☉湖北省黃石市第一中學(xué) 楊瑞強(qiáng)

五套高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材例習(xí)題的比較研究
——以“函數(shù)的應(yīng)用”為例

☉湖北省黃石市第一中學(xué) 楊瑞強(qiáng)

按高中新課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě)的高中數(shù)學(xué)教科書(shū)有人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版等五套，它們目前已經(jīng)被全國(guó)15個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)廣泛選擇使用.在數(shù)學(xué)教材中，例題和習(xí)題是重要的組成部分，它是師生進(jìn)行有效教與學(xué)的重要載體，它的配置數(shù)量、類(lèi)型、綜合難度等方面都直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，因此有必要對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中的例習(xí)題進(jìn)行比較分析.本文以《數(shù)學(xué)1》中的第三章“函數(shù)的應(yīng)用”的例習(xí)題為研究對(duì)象，對(duì)現(xiàn)行五套高中數(shù)學(xué)教材中例習(xí)題的配置數(shù)量、類(lèi)型、綜合難度等方面進(jìn)行比較研究，探悉高中數(shù)學(xué)新教材中例習(xí)題結(jié)構(gòu)體系設(shè)置的一些特點(diǎn)，并對(duì)教材中例習(xí)題的編寫(xiě)和修訂給出自己的思考和建議.

一、例習(xí)題數(shù)量的比較

高中課標(biāo)對(duì)本章的內(nèi)容劃分為兩節(jié)，規(guī)定的課時(shí)數(shù)約9課時(shí)，其中“函數(shù)與方程”約3課時(shí)，“函數(shù)模型”約4課時(shí)，“小結(jié)與復(fù)習(xí)”約2課時(shí).

表1：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)的例習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計(jì)比較

統(tǒng)計(jì)方法說(shuō)明：按題號(hào)統(tǒng)計(jì)，其中明確指出小題號(hào)的分別按一題算.

經(jīng)表1統(tǒng)計(jì)表明：（1）五套課標(biāo)教材的例題題量，除湘教版外，其他四種版本的差異并不大.人教A版共8個(gè)例題，人教B版共9個(gè)例題，北師大版共10個(gè)例題，湘教版共4個(gè)例題，蘇教版共9個(gè)例題.可見(jiàn)，多套課標(biāo)教材的例題題量基本上都保持在平均每課時(shí)1道題左右.（2）五套課標(biāo)教材的習(xí)題題量的差異卻十分明顯.從表1可以算得，平均每課時(shí)習(xí)題量分別為：人教A版約6.1題，人教B版約7.9題，北師大版約3.2題，湘教版約4.2題，蘇教版約5.0題.相對(duì)而言，人教B版的習(xí)題最多，北師大版的習(xí)題最少，最多與最少的題量相差4.7題/課時(shí)（前者是后者兩倍還多）.當(dāng)然，人教B版的習(xí)題多的原因是課程劃分比較細(xì)致，它將此內(nèi)容穿插于兩章內(nèi)容中講解，分“函數(shù)應(yīng)用（Ⅰ）”（第二章內(nèi)容）、“函數(shù)與方程”和“函數(shù)應(yīng)用（Ⅱ）”（第三章內(nèi)容）；人教A版單獨(dú)成為一章內(nèi)容，習(xí)題也較多；而其他三種版本均在一章中的兩小節(jié)講解，習(xí)題自然較少.

二、習(xí)題類(lèi)型的比較

為進(jìn)一步說(shuō)明的方便，我們可將五套課標(biāo)教材中“函數(shù)的應(yīng)用”的習(xí)題劃分為九類(lèi)，分別為選擇題、填空題、計(jì)算題、簡(jiǎn)答題、作圖題、證明題、應(yīng)用題、探究題和利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器完成的題，其中簡(jiǎn)答題包含的范圍比較廣：判斷、敘述、舉例、寫(xiě)作等都?xì)w入這一類(lèi).

表2：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)習(xí)題九種類(lèi)型統(tǒng)計(jì)對(duì)比

統(tǒng)計(jì)方法說(shuō)明：按題號(hào)統(tǒng)計(jì)，其中明確指出小題號(hào)的分別按一題算.

