)明確要求我們求出數(shù)列通項(xiàng)，這是典型的給出首項(xiàng)和關(guān)系式，要求通項(xiàng)的題型.對(duì)此，教師必須引導(dǎo)學(xué)生明確解題思路：欲求通項(xiàng)，可以構(gòu)造新的首項(xiàng)和等差、等比關(guān)系.在本題中，給出的通項(xiàng)關(guān)系式是解決該題的核心條件，也是唯一條件.那么，在明確解題思路之后，接下來(lái)就是構(gòu)造關(guān)系數(shù)列的過(guò)程.由已知條件可得： 1an=（-1）n-2an-1 ，觀察等式兩端，尋找相同部分構(gòu)造類似結(jié)構(gòu).于是，等式兩端同時(shí)加上（-1）n，并提取公約數(shù)-2，可得 1an+（-1）n=（-2） [1an-1+（-1）n-1]. 此時(shí)，我們便實(shí)現(xiàn)了對(duì)等比數(shù)列的構(gòu)造，從該等比數(shù)列的形式可以看出，該等比數(shù)列是以 1a1+（-1）=3 為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)列.于是，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們可以得到 1an+（-1）n =3·（-2）n-1，通過(guò)簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)后，我們可以得到通項(xiàng)an=13·（-2）n-1-（-1）n.在本例中，難點(diǎn)在于構(gòu)造出等比數(shù)列的形式，將學(xué)生未曾見(jiàn)過(guò)的等式關(guān)系轉(zhuǎn)變成他們所熟知的等比、等差的形式.學(xué)生需要考慮到拼湊、提取、化歸的思路，最終才能構(gòu)造出解題所需的等比數(shù)列.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師可以為學(xué)生總結(jié)出常見(jiàn)的數(shù)列求解類型，將構(gòu)造方法總結(jié)給學(xué)生，實(shí)現(xiàn)數(shù)列教學(xué)的舉一反三.

二、構(gòu)造法在幾何圖形中的應(yīng)用

傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)包含幾何與代數(shù)兩個(gè)部分，但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)步，教師逐漸發(fā)現(xiàn)這兩者難以分割，更別說(shuō)進(jìn)行分開(kāi)式的教學(xué)了.從日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不難發(fā)現(xiàn)，很多問(wèn)題不僅僅可以利用代數(shù)的方法求解，也可以利用幾何的方法求解.有時(shí)，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形的方法，往往還能起到出乎意料的作用，可以極大地簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

【例2】 已知函數(shù)f（x）=x2+4 +x2+2x+2 ，求該函數(shù)的最小值.

圖1 解析：對(duì)于本題，學(xué)生拿到手的第一想法就是化簡(jiǎn)、去根號(hào).當(dāng)然，這樣的方法也是可行的，但需要學(xué)生具備較強(qiáng)的函數(shù)處理能力和推導(dǎo)能力.對(duì)此，我們不妨換個(gè)角度看問(wèn)題，從該函數(shù)的幾何意義出發(fā)，尋求圖形化的解決策略.首先，由f（x）= x2+4+x2+2x+2 可以得到f（x）=x2+22+（x+1）2+12 .然后，我們進(jìn)一步分析該式的幾何意義，即是平面內(nèi)一點(diǎn)P（x，0）到平面內(nèi)定點(diǎn)A（0，2）和B（-1，-1）的距離之和.從點(diǎn)P我們不難看出，該點(diǎn)在x軸上.A、B點(diǎn)則分別是位于y軸正半軸上的點(diǎn)與位于第三象限的點(diǎn)，直線AB與x軸交于C點(diǎn).于是，可知當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，該函數(shù)取得最小值，即線段AB的長(zhǎng)度.于是可知f（x）min= |AB|=（0+1）2+（2+1）2=10 .通過(guò)構(gòu)造圖形的方法，原本復(fù)雜的代數(shù)求解與證明過(guò)程就被簡(jiǎn)化成直線圖形與直線長(zhǎng)度問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了求解過(guò)程的簡(jiǎn)化.

