徐靜妹，葉慶衛(wèi)，王曉東，周宇

(寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江寧波315211)

斜拉索振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)線稀疏復(fù)原算法

徐靜妹，葉慶衛(wèi)，王曉東，周宇

(寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江寧波315211)

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法在故障診斷、信號(hào)去噪、趨勢(shì)預(yù)測(cè)和趨勢(shì)消除等很多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。信號(hào)包絡(luò)線提取是經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法的核心關(guān)鍵技術(shù)，直接影響分解結(jié)果的效果。目前在信號(hào)處理中常用的包絡(luò)分析法有Hilbert變換、廣義檢波濾波、三次樣條插值法和偏微分方程建模等，但是這些方法存在提取包絡(luò)線精度不高、端點(diǎn)效應(yīng)等不足，尤其是端點(diǎn)抖動(dòng)效應(yīng)導(dǎo)致很大的包絡(luò)線提取誤差。將信號(hào)的極值點(diǎn)看成是包絡(luò)線信號(hào)的某一變換域上稀疏采樣點(diǎn)，引入了稀疏優(yōu)化算法對(duì)這些極值點(diǎn)進(jìn)行包絡(luò)線的稀疏優(yōu)化復(fù)原。首先研究分析包絡(luò)線的平穩(wěn)變化特性，以此構(gòu)建變頻的DCT稀疏基;其次求解信號(hào)的極值點(diǎn)，以信號(hào)的極值點(diǎn)集用于稀疏優(yōu)化算法的觀測(cè)值;然后采用正交匹配追蹤算法進(jìn)行包絡(luò)線的稀疏復(fù)原求解;最后對(duì)實(shí)際斜拉索振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行算法測(cè)試和應(yīng)用，通過(guò)與三次樣條插值法進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明本算法不僅可以提高提取信號(hào)包絡(luò)線的精度，還可以有效的抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解;Hilbert變換;三次樣條插值;稀疏復(fù)原;端點(diǎn)效應(yīng)

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD)是由美籍華裔科學(xué)家Huang等提出的一種基于瞬時(shí)頻率的信號(hào)處理方法，它能夠克服傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換和小波分析等信號(hào)分析方法存在的局限，主要用于處理非穩(wěn)態(tài)、非線性的時(shí)變頻率信號(hào)［1］。EMD作為新提出的信號(hào)處理方法在故障診斷、信號(hào)去噪和趨勢(shì)預(yù)測(cè)和趨勢(shì)消除等很多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。而EMD算法的關(guān)鍵技術(shù)是包絡(luò)線的提取［2］。斜拉索作為斜拉橋和懸臂橋的主要受力構(gòu)件，振動(dòng)信號(hào)能實(shí)時(shí)反映出斜拉橋外界環(huán)境激勵(lì)及拉索荷載的變化。拉索具有質(zhì)量輕，結(jié)構(gòu)柔及阻尼低等特點(diǎn)，在外界激勵(lì)與支撐端運(yùn)動(dòng)作用下易產(chǎn)生大幅振動(dòng)，對(duì)斜拉索的安全性與耐久性構(gòu)成極大威脅［3－5］。采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法對(duì)斜拉索振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，可以實(shí)時(shí)對(duì)橋梁進(jìn)行故障檢測(cè)，為橋梁的安全使用提供保障［6］。

在信號(hào)處理中常用的包絡(luò)提取方法有:Hilbert變換、廣義檢波濾波和三次樣條插值法及其改進(jìn)算法等。但這些方法都存在不足。Hilbert變換法存在隨機(jī)噪聲，使得提取的包絡(luò)線精度不高;廣義檢波法要求必須知道包絡(luò)成分的頻率，而且?guī)в谢祛l效應(yīng);三次樣條插值法存在最棘手的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題［7］。

