☉江蘇省江陰市敔山灣實驗學(xué)校 李磊

☉江蘇省江陰市周莊中學(xué)許愛珍

創(chuàng)新例習(xí)題呈現(xiàn)，發(fā)展批判性思維

☉江蘇省江陰市敔山灣實驗學(xué)校 李磊

☉江蘇省江陰市周莊中學(xué)許愛珍

近一段時間以來，以《人民教育》為代表的期刊發(fā)表了不少引導(dǎo)關(guān)注“批判性思維”的文章，比如文1對于批判性思維的本質(zhì)進(jìn)行了澄清和糾偏，并指出“批判性思維，是以理性和開放性為核心的理智美德和思維能力的結(jié)合，是一種謹(jǐn)慎公正的分析、構(gòu)造和發(fā)展的過程．”回看我們的數(shù)學(xué)課堂、數(shù)學(xué)例習(xí)題設(shè)計，與倡導(dǎo)批判思維、開放教學(xué)的高要求相比，仍然還有很大的提升空間．作為一名一線教師，也不可能提出多么宏大的努力方向，但是筆者以為，如果我們能立足于教學(xué)實踐，把每堂數(shù)學(xué)課、每天都要設(shè)計或布置的數(shù)學(xué)例習(xí)題通過恰當(dāng)?shù)母木?，也是可以?xùn)練和發(fā)展批判性思維的．下面我們先呈現(xiàn)近期教學(xué)過程中收集的一些發(fā)展學(xué)生批判性思維的例習(xí)題案例，并跟進(jìn)解讀，與同行研討．

一、發(fā)展“批判性思維”的題例

例1如圖1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E、F分別在AB和AC上．

圖1

（1）若∠AED+∠AFD=180°，求證：DE=DF．

（2）若DE=DF，則∠AED+∠AFD=180°是否成立？如果成立，說明理由；如果不成立，舉出反例．

解讀：第（1）問可以利用角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊距離相等來添加輔助線獲得思路貫通；然而第（2）問引導(dǎo)學(xué)生思考第（1）問的逆命題，并且要舉出反例，倡導(dǎo)批判性思維．教學(xué)經(jīng)驗告訴我們，至少有40%的學(xué)生對于命題真假的判斷存在疑問，從而出現(xiàn)解題的方向性偏差．

例2如圖2，D、E分別為等邊△ABC的邊BC、AC上的動點(diǎn)，且BD=CE，連接BE、AD交于點(diǎn)F．

圖2

（1）求∠BFD的度數(shù).

（2）過點(diǎn)A作AH⊥BE，垂足為點(diǎn)H．求證：AF=2FH.

（3）小舟練習(xí)后，提出一種變式拓展的思考，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在CB、AC的延長線上時，直線BE、AD相交于點(diǎn)F，其余條件不變，請畫出符合要求的圖形，猜想AF與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

解讀：前兩問是經(jīng)典考題，第（3）問是經(jīng)過改編之后呈現(xiàn)的問題，有兩個引領(lǐng)意義：其一，要求學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形變換之后的圖形，考查必要的讀句作圖能力；其二，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解后反思、追問，學(xué)會從特殊到一般地思考經(jīng)典幾何問題及性質(zhì)．

例3（2015～2016學(xué)年北京市交大附中八年級上學(xué)期期中卷第24題）已知：如圖3，Rt△ABC中，∠BAC=90°．

圖3

（1）按要求作圖：（保留作圖痕跡）

①延長BC到點(diǎn)D，使CD=BC；

②延長CA到點(diǎn)E，使AE=2CA；

③連接AD，BE，并猜想線段AD與BE的大小關(guān)系.

（2）證明（1）中你對線段AD與BE大小關(guān)系的猜想．

改編題如圖4，△ABC中，∠BAC=90°，延長BC到點(diǎn)D，使CD= BC，延長CA到點(diǎn)E，使EA=2AC．連接AD，BE．

圖4

（1）求證：AD=BE；

（2）小賈同學(xué)提出“猜想”：當(dāng)∠E=60°時，CE=BE．請判斷“猜想”的真假，并說明理由．

解讀：改編題是基于八年級學(xué)生訓(xùn)練的重點(diǎn)，應(yīng)該是構(gòu)造、推理證明，所以把作圖語句前置到題干條件中，直接在第（1）問明確提出證明“AD=BE”；而增加了第（2）問，從學(xué)生練習(xí)的情況來看，班級有四分之一學(xué)生求解方向出錯，誤認(rèn)為猜想是真命題；另有不少學(xué)生證明假命題的方法不夠簡化，雖有反證法意識，然而表述繁雜，只有近四分之一優(yōu)秀學(xué)生通過設(shè)AC=m，推得AE=2m，BE=4m，從而發(fā)現(xiàn)CE=3m，并不等于BE，否定了命題.可見，增加的第（2）問，需要判斷真、假命題，結(jié)論開放，同時又發(fā)展了學(xué)生的批判性思維.

