楊文川

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047）

基于斑塊環(huán)境下SIS傳染病模型局部穩(wěn)定性分析

楊文川

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047）

首先在雙線性傳染率βSI和不考慮種群之間遷移問題的SIS傳染病模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)并增加種群遷移帶來的影響條件，并建立一個更加符合實(shí)際意義的SIS傳染病模型；在模型滿足一定條件和符合實(shí)際意義下，平衡點(diǎn)存在的基礎(chǔ)上，利用基本再生數(shù)R0和特征值理論分析得出，在R0≤1時無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的充分條件；進(jìn)一步利用基本再生數(shù)R0和分塊矩陣?yán)碚摰贸?，?dāng)R0＞1時地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的充分條件；模型的建立和研究進(jìn)一步豐富了傳染病模型。

SIS傳染病模型；無病平衡點(diǎn)；地方病平衡點(diǎn)；基本再生數(shù)

0 引 言

當(dāng)今世界面臨許多傳染病問題，預(yù)防和控制傳染病是當(dāng)今世界最為棘手的問題［1］。因此建立數(shù)學(xué)模型對傳染病進(jìn)行分析是很有意義的研究課題。通常把總?cè)丝诖笾路殖啥糠郑阂赘姓撸⊿）和感染者（I）。通常用模型表示［2］：

其中a表示單位時間人口遷入數(shù)量，b表示人口自然死亡率，d表示感染者通過治療變成了易感者的變化率，其中βSI表示傳染病的傳然率，β是傳播系數(shù)。傳染率是傳染病中非常重要和不可缺少的因數(shù)，關(guān)于不同傳染率對傳染病模型的影響問題被許多數(shù)學(xué)專家研究分析。例如，文獻(xiàn)［3，4］中的傳染率表示為文獻(xiàn)［5］主要考慮的非線性傳染率為文獻(xiàn)［6］主要考慮這樣一個非線性傳染率等?？紤]模型的特點(diǎn)，采用的非線性傳染率為除了傳染率對傳染病的影響以外，另一個因數(shù)即種群遷移問題也是最近被大家廣泛討論的熱點(diǎn)問題。例如，文獻(xiàn)［2，7］主要考慮在兩個斑塊間的種群流動給傳染病帶來的影響。文獻(xiàn)［8］中考慮了n個斑塊間傳染率為的SIS傳染病模型。

基于以上兩點(diǎn)建立SIS傳染病模型：

其中α表示二個斑塊間的轉(zhuǎn)移率，其他字母意義與式（1）相同。由實(shí)際意義出發(fā)總是假設(shè)α，β，a，b，d非負(fù)為非線性傳染率［9］。

1 無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

主要討論模型（2）在無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定的充分條件。

定理1當(dāng)R0＜1時，系統(tǒng)（2）在無病平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定。

證系統(tǒng)（2）的雅可比矩陣

矩陣J（E0）對應(yīng)特征方程的特征根分別為

當(dāng)R0＜1時，λ1，λ2，λ3，λ4均為負(fù)根，系統(tǒng)（2）在無病平衡點(diǎn)E0處是漸近穩(wěn)定的。

2 地方平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理2若R0＞1時，地方病平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。

證將地方平衡點(diǎn)E*代入雅克比矩陣中則有

利用分塊矩陣的理論，則有

而且當(dāng)R0＞1時有

則跡tr（D＋B）＜0。下面討論在R0＞1時det（D＋B）正負(fù)情況。因此，跡tr（D＋B）＜0，det（D＋B）＞0，D＋B有兩個負(fù)實(shí)根。

當(dāng)R0＞1時

同理可證，跡tr（D－B）＜0，det（D－B）＞0。所以D－B的特征值有兩個負(fù)實(shí)數(shù)根。

綜上所述，在R0＞1時J（E*）的特征方程的所有特征根都是負(fù)實(shí)數(shù)，因此系統(tǒng)（2）在地方平衡點(diǎn)E*＝（S*，I*，S*，I*）處局部漸近穩(wěn)定。

［1］陸征一，王穩(wěn)地．生物數(shù)學(xué)前言［M］．北京：科學(xué)出版社，2008

［2］YASUHIRO T，XIAN N，JIN G．Global Dynamics of SIS Models with Transport-related［J］．Journal of Mathematical and Applications，2007（4）：1460-1471

［3］XU R，MA Z E．Global Stability of a Delayed SIR Epidemic Model with Nonlinear Incidence Rate and Time Delay［J］．Nonlinear Anal Realword Appl，2009，10（5）：3175-3189

［4］XU R，MA Z E．WANG Z P．Global Stability of a Delayed SIRS Epidemic Model with Saturation Incidence and Temporary Immunity［J］．Computers and Mathematics with Applications，2010，59（9）：3211-3221

［5］常紅果．幾類具有非線性傳染率的傳染病模型的研究［D］．陜西：陜西師范大學(xué)，2013

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［9］王倩倩，李寶麟．一類具有功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的定性分析［J］．重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012

Local Stability Analysis on an SIS Epidemic Model in Patches Environment

YANG Wen-chuan

（College of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 400047 China）

On the basis of bilinear transmission rates βSI and SIS epidemic model in regardless of population dispersal，this paper designs a more practical SIS epidemic model by improving and adding influential condition caused by population dispersal．Meeting certain conditions with reality on the existence of equilibrium，by the basic productive number R0and eigenvalue theory this paper find that if R0＜1，the disease-free equilibrium is local and asymptotically stable，while if R0＞1，the epidemic equilibrium is local and asymptotically stable．This model proposed enriches epidemic model types further．

SIS epidemic model；disease-free equilibrium；epidemic equilibrium；basic productive number

O192

A

1672－058X（2015）03－0021－04

10．16055／j．issn．1672－058X．2015．0003．005

2014－09－10；

2014－10－21．

楊文川（1988－），男，四川商陽人，碩士研究生，從事微分動力系統(tǒng)研究．