郭俊鋒，施建旭，雷春麗，魏興春

(蘭州理工大學機電工程學院，蘭州730050)

一種滾動軸承振動信號的數(shù)據(jù)壓縮采集方法

郭俊鋒，施建旭，雷春麗，魏興春

(蘭州理工大學機電工程學院，蘭州730050)

針對目前滾動軸承振動信號頻帶越來越寬，依據(jù)傳統(tǒng)香農(nóng)－內(nèi)奎斯特采樣定理進行數(shù)據(jù)采集時，將會得到巨量振動數(shù)據(jù)，對存儲、傳輸和處理帶來困難的問題，提出了一種滾動軸承振動信號的數(shù)據(jù)壓縮采集方法。首先分析了振動信號在正交字典傅里葉基上的近似稀疏性，即可壓縮性;然后融入振動信號在傅里葉基上稀疏性的結(jié)構(gòu)信息，得到其優(yōu)化的測量矩陣并進行壓縮測量;最后基于壓縮測量值采用正交匹配追蹤算法對原始振動信號進行重構(gòu)。通過仿真試驗，結(jié)果表明，該方法既可以得到較高的信號壓縮比又有著精確的信號重構(gòu)性能，在不丟失振動信息的情況下，大大減少了原始振動數(shù)據(jù)量。

滾動軸承;振動信號;壓縮測量;測量矩陣;正交字典

滾動軸承是機械、電力、石化、冶金、航空航天以及軍事工業(yè)重要的且最常用的零件之一，其工作狀態(tài)正常與否直接影響到設(shè)備的性能。滾動軸承振動信號蘊含著豐富的設(shè)備運行過程中的重要信息，檢測振動信號能夠了解和掌握機械設(shè)備在使用過程中的狀態(tài)，是提高設(shè)備運行的可靠性、安全性、有效性和管理水平的前提，也可以為設(shè)備結(jié)構(gòu)優(yōu)化、合理制造以及生產(chǎn)過程提供數(shù)據(jù)信息，因此，檢測振動信號具有重要的現(xiàn)實意義和經(jīng)濟價值。

傳統(tǒng)滾動軸承轉(zhuǎn)速較低，其振動信號頻帶也較窄，但是，隨著工業(yè)技術(shù)的飛速發(fā)展，機械設(shè)備日趨高速高效，而作為設(shè)備支撐件之一的滾動軸承，其轉(zhuǎn)速也越來越高，致使?jié)L動軸承振動信號的頻帶也越來越寬，依據(jù)傳統(tǒng)香農(nóng)－內(nèi)奎斯特采樣定理對滾動軸承振動信號進行檢測采樣將會得到巨量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的實時傳輸與同步存儲已成為亟待解決的成本與工程技術(shù)瓶頸問題，尤其在遠程設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測領(lǐng)域，這些巨量的采集數(shù)據(jù)對傳輸造成了巨大壓力［1］。

針對上述問題，提出了一種壓縮測量方法，該方法是建立在振動信號具有稀疏性的基礎(chǔ)上，其壓縮測量的每個振動數(shù)據(jù)均具有振動信號的全局性信息，其測量過程為，首先對振動信號進行稀疏分解;然后壓縮測量;最后在數(shù)據(jù)處理端，進行振動信號測量信息的重構(gòu)。這種方法經(jīng)過仿真試驗，在不損失振動信息的情況下，大大減少了數(shù)據(jù)量。

1 經(jīng)典的基于Shannon－Nyquist的振動信號數(shù)據(jù)采集壓縮分析

經(jīng)典的Shannon－Nyquist振動信號采集理論［2］，要求采集頻率高于振動信號最高頻率的2倍，對采集后的振動信號采用線性加權(quán)能實現(xiàn)原始振動信號的精確重構(gòu)。隨著振動信號頻帶的加寬，基于經(jīng)典的信號采集理論會得到巨量的振動數(shù)據(jù)，為了傳輸、存儲和后期處理的方便，將采集的振動信號數(shù)據(jù)進行傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)變換壓縮，這種采集后再壓縮信號的方法效率較低，經(jīng)典的振動信號采集理論是基于信號帶寬的，Nyquist采集率是恢復(fù)原始振動信號的充分條件并不是必要條件，如果利用振動信號的其他特性，可以降低采集率，提高效率，經(jīng)典采集理論具體過程見圖1。