經(jīng)表2統(tǒng)計(jì)對(duì)比表明：五套課標(biāo)教材的習(xí)題各種題型的數(shù)量分布均有不同.應(yīng)用題型含量都相對(duì)較大，其次計(jì)算題和探究題含量差異相對(duì)也較大，選擇題、填空題的含量都相對(duì)較小，作圖題人教A版和湘教版含量相對(duì)其他版本稍大，而簡(jiǎn)答題人教B版和蘇教版含量相對(duì)其他版本稍大.

綜合以上方式統(tǒng)計(jì)對(duì)比表明，五套課標(biāo)教材的題型在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面各有側(cè)重點(diǎn)，以下通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和具體例子說(shuō)明習(xí)題類(lèi)型的特點(diǎn).

1.應(yīng)用題型占絕對(duì)主導(dǎo)地位

一方面，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促使學(xué)生逐漸形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.另一方面，“函數(shù)的應(yīng)用”重在生活實(shí)際中的應(yīng)用，用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.因此教材在習(xí)題編寫(xiě)時(shí)，都注重了應(yīng)用題題型的主導(dǎo)地位，在較強(qiáng)的生活背景中，讓學(xué)生感受函數(shù)的廣泛應(yīng)用.從數(shù)量上看，人教A版15題，人教B版19題，北師大版12題，湘教版11題，蘇教版13題.從此類(lèi)題目占總題量的百分比來(lái)看，人教A版占27.3%，人教B版占26.8%，北師大版占40.0%，湘教版占28.9%，蘇教版占28.9%.所有這些，充分體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)對(duì)學(xué)生的要求“能初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題”.

2.重視計(jì)算機(jī)（器）的計(jì)算與探究功能

在本章中，由于方程的近似解一般都涉及較復(fù)雜的計(jì)算，多處函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題也涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此，部分題目明確或間接要求借助計(jì)算機(jī)（器）來(lái)完成，體現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容整合的思想.據(jù)統(tǒng)計(jì)，教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”中要求用計(jì)算機(jī)（器）完成的題目數(shù)量分別為：人教A版15題，人教B版11題，北師大版4題，湘教版4題，蘇教版4題.從此類(lèi)題目占總題量的百分比來(lái)看：人教A版占27.3%，人教B版占15.5%，北師大版占13.3%，湘教版占10.5%，蘇教版占8.9%.無(wú)論是從絕對(duì)數(shù)量，還是從題目所占總題量的百分比來(lái)看，都是人教A版的多一些.借助計(jì)算機(jī)（器），更有利于學(xué)生探索問(wèn)題，減少煩瑣計(jì)算，特別是一些實(shí)際問(wèn)題，為方便筆算，以往都是經(jīng)過(guò)人為的簡(jiǎn)化，而現(xiàn)在借助信息技術(shù)可以較容易解決.

3.突出研究性與開(kāi)放性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

新課程主張，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并在此過(guò)程中養(yǎng)成主動(dòng)思考、積極探索的習(xí)慣.從探究型題目所占總題量的百分比來(lái)看：人教A版占12.7%，人教B版占2.8%，北師大版占6.7%，湘教版占15.8%，蘇教版占6.7%.存在型、操作型、開(kāi)放型等探究性題型在五套課標(biāo)教材中各有體現(xiàn).相比而言，人教A版和湘教版對(duì)探究型題目更重視一些.部分題目答案不唯一，有助于學(xué)生自己發(fā)揮.如人教A版第106頁(yè)練習(xí)第1題：“根據(jù)所求函數(shù)的圖像，對(duì)這個(gè)公司的經(jīng)濟(jì)效益做出簡(jiǎn)要分析”，人教A版第107頁(yè)習(xí)題3.2第5題：“分析這位游客的決定是否太冒險(xiǎn)”，蘇教版第95頁(yè)習(xí)題2.6第5題：“估計(jì)施肥量為40kg時(shí)水稻的產(chǎn)量”，第6題“請(qǐng)你預(yù)測(cè)今年7，8兩個(gè)月的月利潤(rùn)”等.要求學(xué)生自己“分析”、“估計(jì)”、“預(yù)測(cè)”來(lái)解決問(wèn)題，也是新教材的一大亮點(diǎn).

