☉安徽省安慶市宜秀區(qū)五橫初級(jí)中學(xué) 戴向陽(yáng)

☉安徽省安慶市懷寧縣秀山中學(xué)戴向前

回歸節(jié)點(diǎn)“文化板塊”
——解題教學(xué)的著腳點(diǎn)

☉安徽省安慶市宜秀區(qū)五橫初級(jí)中學(xué) 戴向陽(yáng)

☉安徽省安慶市懷寧縣秀山中學(xué)戴向前

有些復(fù)雜的數(shù)學(xué)題（尤其幾何題）往往是由多個(gè)思維節(jié)點(diǎn)“串連”在一起構(gòu)成的，在這些節(jié)點(diǎn)中總有一個(gè)起點(diǎn).對(duì)于“串連”類(lèi)節(jié)點(diǎn)型試題，其起點(diǎn)是外顯在題干信息中，其他節(jié)點(diǎn)是前一節(jié)點(diǎn)牽帶而出的，俗話說(shuō)“拔出蘿卜帶出泥”，只有蘿卜拔出，才能看見(jiàn)下面，這類(lèi)節(jié)點(diǎn)不妨稱作“中途點(diǎn)”.數(shù)學(xué)解題就是正確找到起點(diǎn)，從起點(diǎn)出發(fā)，游覽每一個(gè)“中途點(diǎn)”，當(dāng)每個(gè)“景點(diǎn)”都逛過(guò)一遍后，數(shù)學(xué)解題就結(jié)束了.構(gòu)成數(shù)學(xué)題的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，有著自身的“文化板塊”——數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)、思想、方法等，節(jié)點(diǎn)的這種“文化板塊”，正是訴說(shuō)著其來(lái)龍去脈的起源.所以追朔這種起源正是揭開(kāi)其蘊(yùn)含本質(zhì)的一種高效的研究問(wèn)題的方法.因此，筆者倡導(dǎo)，解題教學(xué)回到節(jié)點(diǎn)的“文化板塊”中去.

下面筆者結(jié)合例題具體談?wù)劊诠?jié)點(diǎn)“文化板塊”處實(shí)施解題教學(xué)，以饗讀者.

一、試題呈現(xiàn)

例題（2014年河南）如圖1，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

圖1

二、解讀節(jié)點(diǎn)——翻折

本題初讀一片迷茫，如一頭霧水：①圖形不完整，缺失∠ABC的平分線，不清楚點(diǎn)D′在∠ABC的平分線上的相對(duì)位置——D′到B點(diǎn)的距離D′B的大小，沒(méi)有數(shù)據(jù)D′B就無(wú)法計(jì)算DE；②當(dāng)把△ADE沿AE折疊時(shí)，點(diǎn)D真的會(huì)落在∠ABC的平分線上嗎？要使D點(diǎn)落在∠ABC的平分線上，與什么量有關(guān)？決定于什么？③點(diǎn)D′的位置是唯一的嗎？重重迷霧直指翻折后D點(diǎn)的位置D′，而D′又源于翻折.所以本題起始節(jié)點(diǎn)是D′的捕捉.而D′生成于翻折活動(dòng)，故本題解答應(yīng)嘗試從D′的“文化板塊”——?jiǎng)邮謱?shí)踐中考究“翻折”實(shí)質(zhì)，因此本題教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)、探究等“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，從中體會(huì)、感悟，在實(shí)踐中把握問(wèn)題實(shí)質(zhì)，揭開(kāi)問(wèn)題面紗.

三、教學(xué)環(huán)節(jié)

1.回到操作中去，定位D′

（1）準(zhǔn)備長(zhǎng)寬比不等的兩張矩形紙片，如圖2，紙片a寬3cm、長(zhǎng)8cm，紙片b寬3cm、長(zhǎng)4cm.

圖2

（2）拿一張自備的矩形紙片，按圖3方式折疊矩形的一個(gè)角，并使折痕經(jīng)過(guò)A點(diǎn).

