☉甘肅省天水市第一中學(xué) 宮前長

設(shè)計(jì)合理“亮”思維追求高效“啟”智慧
——記“線面平行”（第一課）教學(xué)的思維歷程及教學(xué)取向

☉甘肅省天水市第一中學(xué) 宮前長

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)2》（人教A版）第二章第二節(jié)“直線、平面平行的判定及其性質(zhì)”，只要認(rèn)真讀懂教材內(nèi)容所蘊(yùn)含的空間位置關(guān)系“平行”的核心概念，就會體現(xiàn)“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—度量計(jì)算”的認(rèn)識過程，強(qiáng)化學(xué)生線面平行的基本性質(zhì)及判定方法的數(shù)學(xué)探索活動，讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握、領(lǐng)悟線面平行的基本數(shù)學(xué)模式及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，在研讀教材中形成高效教學(xué).

一、提出問題

“直線與平面平行的判定及其性質(zhì)”是“直線、平面平行的判定及其性質(zhì)”第1課時(shí)，線面平行作為一種特殊的位置關(guān)系，是反映自然規(guī)律的一種基本的數(shù)學(xué)模型.新課標(biāo)要求以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力為主要目標(biāo)，加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生通過自己的觀察、操作等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，把合情推理作為學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)重要的推理方式.因此，如何進(jìn)行準(zhǔn)確定位、把握“直線與平面平行的判定及其性質(zhì)”第一課的教學(xué)就顯得特別重要.

二、研讀教材，理清編排

1.理清教材思路

對教材《數(shù)學(xué)2》（人教A版）第二章第二節(jié)認(rèn)真研讀之后，教學(xué)設(shè)計(jì)明確重視“線面平行”的證明方法：通過直線間的平行來推證直線與平面平行，即將直線與平面的平行關(guān)系（空間問題）轉(zhuǎn)化為直線間的平行關(guān)系（平面問題），再將證明線面平行的問題化歸成數(shù)學(xué)模式（對教材的深挖掘）.

教材根據(jù)“認(rèn)識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直覺、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、空間想象能力與一定的推理論證能力”，有意安排一個(gè)“觀察”欄目，目的就是給學(xué)生直觀感知，后面又給出“思考”“探究”等欄目，以問題引導(dǎo)學(xué)生的思維活動，同時(shí)教材也給出了直線與平面平行的具體方法：要證明一條直線與一個(gè)平面平行，只要在這個(gè)平面內(nèi)找出一條直線與已知直線平行，就可以斷定已知直線與這個(gè)平面平行.在教學(xué)時(shí)，不能忽視這一些微妙變化的編排，應(yīng)該給予重視，讓學(xué)生對直線與平面平行判定問題有一個(gè)深刻的認(rèn)識和理解，才能更好地體悟到教材的編排思路.

教材通過引導(dǎo)學(xué)生觀察門扇的對邊互相平行，進(jìn)一步得出門扇無論轉(zhuǎn)動到什么位置，它能活動的豎直的一邊始終平行于固定邊所在的墻面，以及通過引導(dǎo)學(xué)生觀察書的邊緣與書面的位置關(guān)系，再提出兩個(gè)探究性問題的編排和呈現(xiàn)方式，對線面平行的本質(zhì)有了清晰的認(rèn)識和把握，體會證明線面平行的思維策略，為后續(xù)立體幾何的研究做好鋪墊.

2.確定教學(xué)重點(diǎn)

認(rèn)真研究了新課標(biāo)，揣摩新課程教材在內(nèi)容上分層次設(shè)計(jì)進(jìn)行編排的特點(diǎn)，解決立體幾何問題的重要思想方法是化歸思想，即將直線與平面平行問題化歸為直線與直線平行問題，再由直線與直線平行問題來判定直線與平面平行.充分體現(xiàn)了平行的基本特征是無公共點(diǎn)，抓住了這一點(diǎn)，空間平行問題就會迎刃而解.