圖1 經(jīng)典的振動信號采集壓縮原理Fig.1 The classic principle of vibration signal acquisition and compression

2 基于振動信號稀疏性的數(shù)據(jù)壓縮采集方法

振動信號的帶寬和稀疏性都是信號的先驗條件，基于振動信號帶寬的采樣會產(chǎn)生大量的振動數(shù)據(jù)，而基于信號的稀疏性，能夠?qū)崿F(xiàn)信號有用信息的高效獲取(見圖2)。

圖2 基于稀疏性的振動信號壓縮采集原理Fig.2 The acquisition and compression principle of basing on vibration signal's sparsity

2.1 振動信號的稀疏性分析

信號在稀疏變換域上只有k個非零元素屬于絕對稀疏的情況，一般情況下信號不一定滿足絕對稀疏的要求，但是信號的稀疏變換系數(shù)經(jīng)過指數(shù)排列衰減趨于零時，信號可以認為是近似稀疏表示的信號［3－4］，即可壓縮信號。滾動軸承振動信號中包含了多種余弦信號和沖擊衰減信號，其頻譜相對于時域原始振動信號是理想的近似稀疏信號。

滾動軸承振動信號的整體特征一般可用其工頻及其主要倍頻和分頻來表征［5］，且當軸承發(fā)生故障時還會出現(xiàn)調(diào)幅振動和沖擊振動，建立軸承外圈振動信號模型:

以軸承型號6205－2RS為例，取其內(nèi)徑d1、外徑d2、滾動體直徑d3、接觸角β和個數(shù)z分別25 mm、52 mm、7.9 mm、0.67 rad和9，轉(zhuǎn)頻fr=30 Hz，采樣頻率fs=1 024 Hz，則根據(jù)外圈故障頻率的計算公式:

得到其外圈故障頻率fo=104.03 Hz，設(shè)外圈發(fā)生故障時激發(fā)的載波頻率fc=3 000 Hz。m=3，n=5，Ari(i=1，2，3)、Aoj(j=1，2，3，4，5)和AⅠ分別為0.1、0.2、0.3、0.3、0.4、0.33、0.2、0.1、0.38，φri(i=1，2，3)、φoj(j=1，2，3，4，5)和φⅠ分別為0、3、2.5、0、2、6、4、4.5、3.3，衰減系數(shù)α為800。則軸承6205－2RS的外圈振動信號模型具體化為:

前三項為軸承的3次諧波振動，四至八項為軸承外圈發(fā)生故障時的5次諧波振動，最后一項為軸承外圈發(fā)生故障時產(chǎn)生的沖擊衰減振動。

振動信號的時域波形(見圖3(a))，傅里葉變換后得到的系數(shù)(見圖3(b))。從圖3(b)和表1可知，大部分DFT系數(shù)是小系數(shù)，只有小部分系數(shù)數(shù)值較大，將DFT系數(shù)的絕對值從大到小排序后的結(jié)果(見圖3(c))，排序后的系數(shù)以指數(shù)方式衰減且趨于零，這說明了滾動軸承振動信號在傅里葉基上是近似稀疏的。

2.2 振動信號的測量矩陣設(shè)計

測量矩陣是得到原始振動信號測量值及其重構(gòu)的關(guān)鍵，其性能直接影響著振動信號的壓縮測量能否成功實現(xiàn)。融入振動信號在正交字典傅里葉基上稀疏性的結(jié)構(gòu)信息到測量矩陣的設(shè)計中，得到其最優(yōu)的測量矩陣能夠顯著提升壓縮測量性能。

2.2.1 振動信號的壓縮測量性能分析

設(shè)f∈Rn是一個原始振動信號，在正交變換傅里葉基Ψ∈Rn×n上具有很好的稀疏性，這是由振動信號的結(jié)構(gòu)信息決定的，即，用一個測量矩陣Φ∈Rm×n(m∩n)將原始振動信號f∈Rn投影到低維空間Rm中的一個測量向量y∈Rm，如果已知Ψ，Φ和y就可以利用重構(gòu)算法高概率地重構(gòu)出原始振動信號x，即求解如下的最優(yōu)化問題:

D=ΦΨ記為感知矩陣，D必須滿足零空間特性(NSP)，即D的零空間中不能包含稀疏度為2k的振動信號，才能重構(gòu)稀疏度為k的兩個不同的振動信號。但是，要驗證一個矩陣是否滿足NSP是一個NP難題，為了尋求更容易操作的條件，因此，產(chǎn)生了很多等價形式，其中最著名的理論之一是Spark理論［6］，當且僅當Spark(D)＞2k時，能從某一測量值中最多恢復(fù)一個與其對應(yīng)的某一原始振動信號，然而，NSP和Spark都沒有考慮測量值中含有噪聲的情況，Tao等［7］提出了約束等距特性(RIP)。要驗證和設(shè)計出的矩陣D滿足NSP、Spark和RIP其中的一個，都是一個NP難題，為了避開NP難題，Tropp等［8］提出了矩陣D的相干性。近年來相關(guān)領(lǐng)域研究表明，互相干系數(shù)影響著重構(gòu)效果和測量值的數(shù)目，互相干系數(shù)越小，重構(gòu)信號時需要的測量值數(shù)目越少，信號適應(yīng)的稀疏度范圍越大，因此，通過減少測量矩陣與稀疏變換基之間的互相干系數(shù)能夠提高重構(gòu)性能，即使得感知矩陣D=ΦΨ有很小的列向量互相干系數(shù)μ，即

式中:di和(i=1，2，…，n)分別表示感知矩陣D和其經(jīng)過列單位化得到的D的列向量。設(shè)

式中:G稱為壓縮感知矩陣D的Gram矩陣，互相干系數(shù)可以等價定義為矩陣中非對角線元素的最大值，即

表1 傅里葉系數(shù)分布Tab.1 Fourier coefficients distribution

互相干系數(shù)度量了壓縮感知矩陣D的列向量之間的最大相關(guān)性，并且在重構(gòu)算法里起著重要的作用，理論證明μ需要盡可能小。

從上面的分析可知，處理振動信號時，尋找到與傅里葉稀疏變換基相干性最優(yōu)測量矩陣，可以提高壓縮測量性能。

2.2.2 振動信號在傅里葉基上的最優(yōu)測量矩陣設(shè)計

根據(jù)最優(yōu)測量理論，其設(shè)計過程是:已知傅里葉基Ψ、初始測量矩陣、閾值t和尺度下降因子γ，得到使得μt{D=ΦΨ}最小的矩陣Φ∈Rm×n作為測量矩陣，稱此時的Φ為傅里葉稀疏變換基對應(yīng)的最優(yōu)測量矩陣。

基于最優(yōu)測量矩陣構(gòu)造算法［11］，得到振動信號的最優(yōu)測量矩陣如下:

輸入?yún)?shù):傅里葉稀疏變換基ΨDFT∈Cn×n，測量矩陣Φ∈Rm×n的初始值Φ0為一個任意的高斯隨機矩陣或托普利茲矩陣，令壓縮感知矩陣D=ΦΨ，t表示閾值，γ表示尺度下降因子(0＜γ＜1)，m表示測量次數(shù)，Iter表示迭代次數(shù)，循環(huán)變量k，初始值k=0。

具體步驟:

步驟1根據(jù)振動信號在傅里葉基上的稀疏性，確定測量矩陣Φ的行數(shù)

步驟2計算感知矩陣D=ΦΨ

步驟5根據(jù)閾值t更新Gk，按如下關(guān)系得到矩陣

步驟7求解Dk，Dk是m×n矩陣，G^k=DD k，通過感知矩陣得到經(jīng)過一次迭代的振動信號優(yōu)化測量矩陣

步驟9 k=k+1，直到k=Iter，循環(huán)結(jié)束

輸出:ΨDFT對應(yīng)的最優(yōu)測量矩陣ΦDFT

整個流程見圖4。

在上面的具體步驟中，初始測量矩陣與傅里葉稀疏變換基作乘積得到感知矩陣，對感知矩陣進行處理，最后再通過感知矩陣求得優(yōu)化的測量矩陣，這樣就把振動信號在傅里葉基上的稀疏性結(jié)構(gòu)信息融入到了測量矩陣的設(shè)計中，并最終得到振動信號在傅里葉基上對應(yīng)的最優(yōu)測量矩陣。

