胡玉婷，李 東，張興鵬

（重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 401331）

參數(shù)未知的分數(shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制*

胡玉婷，李 東，張興鵬

（重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 401331）

針對一類參數(shù)未知的分數(shù)階混沌系統(tǒng)，基于分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，通過設(shè)計控制器和未知參數(shù)辨識規(guī)則，研究了混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制同步問題；并以分數(shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)為例進行了數(shù)值模擬，驗證了方法的可行性和有效性。

分數(shù)階參數(shù)未知自適應(yīng)追蹤控制與同步

混沌運動存在于自然界的各個領(lǐng)域中，是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種運動形式。混沌控制在生物學(xué)、流體力學(xué)、電力系統(tǒng)、保密通信等都有廣泛應(yīng)用。自1990年P(guān)ecora和Carroll［1］實現(xiàn)了初始條件不同的兩個混沌系統(tǒng)的同步以來，混沌同步受到了眾多學(xué)者的關(guān)注。人們提出了很多可以實現(xiàn)整數(shù)階混沌同步的方法，如線性和非線性反饋方法、驅(qū)動響應(yīng)法、自適應(yīng)控制方法、Backstepping方法、驅(qū)動參量法等［2－7］。分數(shù)階微積分的出現(xiàn)時間幾乎與整數(shù)階微積分相同，但由于分數(shù)階混沌系統(tǒng)理論的復(fù)雜性，其發(fā)展速度相對較緩慢。隨著自然界中分型和分維的現(xiàn)象被廣泛的指出，分數(shù)階微積分迅速成為研究熱點。由于分數(shù)階混沌系統(tǒng)在電力、保密通信等方面有著比整數(shù)階更為廣闊的應(yīng)用前景，引起了人們廣泛的興趣和深入的研究。文獻［8］將Backstepping方法拓展到分數(shù)階系統(tǒng)中并設(shè)計控制器實現(xiàn)了分數(shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的同步。文獻［9］基于滑模控制實現(xiàn)了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步。利用自適應(yīng)方法人們實現(xiàn)了分數(shù)階混沌Chen系統(tǒng)［10］、分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)［11］以及一類不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)和超混沌系統(tǒng)［12，13］的同步。由于混沌現(xiàn)象通常需要在特定的參數(shù)下才會表現(xiàn)，對于參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)近年來也有較多的研究，文獻［14］對一類具有未知參數(shù)的整數(shù)階混沌系統(tǒng)，提出了一種基于主動的Backstepping設(shè)計方法。文獻［11，15］分別實現(xiàn)了參數(shù)未知的分數(shù)階混沌系統(tǒng)和分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的同步。

對于階次小于1的分數(shù)階系統(tǒng)，胡建兵等［8］提出了分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理?；谠摾碚?，對一類參數(shù)未知的分數(shù)階混沌系統(tǒng)設(shè)計控制器和未知參數(shù)辨識規(guī)則，實現(xiàn)了系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制與同步。

1 追蹤控制分數(shù)階混沌系統(tǒng)

考慮了一類三維分數(shù)階混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為

其中x1，x2，x3是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，aij（i，j＝1，2，3）和bk（k＝1，2，3）是參數(shù)，分數(shù)階階次α的范圍為0＜α≤1。已有的很多混沌系統(tǒng)都是這種形式，例如Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lu系統(tǒng)、Qi系統(tǒng)和Newton-Leipnik系統(tǒng)等。

式（1）通?？杀硎緸?/p>

其中

當參數(shù)未知時，如何設(shè)計控制器和參數(shù)辨識規(guī)則使得分數(shù)階系統(tǒng)追蹤同步任意給定的參考信號y（t）＝［y1，y2，y3］T，也就是要使得成立，是現(xiàn)將要解決的問題。

文獻［8］通過研究分數(shù)階系統(tǒng)的問題，提出了一種判斷分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。

引理1對于分數(shù)階系統(tǒng)當分數(shù)階階次0＜q≤1時，如果存在正定矩陣P使函數(shù)恒成立，則系統(tǒng)變量X＝［x1，x2，…，xn］T漸進穩(wěn)定。

令分數(shù)階系統(tǒng)（1）的未知參數(shù)aij（i，j＝1，2，3）和bk（k＝1，2，3）的估計值分別為＾aij（i，j＝1，2，3）和＾bk（k＝1，2，3），則參數(shù)估計誤差為