圖3

教師提問(wèn)：折疊時(shí)，你會(huì)遇到什么問(wèn)題？在學(xué)生回答沒(méi)告訴沿哪條折痕折疊時(shí)，教師追問(wèn)：確實(shí)，本題沒(méi)有給出折痕，正因?yàn)闆](méi)給，所以同學(xué)們折的不一樣.是完全不一樣嗎？在學(xué)生思考得出所有折疊都過(guò)A點(diǎn)時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行反復(fù)不同的操作.在學(xué)生充分體驗(yàn)思考后，教師引導(dǎo)：過(guò)A點(diǎn)折疊矩形的一個(gè)角，你有什么感悟嗎？如果你有感悟，能和同學(xué)們分享一下嗎？

當(dāng)有學(xué)生指出，過(guò)A點(diǎn)折疊矩形的一個(gè)角，實(shí)質(zhì)上把線段AD繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，教師適時(shí)給出引導(dǎo)：過(guò)A點(diǎn)任意折疊矩形的一個(gè)角時(shí)，D點(diǎn)必落在哪兒？此時(shí)學(xué)生易給出如下應(yīng)答：D點(diǎn)必在以A為圓心、AD為半徑的圓上，如圖4所示.

圖4

（3）作出紙片a、b中∠B的平分線，分別折疊紙片a、紙片b，觀察并思考下列問(wèn)題：

①過(guò)A點(diǎn)折疊矩形的一個(gè)角，D點(diǎn)一定會(huì)落在∠B的平分線上嗎？

學(xué)生操作發(fā)現(xiàn)，折疊紙片a，D點(diǎn)不在∠B的平分線上；折疊紙片b，D點(diǎn)在∠B的平分線上.

②過(guò)A點(diǎn)折疊矩形的一個(gè)角，D點(diǎn)所落的位置D′點(diǎn)，與∠B的平分線有哪些位置關(guān)系？（D′點(diǎn)不在∠B的平分線上；D′點(diǎn)在∠B的平分線上位置是唯一的；D′點(diǎn)落在∠B的平分線兩個(gè)不同位置上）

③折疊后D點(diǎn)與∠B的平分線三種位置關(guān)系決定于什么？與哪些量有關(guān)？

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，D點(diǎn)與∠B的平分線關(guān)系，實(shí)質(zhì)上就是直線（∠B的平分線）與⊙A的位置關(guān)系，而直線與圓的位置關(guān)系用圓心到直線的距離d與r（AD）的大小關(guān)系來(lái)衡量.其中d決定于AB長(zhǎng)，d=AB×sin45°.

（4）回觀例題，探究D′與∠B的平分線的關(guān)系.

圖5

圖6

如圖5所示，作∠B的平分線BM，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥BM，垂足為F.則AF=AB×sin45°=所以BM與⊙A（以A為圓心，AD為半徑）相交，令交點(diǎn)為P、Q，如圖6所示.

圖7

圖8

圖9

如圖7所示，連接AQ、AP，在Rt△AQF中，AQ=AD=5，勾股定理Rt△AFB中，F(xiàn)B=AB×cos45

教師：定點(diǎn)Q、P已經(jīng)找到，Q、P在角平分線BM上的相對(duì)位置也已確定.那么定點(diǎn)Q、P在問(wèn)題中扮演怎樣的角色呢？定點(diǎn)Q、P在什么方面對(duì)解題起著驅(qū)動(dòng)作用呢？解題中既生出Q、P，那么問(wèn)題一定與Q、P相關(guān)，要找出問(wèn)題的出路，就必須回到Q、P中去.

2.回到定點(diǎn)中去，量化D′

（1）定點(diǎn)含義是什么？

（2）定點(diǎn)Q、P到B點(diǎn)的距離是定值嗎？

當(dāng)學(xué)生指出定點(diǎn)Q、P到矩形ABCD的頂點(diǎn)、邊界、靜態(tài)線段的距離都是定值時(shí)，教師順勢(shì)誘導(dǎo)：本題中我們應(yīng)關(guān)注定點(diǎn)中哪些方面的特征呢？

經(jīng)過(guò)一翻思考探究，學(xué)生會(huì)得出應(yīng)關(guān)注定點(diǎn)Q、P到線段DC、AB、AD的距離.于是很容易將問(wèn)題化歸為圖8中的問(wèn)題：在矩形AHGD中，沿過(guò)A點(diǎn)的某條直線折一個(gè)“拐”△ADM，使D點(diǎn)落在邊HG上.同理P點(diǎn)也演化為類(lèi)似問(wèn)題.

（3）在圖8中，誰(shuí)能告訴老師BH、AH、DG、QH、QG各是多少嗎？

（4）請(qǐng)找出圖8中矩形AHGD的有關(guān)已知線段.