針對(duì)三次樣條插值法提取信號(hào)包絡(luò)線的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，目前已有學(xué)者提出了一些改進(jìn)算法。鄧擁軍等［8］提出用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行延拓的算法。該算法使用的是一種單層、單神經(jīng)元和線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。先由學(xué)習(xí)過(guò)程確定網(wǎng)絡(luò)模型的權(quán)重向量和偏移量，再由此模型對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行左右延拓。對(duì)于大多數(shù)信號(hào)數(shù)據(jù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓算法都可以很好地抑制端點(diǎn)效應(yīng)，該算法最大的不足就是速度太慢。趙進(jìn)平等［9］提出了鏡像延拓算法。該算法把原數(shù)據(jù)序列對(duì)稱地延拓成一個(gè)環(huán)形數(shù)據(jù)，再對(duì)環(huán)形數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，輸出各本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)分量。鏡像延拓算法是一種理想的算法，但是較占存儲(chǔ)空間，而且如趙進(jìn)平所說(shuō)，鏡像延拓一般要求把鏡面放在極值點(diǎn)處，當(dāng)無(wú)法確定一個(gè)數(shù)據(jù)序列的端點(diǎn)數(shù)據(jù)是否是極值點(diǎn)時(shí)，最好截去一部分?jǐn)?shù)據(jù)以便把鏡面放在極值點(diǎn)處。如果處理一個(gè)短數(shù)據(jù)，不適合截去時(shí)，處理效果就欠佳。

本文針對(duì)三次樣條插值存在的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，提出了基于稀疏復(fù)原提取信號(hào)包絡(luò)的算法。①根據(jù)包絡(luò)線的平穩(wěn)特性構(gòu)建變頻寬的稀疏基;②求解信號(hào)的極值點(diǎn)，以信號(hào)的極值點(diǎn)作為稀疏優(yōu)化算法的觀測(cè)值，然后采用正交匹配追蹤算法進(jìn)行稀疏復(fù)原求解信號(hào)的包絡(luò)線;③通過(guò)對(duì)實(shí)際提取的斜拉索振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，比較分析后，基于稀疏復(fù)原方法可以有效的克服Hilbert變換和三次樣條插值提取信號(hào)包絡(luò)中存在的問(wèn)題，即不僅可提高提取信號(hào)包絡(luò)線的精度，而且能有效的抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

1 信號(hào)包絡(luò)線求解基本原理

1.1 希爾伯特變換包絡(luò)檢波原理

將一段時(shí)間長(zhǎng)度的高頻信號(hào)的峰值點(diǎn)連線，就可以得到上方(正的)一條線和下方(負(fù)的)一條線，這兩

它的實(shí)質(zhì)是使信號(hào)產(chǎn)生90°的相移［11］，其中(t)為實(shí)信號(hào)x(t)的希爾伯特變換信號(hào)。

求解信號(hào)包絡(luò)線的原理就是讓測(cè)試信號(hào)產(chǎn)生一個(gè)90°的相移，從而與原信號(hào)構(gòu)成一個(gè)解析信號(hào)。求出它的幅值信號(hào)，此信號(hào)就構(gòu)成包絡(luò)。實(shí)信號(hào)x(t)經(jīng)希爾伯特變換得到信號(hào)(t)，二者構(gòu)成一解析函數(shù)式z(t)，可表示為

由此得到振動(dòng)信號(hào)的幅值信號(hào)為條線為包絡(luò)線。包絡(luò)線就是反映高頻信號(hào)幅度變化的曲線。對(duì)于等幅高頻信號(hào)，這兩條包絡(luò)線就是平行線。當(dāng)用一個(gè)低頻信號(hào)對(duì)一個(gè)高頻信號(hào)進(jìn)行幅度調(diào)制(即調(diào)幅)時(shí)，低頻信號(hào)就成了高頻信號(hào)的包絡(luò)線。這樣的信號(hào)稱為調(diào)幅信號(hào)。從調(diào)幅信號(hào)中將低頻信號(hào)解調(diào)的過(guò)程，稱為絡(luò)檢波，即包絡(luò)的求解過(guò)程［10］。