集體備課時(shí)，教師對這部分內(nèi)容的處理意見不統(tǒng)一，一部分教師按照大綱教材強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)性，將直線與平面平行判定及其性質(zhì)作為1個(gè)課時(shí)；一部分教師按照新教材編排，將直線與平面、平面與平面平行判定作為1個(gè)課時(shí)來處理.這兩種處理教材的方式都是合情合理的，不分孰輕孰重，都能體現(xiàn)教材編排的“螺旋式上升”的思想，也符合學(xué)生在認(rèn)知上“循序漸進(jìn)”的規(guī)律.因此，教學(xué)重點(diǎn)可以確定是直線與平面平行的判定，具體是線面平行的證明，讓學(xué)生領(lǐng)悟線面平行證明的思路和策略是這一節(jié)課的關(guān)鍵.

3.關(guān)注理解“無限”

平行的基本特征是“無限”，如何在課堂中，讓學(xué)生關(guān)注并理解“有限”來承載、傳達(dá)、表示“無限”是教學(xué)的難點(diǎn).線面平行的定義明確給出線面平行的判定方法，但實(shí)際操作不方便，采用什么樣的方式才能說明直線與平面之間沒有公共點(diǎn).大家知道，直線、平面上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，要說明直線上的點(diǎn)與平面上的點(diǎn)之間沒有重合的點(diǎn)，確實(shí)不容易.即直線與平面平行，就是說直線上的點(diǎn)都不在這個(gè)平面上，其中最難解決的是“無限”問題，根據(jù)哲學(xué)觀點(diǎn)，無限與有限對應(yīng)，可以從有限入手來尋找解決直線與平面平行的思維策略.這種處理“無限”問題的策略在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中多次出現(xiàn)，只是沒有單獨(dú)提出來而已.

三、整體把握，剖析目標(biāo)

筆者查閱教師教學(xué)用書，書中表明用3個(gè)課時(shí)完成“直線、平面平行的判定及其性質(zhì)”的教學(xué).基于前面對教材的剖析，再加上教學(xué)分配時(shí)間用3個(gè)課時(shí)，如何把握這節(jié)課的教學(xué)？再通過“直觀感知，操作確認(rèn)”的活動尋求解決相關(guān)問題的辦法.

1.知識的認(rèn)知、能力上的要求剖析

從知識的認(rèn)知情境看，設(shè)置了問題的情境，注重從生活實(shí)踐（門扇的轉(zhuǎn)動）、學(xué)習(xí)（書的翻動）、數(shù)學(xué)研究（直線與平面平行、數(shù)學(xué)符號表述證明過程）、再到數(shù)學(xué)教育（平行的理解），從直觀感知到抽象理解再到數(shù)學(xué)教育的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)直線與平面平行的知識.

從知識的量化看，線面平行的學(xué)習(xí)在《數(shù)學(xué)2》（人教A版）中作為重點(diǎn)，但線面平行的判定定理和性質(zhì)定理是依靠直觀感知、操作確認(rèn)歸納出來的，強(qiáng)化了合情推理，弱化了（歸納線面平行的判定定理過程）邏輯推理，把對邏輯推理的論證放在第3課時(shí)完成，體現(xiàn)了教材編寫的“螺旋上升”的編排方式，這樣做既減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何空間感弱的困難，又能夠更好地讓學(xué)生輕松地、平穩(wěn)地提升空間想象能力，有利于學(xué)生加深對線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的理解.

從能力的立意與提升看，教材凸顯了觀察、操作、分析、探索、轉(zhuǎn)化、歸納能力，體現(xiàn)了特殊到一般及化歸思想.線面平行的判定定理的學(xué)習(xí)開闊了學(xué)生的視野（從平面問題走向空間問題）、拓展思維（三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題處理）、提升能力（化歸策略的形成）.

認(rèn)真學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)必修2》（人教A版）與《數(shù)學(xué)選修2-1》（人教A版），并進(jìn)行整體分析、把握，結(jié)合集體備課的智慧及研究的對策，更好地能在課堂中凸顯出線面平行策略，進(jìn)一步化歸成一種數(shù)學(xué)模式來解決相關(guān)問題，理解、體會這種數(shù)學(xué)模式的作用，理科學(xué)生可以采用向量知識來證明線面平行等問題，不論是純幾何法，還是向量法，都是基于“平行”的基本特征（沒有公共點(diǎn)）來設(shè)置解決策略的，凸顯了教材編寫與人們的認(rèn)知規(guī)律達(dá)到“和諧”、“統(tǒng)一”的理念，如此才能真正做到“用教材教”.