在學(xué)生找出AD=5、DG=3，GQ=1后，師生從圖8中提煉出圖9中的問(wèn)題，在矩形AHGD中，AD=5、DG=3，沿直線AE折疊△ADE，D點(diǎn)恰好落在GH上Q點(diǎn)，且已知QG= 1，求DE的長(zhǎng).

教師：怎樣求DE的長(zhǎng)呢？你對(duì)這樣的問(wèn)題熟悉嗎？是否有一種似曾經(jīng)相識(shí)的感覺(jué)？

這時(shí)學(xué)生頭腦中熟悉的翻折模型被喚醒了：將圖形的一個(gè)角的頂點(diǎn)折到圖形某邊所在直線上.這里是將矩形的一個(gè)“拐”△ADE的頂點(diǎn)D折到與△ADE的邊DE所在線DG相鄰的邊HG上.既然問(wèn)題與熟知的模型有關(guān)，就得回到模型中去認(rèn)識(shí).

3.回到模型中去，研方法

（1）該模型中已知哪些量，求解什么量？

（2）這種翻折模型中通常潛藏著怎樣的基本模型？（生答勾股定理模型）

（3）是勾股定理中什么變式模型？這類(lèi)模型通常轉(zhuǎn)化為什么來(lái)求解？

學(xué)生指出，這屬于定長(zhǎng)線段DG被折彎后構(gòu)成直角三角形變式模型，這類(lèi)模型需要轉(zhuǎn)化為方程來(lái)求解.設(shè)DE=EQ=x，EG=3-x，則有12+（3-x）2=x2，解得故.同理，當(dāng)D′位于圖7中的P點(diǎn)時(shí)，DG=4、PG=2，令DE=EQ=x，則有22+（4-x）2=x2，解得

四、教學(xué)感悟

（一）節(jié)點(diǎn)式解題教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)

1.指向明確，思維集中

節(jié)點(diǎn)式解題教學(xué)，把試題看成節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，解題教學(xué)是發(fā)生在節(jié)點(diǎn)處的教學(xué)活動(dòng)，使思維涌向局部知識(shí)塊，有益于節(jié)點(diǎn)的突破.這種節(jié)點(diǎn)式解題教學(xué)，它指向明確，思維集中，靶式突破.教者在每個(gè)環(huán)節(jié)中能保持清醒的頭腦和堅(jiān)定信念，思考的方向具體、明確；聽(tīng)者心鏡明亮，能抓住聽(tīng)講重心與問(wèn)題關(guān)鍵，易于注意力集中，催發(fā)思維激蕩在節(jié)點(diǎn)的“文化板塊”中，快速融入問(wèn)題，積極思考，高效理解.

2.再現(xiàn)過(guò)程，延伸“場(chǎng)外”

“沒(méi)有過(guò)程的結(jié)果是事實(shí)的外在灌輸”（羅增儒語(yǔ)），節(jié)點(diǎn)式教學(xué)能有效地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的思維活動(dòng)真實(shí)過(guò)程，是真正意義上的“過(guò)程解題”.它通過(guò)節(jié)點(diǎn)，有效地將漫長(zhǎng)的解題教學(xué)過(guò)程劃分成幾個(gè)片斷，掛接在節(jié)點(diǎn)處.正如一篇文章被分成若干段，只要掌握每一段的段義，就能復(fù)敘各段具體內(nèi)容一樣，從而通曉全文.節(jié)點(diǎn)式教學(xué)能有效地將解題過(guò)程長(zhǎng)久滯留于學(xué)生頭腦之中，在“場(chǎng)外”能及時(shí)清晰“再現(xiàn)”出來(lái)，在“場(chǎng)內(nèi)”的學(xué)習(xí)體驗(yàn)也延伸到“場(chǎng)外”，并經(jīng)久不衰.