一個(gè)實(shí)信號(hào)x(t)的希爾伯特變換定義為

上述過(guò)程完成了對(duì)信號(hào)的解包絡(luò)分析。采用基于希爾伯特變換提取信號(hào)包絡(luò)譜的方法可以有效地提取調(diào)制頻率及具有一定的抗噪性。但是當(dāng)信號(hào)信噪比變小時(shí)，Hilbert變換法的包絡(luò)誤差會(huì)隨之增大。導(dǎo)致所提取的信號(hào)包絡(luò)不光滑，影響了包絡(luò)提取的精度。在實(shí)際中，包絡(luò)解調(diào)前必須選取一個(gè)沖擊激起的受環(huán)境干擾小的高頻振動(dòng)，并以其為中心頻率進(jìn)行窄帶濾波，然后再對(duì)濾波后的信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析。因此采用希爾伯特變換法提取信號(hào)包絡(luò)線只具有理論研究意義，對(duì)于實(shí)際信號(hào)并不實(shí)用。

1.2 三次樣條插值法求解信號(hào)包絡(luò)線的基本原理

在實(shí)際中，我們常用的信號(hào)包絡(luò)線的提取方法是三次樣條插值法。三次樣條插值法是根據(jù)信號(hào)的有限采樣點(diǎn)即插值節(jié)點(diǎn)以及信號(hào)的邊界條件求解信號(hào)的具體求解過(guò)程參照文獻(xiàn)［12］。利用三次樣條插值方法求解包絡(luò)線即分別以信號(hào)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)作為信號(hào)的上包絡(luò)線的插值節(jié)點(diǎn)和下包絡(luò)線的插值節(jié)點(diǎn)，通過(guò)求解相應(yīng)的插值函數(shù)擬合出信號(hào)的上、下包絡(luò)線。

用三次樣條插值擬合的信號(hào)包絡(luò)不僅有很好的光滑度，而且當(dāng)節(jié)點(diǎn)逐漸加密時(shí)，能夠很好的提高信號(hào)包絡(luò)提取的精度。EMD通過(guò)多次的篩選過(guò)程來(lái)逐個(gè)分解IMF。在每一次的篩選過(guò)程中，要根據(jù)信號(hào)的上、下包絡(luò)來(lái)計(jì)算信號(hào)的局部平均值;上、下包絡(luò)是由信號(hào)的局部極大值和極小值通過(guò)樣條插值算法給出。由于信號(hào)兩端不可能同時(shí)處于極大值和極小值，因此上、下包絡(luò)在數(shù)據(jù)序列的兩端不可避免地會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。以左端點(diǎn)為例，如果該點(diǎn)為極大值點(diǎn)，那么上包絡(luò)線可以把它作為左端終點(diǎn)，不會(huì)發(fā)生大幅度的擺動(dòng);對(duì)于下包絡(luò)線由于左端點(diǎn)不是極小值點(diǎn)，則無(wú)法確定它的左端終點(diǎn)，產(chǎn)生大幅度的擺動(dòng)，給篩選過(guò)程引入誤差，并且這種發(fā)散的結(jié)果會(huì)隨著篩選過(guò)程的不斷進(jìn)行逐漸向內(nèi)“污染”整個(gè)數(shù)據(jù)序列而使得所得結(jié)果嚴(yán)重失真，這也就是所謂的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題。圖1為利用樣條函數(shù)對(duì)一個(gè)序列計(jì)算上下包絡(luò)的實(shí)例，可以看出，利用三次樣條插值法所得到的上、下包絡(luò)線都出現(xiàn)了失真。

圖1 利用三次樣條插值法提取的一組信號(hào)包絡(luò)線Fig.1 The signal envelope extracting based on cubic spline interpolationmethod

2 基于稀疏復(fù)原的信號(hào)包絡(luò)線提取原理

2.1 采用變頻寬DCT基進(jìn)行稀疏復(fù)原的包絡(luò)線提取的原理

對(duì)原始信號(hào)x(t)求解其極大值點(diǎn)得到極大值點(diǎn)序列xa(t)，xa(t)=［xa1，xa2，xa3，…，xai，…，xaK］，其中xai為x(t)的第i個(gè)極大值點(diǎn)，1≤i≤K，K為極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。對(duì)原始信號(hào)x(t)求解其極小值點(diǎn)得到極小值點(diǎn)序列xb(t)，xb(t)=［xb1，xb2，xb3，…，xbi，…，xbL］，其中xbi為x(t)的第i個(gè)極小值點(diǎn)，1≤i≤L，L為極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