4.受制于本章內(nèi)容特點(diǎn)，證明題相對(duì)偏少

證明題也稱論證題，其基本形態(tài)是：給出一定的假設(shè)條件或已知條件，要求學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)的公理化體系，運(yùn)用已知的公理、公設(shè)、法則、定理和公式等熟悉的知識(shí)與方法，合乎邏輯地推導(dǎo)和斷定試題中指定的結(jié)論.本章在證明題的設(shè)置上，人教A版占0%，人教B版占1.4%，北師大版占3.3%，湘教版占2.6%，蘇教版占6.7%.相比其他章節(jié)內(nèi)容，五套課標(biāo)教材在本章中的證明型習(xí)題的設(shè)置相對(duì)偏少了一些.即便如此，五套課標(biāo)教材所設(shè)置的極少量證明題也主要是集中在“函數(shù)的零點(diǎn)”的有關(guān)證明上.事實(shí)表明，證明題相對(duì)偏少與本章內(nèi)容特點(diǎn)有著極大的關(guān)系.

三、訓(xùn)練系統(tǒng)的難度模型

本文下面擬運(yùn)用鮑建生教授在其博士論文《中英兩國(guó)初中數(shù)學(xué)課程綜合難度的比較研究》中建立的數(shù)學(xué)題綜合難度模型，對(duì)五套課標(biāo)教材《數(shù)學(xué)1》中“函數(shù)的應(yīng)用”的習(xí)題（包括練習(xí)題、例題和復(fù)習(xí)參考題）進(jìn)行難度分析.

表3：訓(xùn)練系統(tǒng)難度因素和等級(jí)水平的量化指標(biāo)

量化指標(biāo)說(shuō)明：以上每個(gè)指標(biāo)從上往下分別權(quán)重賦值為1，2，3，4.

下面表4、表5是五個(gè)難度因素的量化指標(biāo)統(tǒng)計(jì).

表4：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)的例題難度量化指標(biāo)

由統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版五套教材的例題難度量化指標(biāo)為：（1）知識(shí)量的加權(quán)平均分別為2.38、2.11、2.00、2.00、2.11，人教A版的含量較其他版本稍大，北師大版和湘教版含量較其他版本稍小；（2）要求量的加權(quán)平均分別為2.88、2.67、2.80、2.25、2.56，人教A版的含量較其他版本稍大，湘教版的含量較其他版本稍??；（3）背景量的加權(quán)平均分別為2.50、2.67、2.50、1.50、1.89，人教B版的含量較其他版本稍大，湘教版的含量較其他版本稍??；（4）運(yùn)算量加權(quán)平均分別為2.50、2.44、2.40、2.25、2.11，人教A版的含量較其他版本稍大，蘇教版的含量較其他版本稍??；（5）推理量加權(quán)平均分別為2.75、2.44、2.80、2.50、2.67，北師大版的含量較其他版本稍大，人教B版的含量較其他版本稍小.

表5：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)的習(xí)題難度量化指標(biāo)

由統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版五套教材的習(xí)題難度量化指標(biāo)為：（1）知識(shí)量的加權(quán)平均分別為2.35、2.11、2.03、1.97、2.02，人教A版的含量較其他版本稍大；（2）要求量的加權(quán)平均分別為2.36、2.25、2.30、2.37、2.31，各版本的含量基本持平；（3）背景量的加權(quán)平均分別為2.04、1.89、1.90、1.82、2.07，蘇教版的含量較其他版本稍大，湘教版的含量較其他版本稍?。唬?）運(yùn)算量加權(quán)平均分別為2.16、220、2.17、2.16、2.13，各版本的含量基本持平；（5）推理量加權(quán)平均分別為2.20、2.10、2.20、2.18、2.18，人教B版的含量較其他版本稍小，其他各版本的含量基本持平.