2.教學(xué)預(yù)設(shè)線路的確定

通過運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理解決具體問題，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、判斷思維能力、邏輯推理能力，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握直線與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，并能正確運(yùn)用來解決一些具體問題；通過學(xué)生獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、勇于探索新知的精神，提高觀察問題、分析問題的能力，學(xué)習(xí)上增強(qiáng)戰(zhàn)勝困難的勇氣.其教學(xué)預(yù)設(shè)線路如下：

創(chuàng)設(shè)情境：觀察感知（生活實(shí)例）——給出三個(gè)情境（生活、學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)），感受“線面平行”中的“位置”狀態(tài)，理解“直線與平面平行”中“沒有公共點(diǎn)的無限性”；并要概括出特征：線面平行的“無限性”化歸為“有限性”，體現(xiàn)方式方法.

數(shù)學(xué)建構(gòu)：歸納定理——經(jīng)歷“分析、探究”的活動，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地分析、思考如何將線面平行的“無限”問題通過“有限”方式來說明和解決，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，歸納出線面平行的判定定理和性質(zhì)定理.

定理運(yùn)用：鞏固定理——簡單運(yùn)用（由課本例題+補(bǔ)充例題）——尋找證明線面平行的方法；通過例習(xí)題處理，化歸線面平行證明的數(shù)學(xué)模式（重點(diǎn)）：純幾何三步走——中位線法、平行四邊形法和面面平行法（留后面復(fù)習(xí)總結(jié)）.

回顧反思：深化定理——學(xué)生總結(jié)，學(xué)到什么知識？掌握了什么方法？拓展了哪些方面的視野？（作業(yè)）

四、教學(xué)片斷回放

師：上述三個(gè)例題都是涉及線面平行的證明，其證明過程中最關(guān)鍵的是什么？哪一位同學(xué)說說？

生甲：（學(xué)生積極舉手）老師，例題要求證明線面平行，可以采用線面平行的判定定理來解決，最關(guān)鍵的是：在平面內(nèi)“找到一條直線與已知直線平行”即可.

師：（繼續(xù)追問）總結(jié)的好！能夠具體說一說證明線面平行的思路與方法嗎？

生甲：行，例1（教材第55頁例1）中，由于有中點(diǎn)E、F出現(xiàn)，容易聯(lián)想到三角形的中位線性質(zhì)，再根據(jù)線面平行的判定定理可證“空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面”.例2也是利用了三角形的中位線性質(zhì)，只不過中位線不在平面外，而是在平面內(nèi)，剛好與例1中三角形的中位線在平面外，而不在平面內(nèi)相反.例3的解題策略與前兩道例題不同，我沒有總結(jié)好.

師：大家再看看例3的證明思路，請給出例3證明過程的學(xué)生乙來總結(jié)解題思路方法.

生乙：前面兩例證法涉及中位線法，例3證法用平行四邊形法.給出例3后，我按照例1的證法沒有找到解題的思路，但按照線面平行的判定定理?xiàng)l件去思考方法，揭示中位線法的“中位線與底邊平行”，平行四邊形的“對邊”也是“平行”的實(shí)質(zhì)，從“平行”的角度去思考，在平面外的直線上找到兩個(gè)特殊點(diǎn)向平面引兩條線段，尋找這兩條線段“平行且相等”，容易得到一個(gè)平行四邊形，問題就解決了.

師：生乙總結(jié)了解答例3的思路策略，這也是一種證明線面平行的好策略，希望大家記住思路、理解方法，此法不妨就叫平行四邊形法.請大家思考下面一道練習(xí)題如何證明.

題目：如圖1，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E、F分別為線段PD和BC的中點(diǎn).求證：CE∥平面PAF.