基于稀疏復(fù)原的方法求解信號(hào)包絡(luò)線的基本思想是把信號(hào)x(t)的上(或者下)包絡(luò)線看成是一條某一變換域下的稀疏信號(hào)，把信號(hào)的極大值點(diǎn)集xa(t)(或者極小值點(diǎn)序列xb(t))看成是經(jīng)過(guò)稀疏采樣后的點(diǎn)集。然后根據(jù)稀疏復(fù)原的方法擬合出極大(或者小)值點(diǎn)的曲線xs(t)。但是在稀疏復(fù)原的過(guò)程中由于稀疏基、觀測(cè)矩陣的不同會(huì)求出不同的曲線。因此可以根據(jù)包絡(luò)線平穩(wěn)變化的特性選擇合適的稀疏基，從而可以自適應(yīng)提取出最佳的信號(hào)包絡(luò)線xm(t)。

由于信號(hào)的包絡(luò)線結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，很難根據(jù)信號(hào)特征來(lái)構(gòu)建自適應(yīng)的稀疏字典，故采用通用的稀疏基來(lái)進(jìn)行稀疏復(fù)原。常用的稀疏基有DFT基、DCT基和小波基等，本文是根據(jù)信號(hào)包絡(luò)線的平穩(wěn)特性自適應(yīng)構(gòu)建變頻寬的離散余弦變換基(Discrete Cosine Transform，DCT)Ψ，定義變化因子m，構(gòu)建變頻寬的DCT基表達(dá)式為:

式(4)中:N為所構(gòu)建DCT基的維數(shù)，即原始信號(hào)x(t)的采樣點(diǎn)數(shù)，m為變換因子，主要用于改變DCT基的頻寬來(lái)構(gòu)建變頻寬的DCT基。利用不同的DCT基進(jìn)行稀疏復(fù)原獲得多條不同的曲線，從恢復(fù)的曲線中找出一條變化最平穩(wěn)的信號(hào)作為最佳包絡(luò)線，故本文提出的方法可以根據(jù)信號(hào)的特征自適應(yīng)地提取出信號(hào)的最佳包絡(luò)線。此處信號(hào)包絡(luò)線的平穩(wěn)特征是指在包含所有峰值點(diǎn)基礎(chǔ)上的平穩(wěn)變化。如果信號(hào)本身存在突變，那么突變峰值點(diǎn)也會(huì)包含在里面。

恢復(fù)信號(hào)的變化程度是通過(guò)恢復(fù)的信號(hào)的一階微分體現(xiàn)的。定義一個(gè)微分矩陣D，dij表示D的元素(i =1，2，3，…，(n－1)，j=1，2，3，…，n)，其中dij=1，di(j+1)=－1，矩陣D中的其他元素均為零。將已經(jīng)恢復(fù)的信號(hào)與微分矩陣相乘即可獲得信號(hào)的一階微分信號(hào)D(t)，最終提取的最佳包絡(luò)線即是從恢復(fù)的多個(gè)曲線中找出滿足D(t )最小的曲線，D(t)表示信號(hào)D(t)的2范數(shù)，本文定義D(t )為已恢復(fù)信號(hào)的平穩(wěn)度函數(shù)。綜上所述，可得到基于稀疏復(fù)原求解信號(hào)包絡(luò)線的數(shù)學(xué)模型為:

式中:H為感知矩陣，s為待求的稀疏解，yr為觀測(cè)值，即信號(hào)的極大值點(diǎn)序列xa(t)或者信號(hào)的極小值序列xb(t)，Ψ為稀疏基，本文使用的稀疏基是根據(jù)信號(hào)包絡(luò)線的平穩(wěn)特性自適應(yīng)構(gòu)建的變頻寬的DCT基，xs(t)即是恢復(fù)出的原始信號(hào)，即信號(hào)包絡(luò)線，根據(jù)不同頻寬的DCT獲得不同的信號(hào)包絡(luò)線，從中選擇最佳包絡(luò)線xm(t)。