表6：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)的綜合難度比較

說(shuō)明：確定每個(gè)訓(xùn)練系統(tǒng)的綜合難度，主要從例題難度和習(xí)題難度兩個(gè)方面進(jìn)行考慮，例題和習(xí)題的知識(shí)量、要求量、背景量、推理量和運(yùn)算量五個(gè)難度因素的權(quán)重，通過(guò)層次分析法依次確定為0.25，0.20，0.10，0.20，0.25.

四、研究分析結(jié)果

主要根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按照五個(gè)難度因素分別進(jìn)行比較，再利用綜合難度模型進(jìn)行整體的分析，得出比較結(jié)論，并從相同點(diǎn)和不同點(diǎn)兩個(gè)角度給出相應(yīng)的定性結(jié)論.

1.相同點(diǎn)

（1）習(xí)題難度量化五個(gè)指標(biāo).

知識(shí)量方面：基本上以一個(gè)或兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)為主.

要求量方面：基本上以理解、運(yùn)用和要求為主，且五種版本基本持平.

背景量方面：背景比較單一，以公共常識(shí)為主，涉及個(gè)人生活的背景較少.

運(yùn)算量方面：以數(shù)字運(yùn)算為主，且涉及利用信息技術(shù)輔助計(jì)算的題目較多.

推理量方面：基本上以單一推理為主，且五種版本基本持平.

（2）綜合難度模型的整體分析.

①五套課標(biāo)教材中的知識(shí)量、要求量、背景量、推理量和運(yùn)算量五個(gè)方面，例題基本大于習(xí)題（除個(gè)別版本基本持平外）.

②五套課標(biāo)教材中例題的難度比習(xí)題的難度大0.30左右（除湘教版基本持平外）.

③五套課標(biāo)教材中的例習(xí)題的綜合難度基本持平（人教A版稍高）.

2.不同點(diǎn)

（1）習(xí)題難度量化五個(gè)指標(biāo).

知識(shí)量方面：人教A版明顯高于其他版本，湘教版明顯低于其他版本.

要求量方面：五種版本在探究性題目數(shù)量上差異較大，人教A版7題，北師大版2題.

背景量方面：蘇教版和人教A版背景類(lèi)型較其他版本豐富，且含量相對(duì)也較高.

運(yùn)算量方面：涉及簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算的差異較大，需利用信息技術(shù)輔助計(jì)算的題目數(shù)量也有所不同.

推理量方面：人教A版和北師大版的推理量稍大，且涉及一定數(shù)量的簡(jiǎn)單推理和復(fù)雜推理.

（2）綜合難度模型的整體分析.

①五套課標(biāo)教材中例題的難度差異較大，依次為2.61、2.43、2.49、2.18、2.32，五套課標(biāo)教材中例題的難度從大到小依次是人教A版、北師大版、人教B版、蘇教版、湘教版.

②五套課標(biāo)教材中習(xí)題的難度差異甚小，依次為2.25、2.13、2.14、2.13、2.15，五套課標(biāo)教材中習(xí)題的難度從大到小依次是人教A版、蘇教版、北師大版、人教B版、湘教版.

③五套課標(biāo)教材中例題與習(xí)題的綜合難度差異較大，分別為2.43、2.28、2.32、2.15、2.23，五套課標(biāo)教材中例題與習(xí)題的綜合難度從大到小依次是人教A版、北師大版、人教B版、蘇教版、湘教版.

五、教材修訂建議

主要根據(jù)上述研究結(jié)論，本人對(duì)人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材訓(xùn)練系統(tǒng)的修訂提出幾點(diǎn)切實(shí)可行和具有參考價(jià)值的建議.

1.關(guān)于例習(xí)題配置數(shù)量方面

例習(xí)題是教材的重要組成部分，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面起著舉足輕重的作用.關(guān)于例習(xí)題數(shù)量方面，事實(shí)上，例習(xí)題的多與少，僅是教材中例習(xí)題研究的表面現(xiàn)象，而深層次的是例習(xí)題適度的研究，這取決于知識(shí)內(nèi)容的多少和要達(dá)到的程度，也就是課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容要求.科學(xué)的例習(xí)題量的確定，應(yīng)從理論研究到實(shí)踐中教師的經(jīng)驗(yàn)再到學(xué)生成績(jī)的反饋進(jìn)行反復(fù)的試驗(yàn)，是需要專家和學(xué)者共同的努力.