圖2 【例3】 （2010年江蘇卷）已知函數(shù)f（x）= x2+1，x≥0

1，x<0 ，則滿足不等式f（1-x2）>f（2x）的x的取值范圍是什么？

解析：該函數(shù)類型屬于分段函數(shù)，學(xué)生可以想到用分段討論的方法進(jìn)行求解.但這樣的分段討論過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，且很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.對(duì)此，我們不妨利用該分段函數(shù)的圖形進(jìn)行構(gòu)造法求解.作出如圖2的

函數(shù)圖像，欲使f（x1）>f（x2），必須保證x1>x2，同時(shí)x1>0.于是，我們便可以得到x取值范圍的判斷條件為 1-x2>2x

1-x2>0 ，最終可以求出x的取值范圍為（-1，2-1）.在本題中，通過(guò)構(gòu)造出的分段函數(shù)圖像，我們將原本純粹的取值范圍的求解轉(zhuǎn)化成了圖像閱讀與函數(shù)分析的綜合，簡(jiǎn)化了求解思路，提高了求解的準(zhǔn)確性.

三、構(gòu)造法在方程中的應(yīng)用

方程是高中數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)之一，常常與數(shù)學(xué)函數(shù)之間有著緊密的聯(lián)系.在數(shù)學(xué)高考中，方程問(wèn)題往往是作為壓軸大題，與不等式、數(shù)學(xué)函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容綜合起來(lái)考查的.在實(shí)際的解題過(guò)程中，數(shù)學(xué)方程根的構(gòu)造常常需要結(jié)合題中所給的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行妥善選擇，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題方法上的最簡(jiǎn)化.

【例4】 已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y=5，z2=xy+y-9，試求x+2y+3z的值.

解析：從方程形式上來(lái)看，該題屬于三元二次的形式，而只有兩個(gè)關(guān)系式，必然難以求解.從已知的兩式中，我們可以得到 （x+1）+y=6

（x+1）y=z2+9 .于是，我們可以將y與x+1視為方程的兩個(gè)根，則上式就類似于方程的韋達(dá)定理.此時(shí)，我們可以得到構(gòu)造函數(shù)m2-6m+z2+9=0.結(jié)合已知條件我們可以確定，該方程含有實(shí)根，得到Δ=-4z2≥0.由于x、y、z是實(shí)數(shù)，故有Δ=z=0.利用方程的根的性質(zhì)可知，該方程含有兩個(gè)相等的實(shí)根，即m1=m2.將z=0代入方程m2-6m+z2+9=0，可以求出m1=m2=3.結(jié)合題中給出的已知形式，有x+1=y=3，最終我們可以解出x=2、y=3、z=0，再將它們的值代入代數(shù)式x+2y+3z，得到其值為8.從本題的解題過(guò)程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)方程中，構(gòu)造法的使用有著舉足輕重的作用，當(dāng)遇到利用常規(guī)方法難以求解的題型時(shí)，學(xué)生必須及時(shí)聯(lián)想到構(gòu)造法，如：方程的根的構(gòu)造、方程的Δ值的構(gòu)造、方程局部的構(gòu)造等.構(gòu)造法往往會(huì)對(duì)我們的求解起到顯著的簡(jiǎn)化作用.

總之，高中數(shù)學(xué)解題離不開(kāi)構(gòu)造法，教師必須在日常的數(shù)學(xué)解題中積極滲透此類思想.構(gòu)造法體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)學(xué)科的靈活性和創(chuàng)新性，同時(shí)，這種創(chuàng)新是有依據(jù)的，不是憑空捏造的.在高中數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造法的類型遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止本文中的幾類，構(gòu)造法的進(jìn)一步深化還需要教師在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中積極探究，不斷創(chuàng)新