但是上述表達(dá)式是個(gè)非凸問(wèn)題，很難求解，故需要簡(jiǎn)化模型，分步求解。即先利用稀疏復(fù)原方法求解以下模型:

式(6)使用稀疏優(yōu)化算法很容易求解，將求得的結(jié)果代入式(7)中即可提取出信號(hào)包絡(luò)線。然后通過(guò)改變變化因子m，從中恢復(fù)的曲線中找出一條使得最小的稀疏信號(hào)。

2.2 基于稀疏復(fù)原提取信號(hào)上包絡(luò)線的具體實(shí)現(xiàn)

首先求解信號(hào)x(t)的極大值點(diǎn)，獲得極大值點(diǎn)序列xa(t)，初始化變化因子m的值，令m=1，根據(jù)式(4)來(lái)構(gòu)建變頻寬的DCT基Ψ，以信號(hào)的極大值點(diǎn)序列xa(t)作為觀測(cè)序列，以Ψ作為稀疏基，采用OMP算法進(jìn)行稀疏復(fù)原，得到恢復(fù)曲線xs(t)，即信號(hào)的包絡(luò)線，根據(jù)式(5)求解xs(t)的一階微分Dm(t)，‖Dm(t)‖表示當(dāng)變頻寬DCT基的變化因子的值為m時(shí)恢復(fù)出曲線的平穩(wěn)度函數(shù)，根據(jù)m=m+1來(lái)更新變化因子m的值，比較不同變換因子所對(duì)應(yīng)‖Dm(t)‖的大小，從中找出使得‖Dm(t)‖最小的恢復(fù)信號(hào)xs(t)，即為所要求解的最佳上包絡(luò)線xm(t)。綜上所述。基于稀疏復(fù)原的信號(hào)上包絡(luò)線求解算法的流程圖見(jiàn)圖2，由于提取信號(hào)下包絡(luò)線的原理相同，在此不多做說(shuō)明。

圖2 基于稀疏復(fù)原的信號(hào)上包絡(luò)線求解算法的流程圖Fig.2 The flow chart on signal envelope algorithm based on sparse restoration

基于稀疏復(fù)原的信號(hào)包絡(luò)線求解算法的主要步驟是利用OMP算法對(duì)信號(hào)的極值點(diǎn)進(jìn)行稀疏復(fù)原［13］，OMP算法的具體過(guò)程見(jiàn)圖3。

圖3 正交匹配追蹤算法的流程圖Fig.3 The flow chart on Orthogonal Matching Pursuit algorithm

3 仿真實(shí)驗(yàn)以及結(jié)果分析

3.1 采用稀疏復(fù)原方法提取信號(hào)包絡(luò)線仿真結(jié)果

通常斜拉索振動(dòng)信號(hào)的兩個(gè)主模態(tài)頻率為0.8 Hz和3 Hz，故采用的仿真信號(hào)的主模態(tài)頻率f1=0.8 Hz，次模態(tài)頻率f2=3 Hz，所加的微弱干擾信號(hào)頻率f3= 10 Hz。