2.關(guān)于例習(xí)題的類(lèi)型設(shè)置方面

新教材增加了少量的選擇題和填空題（這一點(diǎn)在本章中的體現(xiàn)不明顯，它與本章的內(nèi)容特點(diǎn)有關(guān)），同時(shí)，新教材打破了在常規(guī)數(shù)學(xué)中僅有傳統(tǒng)題型（這里指的是作圖題、證明題、計(jì)算題和簡(jiǎn)答題），還增設(shè)了探究題和信息技術(shù)題，探究題不僅激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣；信息技術(shù)題借助計(jì)算機(jī)（器），更有利于學(xué)生探索問(wèn)題，減少了煩瑣的計(jì)算.

3.關(guān)于例習(xí)題難度方面

通過(guò)對(duì)例習(xí)題的難度對(duì)比可知，除去計(jì)算量指標(biāo)之外，其他四項(xiàng)難度指標(biāo)，人教A版教材都最高，主要體現(xiàn)在知識(shí)量大、探究成分多、知識(shí)背景豐富等方面，很多教師反映部分例題和習(xí)題設(shè)置過(guò)難.知識(shí)量大，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求自然就高；探究成分過(guò)多，勢(shì)必造成課時(shí)不足，眾多教師反映按時(shí)完成教學(xué)任務(wù)存在困難.如教材第97頁(yè)的例2，解答繁長(zhǎng)，計(jì)算量大，達(dá)不到使學(xué)生對(duì)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型的體驗(yàn)；第107頁(yè)的習(xí)題A組第1題、習(xí)題B組第1題等難度過(guò)大.例習(xí)題配置還需優(yōu)化，建議刪去習(xí)題中難度過(guò)大、探究過(guò)程復(fù)雜的題目，適當(dāng)增加中檔題，考慮到與高考題的搭配，是否在一冊(cè)書(shū)末增加一個(gè)復(fù)習(xí)與提高專欄供老師和學(xué)有余力的學(xué)生選用，不以習(xí)題形式出現(xiàn)，也不作統(tǒng)一要求.

4.關(guān)于信息技術(shù)要求方面

雖然信息技術(shù)的使用是社會(huì)發(fā)展的必然之路，但是必須考慮到信息技術(shù)受條件制約嚴(yán)重的問(wèn)題.人教A版教材在編寫(xiě)上大量使用計(jì)算機(jī)（本章直接或間接需要使用計(jì)算機(jī)（器）的題目占本章總題量的百分比為27.3%，明顯高于其他版本教材），對(duì)信息技術(shù)的要求非常高，但是受當(dāng)前我國(guó)客觀條件的限制，有的學(xué)校很難做到使用現(xiàn)代化信息技術(shù)解決問(wèn)題.學(xué)生不能使用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖像，達(dá)不到要求的教學(xué)效果.另外，信息技術(shù)在課堂上可以使用，但高考數(shù)學(xué)能否使用？人教A版沒(méi)有考慮到地域的差異限制，還有待完善.建議教材在例習(xí)題編寫(xiě)時(shí)注意地域差異，適量使用計(jì)算機(jī)，使用量不宜過(guò)多，不能過(guò)于復(fù)雜.

1.李惠.現(xiàn)行兩套高中數(shù)學(xué)教材習(xí)題的比較研究［D］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2009.

2.彭上觀，鄧康日.高中數(shù)學(xué)不同版本新教材習(xí)題的比較研究——以人教A版、北師大版、蘇教版高中新教材“數(shù)學(xué)1”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2006（9）.

3.周遠(yuǎn)方.四套高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材的結(jié)構(gòu)比較與思考——以平面解析幾何初步為例［J］.數(shù)學(xué)通訊，2007（21）.

4.鮑建生.中英兩國(guó)初中數(shù)學(xué)課程綜合難度的比較研究［D］.上海：華東師范大學(xué)，2002.

5.楊浩.高中數(shù)學(xué)不同版本教科書(shū)函數(shù)內(nèi)容對(duì)比研究［D］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2007.

6.張友成.用好教材中的題落實(shí)課改新理念［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（9）.