☉江蘇省蘇州高新區(qū)教研室 陳勇☉江蘇省蘇州實驗中學(xué) 丁益民

解題活動中表征系統(tǒng)的建構(gòu)與分析

☉江蘇省蘇州高新區(qū)教研室 陳勇
☉江蘇省蘇州實驗中學(xué) 丁益民

從數(shù)學(xué)解題信息論來看，數(shù)學(xué)解題的過程就是通過對信息的合適表征，與記憶儲存中的相關(guān)定理、公式及其推理過程、基本模式（模型）等依據(jù)進(jìn)行同化順應(yīng)的心理活動.在解題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)合適的表征系統(tǒng)，并針對性地對解題中產(chǎn)生的思維障礙和心理活動進(jìn)行合適調(diào)控與指導(dǎo).

一、通過系統(tǒng)建構(gòu)與分析，突破表征受阻

正確表征已有信息是問題順利解決的關(guān)鍵，很大程度上取決于學(xué)生是否真正表征清楚每個信息及信息間的關(guān)系.因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生審讀問題中的信息，并對已有信息進(jìn)行歸類梳理，形成表征系統(tǒng)，這樣不僅可以迅速幫助學(xué)生分析出信息的屬性、呈現(xiàn)形式、知識內(nèi)涵等，而且在學(xué)生信息表征受阻時，還可借助表征系統(tǒng)中其他容易表征的經(jīng)驗進(jìn)行“借鑒”式心理活動.

讀題后容易建立信息表征系統(tǒng)：

系統(tǒng)分析：從屬性上看，信息1-4屬于并列式信息，與信息1和2相比而言，信息3和4由于抽象性較強學(xué)生很可能會出現(xiàn)表征受阻，但從表征系統(tǒng)中可知信息陳述方式一致，因此可從信息1和2的表征經(jīng)驗中尋求理解“通道”——將抽象的符號語言翻譯成易接受、可操作的自然語言.

信息1表征：f（x）為奇函數(shù)→f（-x）=-f（x）→橫坐標(biāo)的關(guān)系是互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)的關(guān)系也是互為相反數(shù)；

信息2表征：x1≤x2時，f（x1）≤f（x2）→橫坐標(biāo)增大，縱坐標(biāo)也增大→f（x）在［-1，1］上單調(diào)遞增.

從中獲取的表征經(jīng)驗是：將符號語言分橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)翻譯成熟悉的數(shù)學(xué)語言.由此指導(dǎo)信息3和4的表征.

信息4表征：f（x）=1-f（1-x）?f（x）+f（1-x）=1→橫坐標(biāo)之和為1，縱坐標(biāo)之和也為1→函數(shù)圖像關(guān)于對稱.

可見，通過建構(gòu)表征系統(tǒng)能清晰地梳理出信息的表達(dá)形式，若能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)信息間“一致”的特征，通過已有表征經(jīng)驗指導(dǎo)相對生疏信息的表征，可以使得難理解的信息逐步明朗化，進(jìn)而推動解題活動的開展.

二、通過系統(tǒng)建構(gòu)與分析，確定核心信息

數(shù)學(xué)題中的信息一開始以零散狀態(tài)出現(xiàn)在條件與結(jié)論中，并且信息之間也有側(cè)重之分，如果以非核心信息為思維起點，那么學(xué)生的思維就容易走偏.為了避開干擾信息影響思維方向，通過建構(gòu)表征系統(tǒng)，可引導(dǎo)學(xué)生從中提取出核心信息，并以此為活動中心，聚攏所有信息，逐步把握問題的實質(zhì)，最終形成條件與目標(biāo)之間的思維通道.

通過信息系統(tǒng)的建構(gòu)，對所有信息進(jìn)行分析，并確定出核心信息.

信息1：定點A（a，a）——盡管信息中出現(xiàn)了目標(biāo)“a”，但這一信息對整個問題起不到固著支配的作用，處于獨立的位置，故不能作為核心信息；

夏季的廬山很熱鬧。合面街是最繁華的商業(yè)街，從合面街到河南路口是單面街。河南路口對面，現(xiàn)在的振豪超市，原是赫赫有名的胡金芳大旅社，門面后背的一大片房屋也屬于它。觀光客多選擇在這里住，臨街近，方便。當(dāng)年的胡金芳大旅社聲名遠(yuǎn)播，生意遠(yuǎn)勝于仙巖飯店。

通過分析可以看出，表征系統(tǒng)的建構(gòu)，為核心信息的確定提供了保證，將減少因信息過多造成的信息干擾，對準(zhǔn)確表征信息的主要特征，有效縮短思維長度，優(yōu)化思維品質(zhì)，起到了積極推進(jìn)的作用.

三、通過系統(tǒng)的建構(gòu)與分析，形成思維走向

我們知道，一旦數(shù)學(xué)問題中信息較多時，則易產(chǎn)生干擾交錯的現(xiàn)象，很多學(xué)生常常因此出現(xiàn)思維混亂，解答中斷.通過建構(gòu)表征系統(tǒng)，可以理順信息間的邏輯關(guān)系和因果聯(lián)系，進(jìn)而幫助學(xué)生形成清晰的思維走向.

例3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1、F2分別是橢圓=1（a＞b＞0）的左、右焦點，頂點B的坐標(biāo)為（0，b），連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C.若F1C⊥AB，求橢圓的離心率e的值.

圖1

邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的建立如下所示.對象分析：點F1、F2、A、B、C.

對象間的關(guān)系：按照信息出現(xiàn)的先后順序、生成地位、位置關(guān)系，可將其建構(gòu)成如圖2所示的表征系統(tǒng)：

——生成關(guān)系：點A是由直線BF2與橢圓相交而得，點C是由過點F1的直線與橢圓相交而得；

圖2

——地位關(guān)系：F1、F2與A、C都具有對稱性，它們具有同等地位；

——位置關(guān)系：直線BF2與直線CF1垂直，直線AC垂直于x軸.

求解目標(biāo)：求離心率，本質(zhì)是建立關(guān)于a、b、c的齊次方程.

從邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中可見：通過不同關(guān)系可以生成不同的思維途徑，形成不同的思維走向，并且可以進(jìn)行思維的評估.

思維走向1：以生成關(guān)系為起點

不難看出，通過建構(gòu)表征系統(tǒng)，不僅錯綜復(fù)雜的信息交叉關(guān)系被理順，而且還可按照不同的起點形成相應(yīng)的思維方向.

在解題教學(xué)中，教師若能放慢節(jié)奏，多引導(dǎo)學(xué)生深入到問題內(nèi)部，帶領(lǐng)他們建構(gòu)恰當(dāng)?shù)男畔⒈碚飨到y(tǒng)，通過細(xì)致深入的分析，將有效地提高學(xué)生的信息表征能力.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.