仿真信號(hào)采用的是一維雙模態(tài)信號(hào)x(t)，采樣點(diǎn)數(shù)為500個(gè)，信號(hào)取值范圍為［0，3］s，

利用稀疏復(fù)原方法對(duì)信號(hào)x(t)的極值點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合時(shí)，由實(shí)驗(yàn)可知，通過(guò)改變DCT基的頻頻寬度可以自適應(yīng)地找到一條符合包絡(luò)線緩慢變化特性的最佳擬合曲線，即可以找到一條變化程度最小的最佳包絡(luò)線。圖4表示基于稀疏復(fù)原與基于三次樣條插值方法提取出的信號(hào)上包絡(luò)線比較，橫軸表示的是時(shí)間，縱軸表示信號(hào)幅值，圖4中m是改變DCT基頻寬的變化因子(假設(shè)變化前DCT基頻寬為B，則變化后DCT基頻寬變?yōu)锽/m)，dd表示的是采用壓縮感知思想擬合出曲線的變化程度。由于包絡(luò)線具有變化緩慢的特性，因此dd越小越好。比較可得當(dāng)m=7時(shí)，dd的值最小。由圖4可知，基于疏復(fù)原提取的信號(hào)包絡(luò)線不僅能有效的抑制端點(diǎn)效應(yīng)，而且在信號(hào)的中間點(diǎn)擬合出的包絡(luò)線與三次樣條插值提取出的信號(hào)包絡(luò)線幾乎完全重合，由此可知本文提出的基于稀疏復(fù)原提取出的信號(hào)包絡(luò)線可以有效的抑制端點(diǎn)效應(yīng)。同理可以提取出信號(hào)下包絡(luò)線(見(jiàn)圖5)。

圖4 基于稀疏復(fù)原與基于三次樣條插值方法提取出的信號(hào)上包絡(luò)線比較Fig.4 The comparison chart on extracted the signal upper envelope based on sparse recovery and based on cubic spline interpolationmethod

圖5 基于稀疏復(fù)原與基于三次樣條插值方法提取出的信號(hào)包絡(luò)線比較Fig.5 The comparison chart on extracted the signal envelope based on sparse recovery and based on cubic spline interpolationmethod

3.2 基于稀疏復(fù)原提取信號(hào)包絡(luò)的抗噪性能分析

為分析本文提出算法的抗噪性能，本文對(duì)一維雙模態(tài)信號(hào)x0(t)加一高斯白噪聲n(t)，得到已加噪信號(hào)x1(t)。對(duì)已加噪信號(hào)x1(t)進(jìn)行仿真。由于通常斜拉索振動(dòng)信號(hào)的兩個(gè)主模態(tài)頻率為0.8 Hz和3 Hz，故為了說(shuō)明本文提出算法實(shí)際意義，信號(hào)的頻率采用主模態(tài)頻率為f1=0.8 Hz，次模態(tài)頻率為f2=3 Hz，所加的微弱干擾信號(hào)頻率f3=10 Hz。采樣點(diǎn)數(shù)為500個(gè)，信號(hào)取值范圍為［0，3］s

在MATLAB中利用awgn函數(shù)為信號(hào)x(t)添加高斯白噪聲，通過(guò)設(shè)定變量R的值來(lái)改變信號(hào)的信噪比。下面以提取加噪信號(hào)的上包絡(luò)線來(lái)分析基于稀疏復(fù)原提取信號(hào)包絡(luò)的抗噪性能(見(jiàn)圖6)，圖6(a)表示的是當(dāng)R=15，即信號(hào)的信噪比設(shè)置為15 dB時(shí)，基于稀疏復(fù)原與基于三次樣條插值方法提取出的信號(hào)上包絡(luò)線的比較，為了更清晰地體現(xiàn)本文提出算法抑制端點(diǎn)效應(yīng)的效果，對(duì)圖6(a)進(jìn)行局部放大，得到圖6(b)，由此圖分析可得，當(dāng)信噪比較大的情況下，基于稀疏復(fù)原提取信號(hào)包絡(luò)不僅精確的提取出信號(hào)包絡(luò)線，而且仍可以有效地抑制端點(diǎn)效應(yīng)。改變R的值，減小信號(hào)的信噪比為10 dB，如圖7所示，同樣圖7(b)為圖7(a)的局部放大圖，由圖7(b)可以清晰地觀察出，基于稀疏復(fù)原的方法仍可以有效的抑制端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，但是與大信噪比的信號(hào)相比，恢復(fù)出的信號(hào)包絡(luò)線的精度降低，因此采用稀疏復(fù)原的方法提取信號(hào)的包絡(luò)線的抗噪性能有待提高。

圖6 信噪比為15 dB時(shí)兩種方法提取已加噪信號(hào)上包絡(luò)線比較Fig.6 Thecomparison chart of twomethods of extraction the upper envelope of the signal added noise when SNR is 15 dB