圖1

師：（3分鐘后）哪一位同學(xué)能給大家講講自己的思考過程？

生丙：按照同學(xué)甲的思路（中位線法），尋找中點(diǎn)、確定三角形的中位線，E為線段PD的中點(diǎn)（點(diǎn)P在平面PAF上，D點(diǎn)在平面外），F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，但不能構(gòu)成一個(gè)三角形，因此，延長DC交AF的延長線于點(diǎn)H，連接PH，則確定一個(gè)三角形DPH，其中CE恰好是三角形DPH的中位線.請大家看看我的證明過程（演算過程投影到屏幕上），如下：

證明1：（中位線法）如圖2，延長DC交AF的延長線于點(diǎn)H，連接PH.因?yàn)镋為線段PD的中點(diǎn)，底面ABCD是平行四邊形，F(xiàn)C∥AD且F為線段BC的中點(diǎn)，則AD=2FC.由△AHD∽△FCH知，C為線段DH的中點(diǎn)，因此，CE恰好是三角形DPH的中位線，可知CE∥DH.又CE在平面PAF外，PH在平面PAF內(nèi)，故CE∥平面PAF.

圖2

生?。海ù舐暫埃├蠋煟∥矣辛硪环N證法（點(diǎn)頭示意），我的想法是：看到題設(shè)條件后，按照同學(xué)甲的思路（中位線法），只有一個(gè)條件就是E為線段PD的中點(diǎn)，只能放棄這個(gè)方法，采用同學(xué)乙的思路（平行四邊形法），如何從平面外的線段CE向平面PAF引兩條既平行又相等的線段，目標(biāo)轉(zhuǎn)化為構(gòu)造一個(gè)平行四邊形的問題，還是從中點(diǎn)E入手，在平面PAD中，過點(diǎn)E作AD的平行線交PA于M點(diǎn)（取PA中點(diǎn)為M，連接EM），此時(shí)EM是△PAD的中位線，AD=2EM、AD∥EM.又底面ABCD是平行四邊形，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，有AD=BC=2FC、AD∥BC，故FC∥EM，且FC=EM，則四邊形MECF是平行四邊形，從而有CE∥MF.又CE在平面PAF外，MF在平面PAF內(nèi)，故CE∥平面PAF.請大家看我的證明過程（將演算過程投影到屏幕上），如下：

證明2：（平行四邊形法）如圖3，取PA的中點(diǎn)為M，連接CE ME、FM.

圖3

因?yàn)镸、E分別為PA、PD的中點(diǎn)，所以ME∥AD，AD=2ME.

因?yàn)锳BCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點(diǎn)，所以FC∥AD，AD=2FC，所以ME∥FC，ME=FC，所以四邊形FCEM是平行四邊形，所以EC∥MF，又因?yàn)镃E在平面PAF外，MF在平面PAF內(nèi)，所以CE∥平面PAF.

師：剛才兩位學(xué)生的思考過程和證明過程，都很規(guī)范，哪位學(xué)生結(jié)合自己的審題過程，有新的想法或感受告訴大家嗎？

生戊：剛看了同學(xué)丙、丁的證明過程，結(jié)合自己的思考，同學(xué)甲、乙的總結(jié)就是證明線面平行這一類問題的基本思考步驟，可總結(jié)兩步：第一步，考慮能否用三角形的中位線作指導(dǎo)，在平面內(nèi)尋找一條與已知直線平行的直線，如果不行，就進(jìn)入下一步；第二步，考慮能否用平行四邊形作指導(dǎo)，尋找包含已知直線的一部分的平行四邊形（已知直線相對的邊在平面內(nèi)），如果不行，就思考其他方法.

師：學(xué)生戊的總結(jié)很精彩！將審題的思維方法與尋找平行線的技術(shù)融會貫通，并教給大家如何證明線面平行問題的方法，說明學(xué)習(xí)時(shí)一定要多思考、多總結(jié)，才會有較大的收獲！

大家積極思考、敢于發(fā)言，凸顯了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，熱烈的課堂學(xué)習(xí)氛圍，筆者順勢將線面平行問題的思考方法、策略總結(jié)：“線面平行思考模式——純幾何三步走”告訴大家.把備課時(shí)準(zhǔn)備好的線面平行證明思考步驟圖投影到屏幕上，因此，線面平行的證明方法：純幾何三步走如圖4所示（投影，顯示“三步走”的特征、題型難度和圖形模式標(biāo)注）.