圖4 振動信號的最優(yōu)測量矩陣構(gòu)造流程圖Fig.4 A flow chart of constructing optimal measurementmatrix of vibration signal

3 仿真試驗

試驗對象為軸承型號6025－2RS，該軸承外圈振動信號模型為式(3)，信號長度為512×1的向量，稀疏變換基為512×512的傅里葉正交變換矩陣，測量矩陣為高斯隨機矩陣、托普利茲矩陣以及融入振動信號得到的最優(yōu)測量矩陣，根據(jù)壓縮測量重構(gòu)條件，測量值數(shù)目m至少是兩倍的稀疏度k，即m≥2k，經(jīng)過振動信號的稀疏性分析以后，稀疏度k=134，因此重構(gòu)需要的測量值數(shù)最小為268，為進行驗證，仿真試驗測量值數(shù)目分兩段選取，一段取為＜268的測量值數(shù)，即250和260，另一段取≥268的測量值數(shù)，即268，270，272，…，296序列，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤算法OMP。

仿真試驗從兩方面分析了振動信號的壓縮測量性能，即重構(gòu)效果和壓縮比。

從重構(gòu)效果來看，圖5、圖6和表2表明相對誤差隨測量值數(shù)的整體發(fā)展趨勢，高斯隨機測量矩陣在優(yōu)化前后都能精確重構(gòu)原始振動信號，而托普利茲矩陣在優(yōu)化之前不能重構(gòu)原始振動信號，在優(yōu)化以后能精確重構(gòu)振動信號，具體的測量值數(shù)目和對應(yīng)的相對誤差(見表2)，當m＜268時，相對誤差很大，m=268時，相對誤差就急劇減小，達到近似精確重構(gòu)，而m＞268時，相對誤差會逐漸減少但變化非常小且測量值數(shù)目增多帶來計算量增大，仿真試驗進一步驗證了壓縮測量重構(gòu)條件，最終從相對誤差和計算量兩方面綜合考慮得到最優(yōu)的測量值數(shù)目是268，總之，優(yōu)化測量矩陣的性能明顯高于未優(yōu)化測量矩陣，得到最優(yōu)適合振動信號的測量矩陣。

圖5 高斯隨機矩陣優(yōu)化前后，相對誤差是測量數(shù)目的函數(shù)Fig.5 Relative errors as a function of the numbers of measurements，with Gauss random matrix and optimized matrix

圖6 托普利茲矩陣優(yōu)化前后，相對誤差是測量數(shù)目的函數(shù)Fig.6 Relative errors as a function of the numbers of measurements，with Toeplitzmatrix and optimized matrix

表2 相對誤差Tab.2 Relative errors

從壓縮比來看，測量值數(shù)目與原始振動信號數(shù)據(jù)量之比為0.523 4～0.578 1，有較高的振動信號壓縮比，并且能通過壓縮測量值近似精確重構(gòu)出原始振動信號，仿真試驗僅采用了較少的數(shù)據(jù)量，當隨著數(shù)據(jù)量的劇增，形成巨量數(shù)據(jù)，提出的振動信號壓縮采集方法能有效減少原始數(shù)據(jù)量且不會丟失振動信息。

進一步分析未優(yōu)化測量矩陣和優(yōu)化測量矩陣對振動信號的壓縮測量性能可知，高斯隨機矩陣在優(yōu)化前后都能夠精確重構(gòu)出原始振動信號，但是，經(jīng)過優(yōu)化的高斯隨機測量矩陣性能明顯高于未優(yōu)化的，尤其是在測量值數(shù)目較少的情況下，其重構(gòu)誤差更小，這是因為高斯隨機測量矩陣與正交稀疏變換基不相干，經(jīng)過最優(yōu)測量算法優(yōu)化以后，性能會進一步提升;托普利茲矩陣是確定性測量矩陣，未優(yōu)化之前，其對傅里葉稀疏變換基的相關(guān)程度較大，因此，用于壓縮測量處理振動信號時，不能重構(gòu)出原始振動信號，而融入振動信號的結(jié)構(gòu)信息經(jīng)過優(yōu)化以后，使其對傅里葉稀疏變換基的相關(guān)程度大大減少，能夠近似精確重構(gòu)出原始振動信號。因此，最優(yōu)測量矩陣算法能夠得到滾動軸承振動信號在傅里葉基上的最優(yōu)測量矩陣，達到了明顯改善振動信號壓縮測量性能的目的，是一種全新的振動信號壓縮采集方法。