圖7 信噪比為10 dB時(shí)兩種方法提取已加噪信號(hào)上包絡(luò)線比較Fig.7 Thecomparison chart of twomethods of extraction the upper envelope of the signal added noise when SNR is 10 dB

4 基于稀疏復(fù)原的信號(hào)包絡(luò)線提取在EMD算法中的應(yīng)用

用本文提出的算法對(duì)實(shí)際采集的振動(dòng)信號(hào)提取包絡(luò)線。工程數(shù)據(jù)采自寧波某斜拉索大橋，大橋全長(zhǎng)67 m，由102根徑長(zhǎng)為0.15 m拉索構(gòu)成拉索支撐系統(tǒng);采用WS－ZHT2振動(dòng)設(shè)備和雙傳感器采集振動(dòng)信號(hào)，雙傳感器安裝在拉索和梁端的鉸支部位，能有效感應(yīng)索－梁耦合的拉索振動(dòng)［14］(見(jiàn)圖8)。

圖8 傳感器安裝圖Fig.8 The picture of sensor installation

采用本文提出的算法對(duì)實(shí)際采集的斜拉索振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)線的提取，本實(shí)驗(yàn)仿真中采樣頻率fs=100 Hz，采樣時(shí)間是0～1 s，采樣1 024個(gè)點(diǎn)。仿真結(jié)果見(jiàn)圖9，此圖表示的是基于稀疏復(fù)原方法與三次樣條插值方法提取斜拉索振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)線的比較，圖中橫軸表示的是時(shí)間，縱軸表示的是信號(hào)的幅值。由圖9可知，在信號(hào)的非端點(diǎn)處采用本文提出的算法提取出的信號(hào)包絡(luò)線與基于三次樣條插值方法提取出的包絡(luò)線幾乎完全重合，在端點(diǎn)處明顯看出本文提出的算法能夠有效地克服三次樣條插值方法過(guò)程中存在的端點(diǎn)效應(yīng)，故本文提取出的算法提取的信號(hào)包絡(luò)線優(yōu)于三次樣條插值方法提取的信號(hào)包絡(luò)線，證明了本文提取出的算法的有效性。由此說(shuō)明本文提出的算法不僅能夠較精確地提取出斜拉索振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)線，而且可以有效地抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

圖9 基于稀疏復(fù)原方法與三次樣條插值方法提取斜拉索振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)線的比較Fig.9 The comparison chart on extracted the envelope of stay cable vibration signal based on sparse ecovery and based on cubic spline interpolationmethod

將本文提出的提取包絡(luò)線的方法應(yīng)用到EMD分解中，并且對(duì)實(shí)際采集的斜拉索振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行EMD分解，本實(shí)驗(yàn)仿真中采樣頻率fs=100 Hz，采樣時(shí)間是0～1 s，采樣512個(gè)點(diǎn)。仿真結(jié)果見(jiàn)圖10。圖10表示分別采用稀疏復(fù)原方法提取信號(hào)包絡(luò)線的EMD分解結(jié)果的比較，圖11表示采用三次樣條插值方法提取信號(hào)包絡(luò)線的EMD分解結(jié)果。兩圖中IMF1、IMF2和IMF3分別表示經(jīng)過(guò)EMD分解得到一階、二階和三階本征模態(tài)函數(shù)。比較分析知，采用本文提出的方法進(jìn)行斜拉索振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)線提取的EMD分解效果很好，能夠較好地抑制端點(diǎn)效應(yīng)，在高頻分量上差異還不是很明顯，由于包絡(luò)線的誤差不斷積累，在低頻分量上表現(xiàn)出了明顯的差異。從圖11可知，兩種方法得到的前兩個(gè)IMF分量差異不大，但是第三個(gè)分量表現(xiàn)出了明顯的不同，即采用本文提出的方法進(jìn)行信號(hào)包絡(luò)線提取的EMD得到的本征模態(tài)函數(shù)IMF的對(duì)稱性優(yōu)于采用三次樣條插值法提取包絡(luò)線的EMD分解所得結(jié)果，故說(shuō)明本文提出的方法可以有效地克服EMD分解過(guò)程中的端點(diǎn)效應(yīng)，從而提高了EMD分解的效果，因此本文提出的基于稀疏復(fù)原的信號(hào)包絡(luò)線的提取方法對(duì)于橋梁的故障檢測(cè)具有重要意義。