例4如圖5，等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在CB的延長線上，連接DA，作AE⊥AD，且AE=AD，連接BE交AC的延長線于點(diǎn)P.

（1）求證：∠D=∠EAC；

（2）若AC=1，求點(diǎn)E到直線AC的距離；

（3）求證：點(diǎn)P為BE的中點(diǎn).

圖5

圖6

拓展思考：如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，1），B（-1，0），P（p，0），將AP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到AQ.

（1）當(dāng)p＜-1時，連接BQ，求證：BQ能被y軸平分.

（2）當(dāng)p＞0時，BQ是否還能被y軸平分，畫出圖形，簡要說明理由即可.

（3）小涵發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)Q在直線x=1上！你怎么看這個發(fā)現(xiàn)？

解讀：例4是個經(jīng)典的幾何問題，在學(xué)生成功解題之后，我們給出“拓展思考”，就是對上面的問題進(jìn)行包裝，放置到平面直角坐標(biāo)系中，引導(dǎo)學(xué)生體會幾何問題的結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練學(xué)生洞察問題深層結(jié)構(gòu)的“眼力”.不少學(xué)生在解后反思都提到，它們都是一樣的.這里學(xué)生對“一樣的”認(rèn)識正是我們的命題立意所在.

二、進(jìn)一步的思考

以上摘選了近期教學(xué)手記中的一些題例素材，并逐題給出解讀，也可看成是講述教學(xué)上的故事；以下再圍繞上述題例所共有的立意——培養(yǎng)批判性思維，闡述筆者進(jìn)一步的思考.

1.重視發(fā)現(xiàn)問題、提出疑問、辨別是非的思維品質(zhì)訓(xùn)練

文1認(rèn)為：“思維的批判性，就是善于發(fā)現(xiàn)問題，提出疑問，辨別是非的一種思維品質(zhì).批判性思維是一種實事求是、周到縝密的思維.”正是基于上述認(rèn)知，筆者在例2、例3中的最后一問明確示范了“提出問題”的角度、方式，既是開展習(xí)題訓(xùn)練、鞏固技能，同時又是傳遞善于提問、學(xué)會提問、辨別是非的求真品質(zhì).

2.“把數(shù)學(xué)問題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象”，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維

近讀《數(shù)學(xué)通報》，孫四周老師在文2中介紹了近年來基于活動與體驗的例題教學(xué)實驗，嘗試了把數(shù)學(xué)問題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)象—問題—解決—反思”的全過程.比照孫老師的教學(xué)實驗和所例舉的題例，我們在上文中提及的例1中的第（2）問、例2中的第（3）問都屬于將數(shù)學(xué)問題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象，把一些問題的客觀事實呈現(xiàn)給學(xué)生，作為學(xué)生觀察、研究、發(fā)現(xiàn)、決策的素材.雖然“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”并不是所謂結(jié)構(gòu)優(yōu)良的數(shù)學(xué)試題呈現(xiàn)方式，然而以不完美的形態(tài)、不定型的反思，卻給學(xué)生提供了批判思維的空間，一定意義上也是追求開放的數(shù)學(xué)教學(xué)和有深度的教學(xué).

3.立足實踐，以習(xí)題改編為出發(fā)點(diǎn)，拓展培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維批判性的途徑

文3專題論述“數(shù)學(xué)教學(xué)中思維批判性的培養(yǎng)”，明確指出了培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維批判性的三個途徑：比如，激發(fā)學(xué)生向權(quán)威挑戰(zhàn)，培養(yǎng)質(zhì)疑精神；引導(dǎo)學(xué)生辨析錯誤，提高識別能力；讓學(xué)生自我糾錯，提高自我評價能力；鼓勵學(xué)生構(gòu)造反例，培養(yǎng)反駁能力.對應(yīng)來看，我們在上文中的例1第（2）問則是鼓勵學(xué)生構(gòu)造反例，滲透反證意識；例3改編題的第（2）問則是鼓勵學(xué)生辨析錯誤，反駁錯誤.

三、寫在最后

華東師大終身教授鐘啟泉教授指出：“知識經(jīng)濟(jì)時代是崇尚‘批判性思維’的時代，因為它是推動知識社會前進(jìn)的主要動力.”［4］鐘教授不無憂慮地指出“我國的‘批判性思維’與‘批判性思維教學(xué)’的研究幾乎是一片空白”.希望更多的一線教師能立足實踐，為數(shù)學(xué)教學(xué)中的批判性思維的訓(xùn)練和研究提供一些實踐性智慧.當(dāng)然，我們的努力還很初步，微不足道，供有識之士批判.

1.陳金輝.例談數(shù)學(xué)思維的批判性［J］.數(shù)學(xué)通報，2001（1）.

2.孫四周.把數(shù)學(xué)問題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象——談“基于活動與體驗的例題教學(xué)”［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2015（10）.

3.唐紹友．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中思維批判性的培養(yǎng)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，1996（8）.

4.鐘啟泉．“批判性思維”及其教學(xué)［J］．全球教育展望，2002（1）.

5.劉東升．經(jīng)歷問題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（4）