在相同的試驗條件下，采用經(jīng)典的振動信號采集壓縮方法進行仿真試驗，并對信號的重構(gòu)質(zhì)量進行了比較，圖7和圖8分別給出了經(jīng)典的振動信號采集壓縮重構(gòu)結(jié)果和基于振動信號稀疏性的壓縮采集重構(gòu)結(jié)果。

圖7 經(jīng)典的振動信號采集壓縮重構(gòu)結(jié)果Fig.7 Vibration signal reconstruction results of classic acquisition and compression

從圖7、圖8和表3對比分析可知，基于振動信號稀疏性的壓縮采集，對信號整體的測量保留了信號的有用信息，是對振動信號的全局測量，在測量值數(shù)量大于振動信號精確重構(gòu)需要的最小值時，如果在傳輸或存儲發(fā)生意外而丟失了個別測量也不會影響振動信號的精確重構(gòu)，因此在重構(gòu)過程中有更高的重構(gòu)精度。

經(jīng)過以上的仿真試驗分析，滾動軸承振動信號的壓縮采集方法能夠有效解決巨量振動數(shù)據(jù)，對存儲、傳輸和處理帶來困難的問題。

表3 重構(gòu)誤差Tab.3 Reconstruction errors

圖8 基于振動信號稀疏性的壓縮采集重構(gòu)結(jié)果Fig.8 Vibration signal reconstruction results of basing on sparsity compression and acquisition

4 結(jié)論

針對巨量的振動數(shù)據(jù)，對存儲、傳輸和處理帶來困難的問題，提出了一種振動信號的數(shù)據(jù)壓縮采集方法，通過試驗分析了振動信號在傅里葉基上的稀疏性，融入振動信號在傅里葉基上稀疏性的結(jié)構(gòu)信息到其測量矩陣的設(shè)計中，得到適合振動信號的測量矩陣并進行壓縮采集，在不丟失振動信號信息的情況下，大大減少了原始振動數(shù)據(jù)量。壓縮測量值可以重構(gòu)原始振動信號，進行傳統(tǒng)的處理分析，也可以直接從壓縮測量值中提取信息。

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Data com pression method for collecting rolling bearing vibration signals

GUO Jun－feng，SHIJian－xu，LEIChun－li，WEIXing－chun
(School of Mechanical and Electronic Engineering，Lanzhou University of Technology，Lanzhou 730050，China)

Aiming at that frequency band of rolling bearing vibration signals is getting wider，with the traditional Shannon－Nyquist sampling theorem for data collection，a huge amount of data will be obtained to cause difficulties of storage，transmission and processing，a data compression and acquisition method was proposed here.Firstly，the sparsity or compressibility of vibration signals based on Fourier bases in the orthogonal dictionary was analysed，then the sparse structure information of vibration signalswasmixed into the design of themeasurementmatrix，the optimizedmeasurement matrix was gained and the compression measurement was done.Finally，based on the compression measurements，the orthogonalmatching pursuit algorithm was used to reconstruct the original vibration signals.Through simulation tests，the results showed that the proposed method can get a higher signal compression ratio and have a precise signal reconstruction performance;in the condition without losing vibration information，the data amount of the original vibration can be reduced greatly.

rolling bearing;vibration signal;compressed sensing;measurementmatrix;orth－ogonal dictionary

TH17

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.002

國家自然科學基金資助項目(51465034，51465035)

2014－09－22修改稿收到日期:2014－11－28

郭俊鋒男，博士，副教授，1978年生

施建旭男，碩士生，1989年生