圖10 基于稀疏復(fù)原方法提取斜拉索振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)線的EMD分解結(jié)果Fig.10 EMD decomposition results based on sparse recovery extract the stay cable vibration signal envelope

圖11 基于三次樣條插值方法提取斜拉索振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)線的EMD分解結(jié)果Fig.11 EMD decomposition results based on cubic spline interpolation extract the stay cable vibration signal envelope

5 結(jié)論

本文提出了一種新的提取信號(hào)包絡(luò)線的方法，即基于稀疏復(fù)原提取信號(hào)包絡(luò)線，該方法根據(jù)信號(hào)包絡(luò)線的平穩(wěn)特性自適應(yīng)構(gòu)建變頻寬的DCT基，從而能夠根據(jù)自適應(yīng)地提取信號(hào)的最佳包絡(luò)線。與三次樣條插值法提取信號(hào)包絡(luò)線比較，由仿真結(jié)果可以得出本文提出的方法不僅可以提高信號(hào)包絡(luò)線的精度，而且可以有效的抑制端點(diǎn)效應(yīng)。基于稀疏復(fù)原提取信號(hào)包絡(luò)線的這一特性使其在EMD分解中可以得到廣泛的應(yīng)用。本文通過(guò)比較采用稀疏復(fù)原方法和三次樣條插值方法提取斜拉索振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)線的EMD分解結(jié)果，說(shuō)明了本文提出方法的有效性，從而證明了稀疏復(fù)原方法在橋梁故障檢測(cè)中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

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Envelope sparse recovery algorithm for stay cable vibration signals

XU Jing－mei，YE Qing－wei，WANG Xiao－dong，ZHOU Yu
(Information Science and Engineering College，Ningbo University，Ningbo 315211，China)

Empirical mode decomposition(EMD)has extensive applications in a lot of fields，such as，fault diagnosis，signal de－noising，trend prediction and trend elimination.The key of EMD technique is to extract the signal envelope，it directly affects the effects of decomposition results.Currentenvelope analysismethods in signal processing are Hilbert transformation，generalized detection and filtering，cubic spline interpolation and modeling of partial differential equations，etc.However，the disadvantages of these methods are the lower accuracy for envelope extraction and the end effects，etc，especially，the jitter effect of ends leads to a larger envelope extraction error.Here，the extreme points of a signal were regarded as spare sampling points of its envelope signal in a certain transformation domain，the sparse optimization algorithmswere introduced to do envelope sparse optimal recovery for these extreme points.Firstly，the steady change characteristics of the envelope were studied to construct a DCT sparse base with varying frequency;secondly，the extreme points of the signal were solved and the extreme points of the signal were taken as observation values for sparse optimization algorithms;then，the orthogonalmatching pursuit algorithm was used to do solving envelope sparse recovery.Finally，the actual stay cable vibration signals were employed for algorithm testing and applications.Through a comparative analysiswith the cubic spline interpolation method，the results showed that the proposed algorithm can not only improve the accuracy of extracting signal envelope but also can effectively inhibit the end effect.

empirical mode decomposition(EMD);Hilbert transformation;cubic spline interpolation;sparse recovery;end effect

TP391.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.033

國(guó)家自然科學(xué)基金(61071198);浙江省自然科學(xué)基金(LY13F010015);浙江省重點(diǎn)科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)子項(xiàng)目(421400250);浙江省重中之重學(xué)科開(kāi)放基金(xkx11417);寧波市自然科學(xué)基金(2012A610019)

2015－01－23修改稿收到日期:2015－05－25

徐靜妹女，碩士，1990年生

葉慶衛(wèi)男，副教授，1970年生