圖4

今天這節(jié)課，同學(xué)們學(xué)習(xí)了線面平行的定義、判定定理和性質(zhì)定理，掌握了線面平行證明方法：純幾何三步走.以后要多思考、多合作、多交流，一定會有新發(fā)現(xiàn)、新收獲！

課后，筆者認(rèn)真總結(jié)了這一節(jié)課，學(xué)生精彩的想法，完美的認(rèn)識和歸納，得到了證明線面平行的策略方法、思考步驟，并起名為：中位線模型和平行四邊形模型，尤其是生乙總結(jié)的思考過程，……這一切說明高效課堂給學(xué)生帶來的“活力”，在課堂上的交流、探究得到的智慧成果，確實(shí)令人欣慰！

五、教學(xué)后的反思

從讀懂教材起，全心身做到教學(xué)設(shè)計(jì)、落實(shí)新課標(biāo)理念，精心打造細(xì)節(jié)，實(shí)施教學(xué)，感悟教材中隱藏課標(biāo)理念的揭示和挖掘，掀起學(xué)生思考的活力，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，培養(yǎng)思考能力是教學(xué)的重要目標(biāo)，達(dá)到高效教學(xué).

1.剖析教材定目標(biāo)

數(shù)學(xué)教學(xué)貴在自然、本質(zhì)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)行在簡單、深刻.教材剖析的深淺關(guān)系到數(shù)學(xué)課堂學(xué)生學(xué)習(xí)的潛意識能力的激發(fā)上，也會影響學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.理清教材的編排思路及編寫意圖，結(jié)合學(xué)生的已有知識及最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)時(shí)能夠輕而易舉地邁出大步，提升能力.如教材（必修2）證明線面平行只設(shè)置一道例題，再結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)補(bǔ)充兩道例題，學(xué)生甲、乙的思考和總結(jié)，得到了線面平行的證明方法、策略，其過程是順理成章的，不需要有意雕琢，顯得自然、順暢、簡單和輕松.

2.研讀課標(biāo)定方向

數(shù)學(xué)教學(xué)要依“綱”施教，“綱”就是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，能給數(shù)學(xué)教學(xué)活動界定目標(biāo)要求.在線面平行判定定理教學(xué)中，理解思路、掌握方法是重要的，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.如學(xué)習(xí)平面與平面的平行時(shí)就要用線面平行的判定定理等，反復(fù)研讀課標(biāo)，深刻領(lǐng)會課標(biāo)精神，準(zhǔn)確把握課標(biāo)對具體教學(xué)內(nèi)容的要求，明確哪些降低了要求，哪些提升了要求，哪些談化了要求，用心琢磨，梳理輕重，課堂上準(zhǔn)確定向、落實(shí)課標(biāo)才能運(yùn)用自如.

3.激勵(lì)學(xué)生出成果

激勵(lì)學(xué)生在課堂上多交流、多探究，讓學(xué)生思維的火花相互撞擊，一定會出現(xiàn)更加炫耀的光芒.課堂上學(xué)生甲、乙對例題的證明方法、思路經(jīng)過反思得到總結(jié)令人高興，概括的線面平行一般性證法策略，是多好的歸納，挖掘出了線面平行證明的思考模型（純幾何三步走的前兩步），學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)總結(jié)過程時(shí)所學(xué)到的思維方法、能力的提升遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí).

教學(xué)有法，但無定法.課堂教學(xué)中能夠極大地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展就是高效課堂追求的目標(biāo)，這需要挖掘新課標(biāo)教材的編排特征，加強(qiáng)對教材鉆研，領(lǐng)會課標(biāo)理念，力爭用“教材”教學(xué)，學(xué)生在課堂上的數(shù)學(xué)思維就會得到大幅度的提升，形成初步的數(shù)學(xué)模式，其中所蘊(yùn)藏智慧的開發(fā)是無限的.能夠啟迪學(xué)生智慧的數(shù)學(xué)課堂一定是和諧的、高效的課堂，“有限”的數(shù)學(xué)課堂幾乎把教師與學(xué)生心靈碰撞的數(shù)學(xué)思維亮點(diǎn)全部寫進(jìn)，卻不能窮盡學(xué)生對數(shù)學(xué)的感悟，更不能全部呈現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)智慧的光芒！

1.宮前長.讓位學(xué)生思考 踐行新課理念［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2012（3）.

2.宮前長.新課程古典概型教學(xué)：困惑、解惑與感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（5）.