于是

根據(jù)系統(tǒng)式（1）、（4）構(gòu)造新的受控分數(shù)階系統(tǒng)為

其中u1，u2，u3為控制器。定義分數(shù)階系統(tǒng)（5）與任意給定的參考信號y（t）＝［y1，y2，y3］T的追蹤同步誤差為e（t）＝x（t）－y（t），即：

定理如果選取的控制器為

和參數(shù)自適應(yīng)規(guī)則為

則分數(shù)階受控系統(tǒng)式（5）能追蹤任意給定的參考信號y（t），即

證明由式（3）及參數(shù)自適應(yīng)規(guī)則式（8）、（9）可得：

根據(jù)以上設(shè)計的控制器式（7），有：

根據(jù)引理1，選取正定矩陣P為單位矩陣E，則：

將式（10）、（11）、（12）代入式（13）得到：

2 分數(shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的同步及數(shù)值模擬

選取Newton-Leipnik系統(tǒng)進行數(shù)值模擬，驗證定理的有效性。

分數(shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)由方程表示：

在c＝－0．4，d＝0．175的情況下，當α∈［0．989，1）時處于混沌狀態(tài)，且具有雙重吸引子；當α∈（0．954 2，0．989 0）時仍然處于混沌狀態(tài)，但只有單吸引子［16］。

于是

對分數(shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)設(shè)計控制器u＝［u1，u2，u3］T，再將式（17）代入有：

仍然定義追蹤同步誤差為

根據(jù)定理，控制器可以選為

參數(shù)自適應(yīng)規(guī)則可以選為

那么

由式（18）、（19）、（20）得：

再根據(jù)式（22）、（23）有：

得到追蹤同步誤差漸進穩(wěn)定，完成了分數(shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤同步。

選取參考信號y（t）＝［0，0，0］T，其仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 分數(shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)追蹤控制到原點的同步誤差

3 結(jié) 論

基于分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，實現(xiàn)了一類參數(shù)未知的分數(shù)階混沌系統(tǒng)同給定信號的追蹤控制與同步。最后以分數(shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)為例，設(shè)計控制器和未知參數(shù)辨識規(guī)則，實現(xiàn)了分數(shù)階Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)的控制與同步問題并給出了數(shù)值仿真模擬。

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［4］單梁，李軍，王執(zhí)銓．參數(shù)不確定Liu混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步［J］．動力學(xué)與控制學(xué)報．2006（4）：338-343

［5］陳強，任雪梅，那靖．參數(shù)不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)Backstepping控制［J］．北京理工大學(xué)學(xué)報，2011（2）：158-162

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［9］曹鶴飛，張若洵．基于滑?？刂频姆謹?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步［J］．物理學(xué)報，2011（5）：127-131

［10］彭艷艷，李庶民，何書霞．參數(shù)經(jīng)局部擾動的分數(shù)階混沌Chen系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制與同步［J］．科學(xué)技術(shù)與工程，2011，27：6521-6524

［11］趙靈冬，胡建兵，劉旭輝．參數(shù)未知的分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制與同步［J］．物理學(xué)報，2010（4）：2305-2309

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［14］傅桂元，李鐘慎．一類參數(shù)未知混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制［J］．華僑大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010（2）：145-148

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Adaptive Tracking Control of Fractional Order Chaotic Systems with Unknown Parameters

HU Yuting，LI Dong，ZHANG Xingpeng
（College of Mathematics and Statistics，Chongqing University，Chongqing 401331，China）

Based on stability theory of fractional order system，focusing on a class of unknown fractional order chaotic systems，this paper studies adaptive tracking control and synchronization of chaotic systems by designing the controller and unknown parameter identification rules．With numerical simulation of fractional order such as Newton-Leipnik system，the results verifies the feasibility and validity of the method．

Fractional order；unknown parameters；adaptive；tracking control and synchronization

O103

A

1672－058X（2015）03－0001－07

10．16055／j．issn．1672－058X．2015．0003．001

2014－08－12；

2014－10－18．

國家自然科學(xué)基金（11202249）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金（CQDXWL－2013－002）資助的課題．

胡玉婷（1991－），女，安徽池州人，碩士研究生，從事微分方程與動力系統(tǒng)研究．