3.立足節(jié)點(diǎn)，告別零收益

這種解題教學(xué)好處多多：（1）通過(guò)把復(fù)雜問(wèn)題分成塊塊，利于各個(gè)擊破；（2）節(jié)點(diǎn)理論，有利于縮小問(wèn)題的包圍圈，有利于學(xué)生思維集中在認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的局部領(lǐng)域，使思維活躍在更小的范圍空間，形成“錐形思維”，易于找到突破口，推進(jìn)解題；（3）這種教學(xué)中心明確，便于學(xué)生集中精神，讓思維停留在某個(gè)核心上，利于放下畏難情緒，讓更多學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，讓不同學(xué)力的學(xué)生各有收獲，收獲在不同環(huán)節(jié).學(xué)困生知道哪個(gè)節(jié)點(diǎn)聽(tīng)懂，哪個(gè)節(jié)點(diǎn)沒(méi)聽(tīng)明白，哪個(gè)節(jié)點(diǎn)課后“墊一墊腳”自己能“夠到”，哪個(gè)節(jié)點(diǎn)還需課后找老師繼續(xù)點(diǎn)拔或?qū)で筝o導(dǎo)，樹(shù)立了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.這樣的課堂，讓學(xué)困生真正告別了昔日一堂課下來(lái)零收益的現(xiàn)象.

（二）節(jié)點(diǎn)式解題教學(xué)的建議

1.回歸“板塊”，突破節(jié)點(diǎn)

每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有自身的“文化板塊”，在節(jié)點(diǎn)面前，只有回到節(jié)點(diǎn)的“文化板塊”中去，才能找到化解節(jié)點(diǎn)的知識(shí)、方法、思想，所以數(shù)學(xué)解題的起點(diǎn)是“回到節(jié)點(diǎn)板塊中去”.著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞指出，在解決問(wèn)題時(shí)，或在解決問(wèn)題遇到困難時(shí)，告誡人們要“回到定義中去”.實(shí)質(zhì)上構(gòu)成試題的不光是概念（定義），還有定理、公式、運(yùn)算（或運(yùn)算律）、模型、圖形對(duì)稱性與操作活動(dòng)等.在試題的節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)理論中，這些正是構(gòu)成節(jié)點(diǎn)“文化板塊”的數(shù)學(xué)內(nèi)容所在.數(shù)學(xué)試題的節(jié)點(diǎn)有著豐富的內(nèi)容，解題教學(xué)的目光應(yīng)鎖定在節(jié)點(diǎn)的“文化板塊”內(nèi)，從哪來(lái)回哪去，自然而然間突破了節(jié)點(diǎn).

在一定意義上，數(shù)學(xué)解題教學(xué)就是在局部范圍內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)節(jié)點(diǎn)的發(fā)生、形成、發(fā)展的過(guò)程，在節(jié)點(diǎn)的“文化板塊”內(nèi)回審節(jié)點(diǎn)的作用，或發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)中的模型，最后水到渠成.

2.慢“燉”火候，靜等“開(kāi)花”

數(shù)學(xué)解題過(guò)程正如煲湯，講究的是“慢燉火候”.節(jié)點(diǎn)式解題教學(xué)，慢在節(jié)點(diǎn)處，要多給學(xué)生時(shí)間思考、操作、實(shí)驗(yàn)、嘗試失敗，在交流碰撞、反思中，靜等學(xué)生思維開(kāi)花.在倡導(dǎo)“慢教育”的理念下，解題教學(xué)應(yīng)慢在何處？慢在何時(shí)？怎樣才能慢下來(lái)？節(jié)點(diǎn)式解題教學(xué)就這樣的慢下來(lái)了，慢在節(jié)點(diǎn)處的“文化板塊”中，慢在節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生思維障礙時(shí).每個(gè)節(jié)點(diǎn)的“文化板塊”有著各自的豐富知識(shí)，需要去喚醒、去串聯(lián)、去“勾兌”、去有效整合，這需要留下時(shí)間.既是節(jié)點(diǎn)，必有思維之障，這時(shí)需要破“障”，需要尋求破“障”之法，所以要有時(shí)間去“思辨”.如此，想不慢都不行.慢，才是真實(shí)解題，慢，思維才會(huì)“開(kāi)花”、“結(jié)果”.

那種鼻子眉毛一把抓，所有信息一把羅的解題方式，難免混亂思維，常常是“浮云遮望眼”，陷入泥潭沼澤中.無(wú)論是整個(gè)問(wèn)題，還是局部的節(jié)點(diǎn)，“回到節(jié)點(diǎn)文化板塊中去”是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的著腳點(diǎn).

1.戴向陽(yáng).行走在思維節(jié)點(diǎn)上的中考試題教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（12）.

2.劉華.關(guān)注“過(guò)程”讓例題教學(xué)更高效［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（3）