李勉洪，丁國鵬，鄭偉波

(中國科學(xué)院 上海技術(shù)物理研究所，上海200083)

0 引 言

星敏感器是以恒星為參照物的高精度空間姿態(tài)測量裝置，它通過探測識別天球坐標(biāo)系中恒星來確定衛(wèi)星、導(dǎo)彈等航空航天飛行器相對于慣性坐標(biāo)系的三軸姿態(tài)，具有重要的應(yīng)用價值。目前，星敏感器正沿著高可靠性、小型一體化、自主、大視場、高數(shù)據(jù)更新率、高精度的方向發(fā)展［1］。單星測角精度是星敏感器整體精度的基礎(chǔ)，它直接影響姿態(tài)角測量精度。大視場光學(xué)系統(tǒng)會引入的非線性畸變，隨著星敏感器的視場角增大，將會影響其測量精度。另外，加工裝配誤差使得探測器平面存在傾斜旋轉(zhuǎn)，這將導(dǎo)致圖像出現(xiàn)傾斜畸變，從而影響星敏感器的測量精度。因此，必須對于大視場星敏感器進(jìn)行標(biāo)定，實(shí)現(xiàn)畸變校正，以便提高星敏感器整體測量精度。

目前，通常采用畸變模型法［2］及其改進(jìn)方法，比如:分區(qū)線性畸變模型校正［3］實(shí)現(xiàn)畸變校正，或者通過直接映射法［4］進(jìn)行畸變校正。但是大視場光學(xué)系統(tǒng)的畸變無法準(zhǔn)確進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，精度要求越高，模型越復(fù)雜，參數(shù)越多，位置變換關(guān)系越復(fù)雜，不適合實(shí)時計算。而隨著視場角和探測器分辨率的增大，直接映射法需要建立龐大的位置映射表，而采用細(xì)分法進(jìn)行亞像元質(zhì)心定位后，其映射表將變得更大，不適用于嵌入式系統(tǒng)。對此，本文提出一種基于遺傳算法優(yōu)化的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行大視場星敏感器的標(biāo)定方法，利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力表達(dá)復(fù)雜的非線性畸變模型，再通過遺傳算法優(yōu)化克服BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)局部優(yōu)化的缺陷。

1 星敏感器標(biāo)定原理

1.1 單星成像模型

空間物體到相機(jī)成像平面的成像過程通?？梢钥醋魇且粋€中心投影的過程，一般使用針孔成像模型來描述，如圖1所示。圖中Oc為投影中心，在攝像機(jī)模型中稱為光心，其到成像平面π 的距離f 稱為焦距。過點(diǎn)Oc垂直成像平面π 的直線稱為主軸，其與成像平面的交點(diǎn)Os稱為主點(diǎn)?？臻g恒星Pc與光心Oc的連線與成像平面的交點(diǎn)Ps即為該恒星在成像平面所成的像。

圖1 星敏感器成像原理圖Fig 1 Imaging principle of star sensor

根據(jù)上述投影模型建立攝像機(jī)坐標(biāo)系OcXcYcZc，成像平面坐標(biāo)系OsXsYs以及計算機(jī)圖像坐標(biāo)系OiXiYi，假設(shè)恒星P 在該坐標(biāo)系下的單位向量為Pc=［X，Y，Z］，其在成像平面所成的像在圖像坐標(biāo)系下通過質(zhì)心定位獲得的坐標(biāo)記為Pi=［u，v］，單位為像素(pixel)，主點(diǎn)Os在圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)記為Po=［u0，v0］，則可以建立如下投影關(guān)系的數(shù)學(xué)描述

其中，Dx，Dy分別為探測器像元的高和寬。

1.2 單星測角原理

圖2 所示為單星測角系統(tǒng)。

圖2 單星測角系統(tǒng)Fig 2 Single star angle measurement system

該系統(tǒng)在測量過程中使用了高精度的二維轉(zhuǎn)臺(精度為0.001°)，把大視場星敏相機(jī)固定在二維轉(zhuǎn)臺上，積分球光源通過針孔分劃板的光被平行光管準(zhǔn)直后形成的平行星光在相機(jī)成像平面的主點(diǎn)位置產(chǎn)生星點(diǎn)像。轉(zhuǎn)動二維轉(zhuǎn)臺，記下此時二維轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)角度值為［ωx，ωy］，則由坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)矩陣可以獲得平行光管產(chǎn)生的星點(diǎn)目標(biāo)在攝像機(jī)坐標(biāo)系的單位向量為

由式(1)和式(2)可以獲得星點(diǎn)像坐標(biāo)與轉(zhuǎn)臺角位置的關(guān)系

則根據(jù)星點(diǎn)像質(zhì)心位置，可以反推得出二維轉(zhuǎn)臺的角位置

1.3 標(biāo)定原理

星敏感器光學(xué)系統(tǒng)存在不同程度的幾何畸變，視場越大，畸變程度越嚴(yán)重。另外由于存在加工誤差和裝配誤差，探測器成像平面與光學(xué)系統(tǒng)的光軸并不嚴(yán)格垂直，探測器成像平面與理想安裝方式有一個旋轉(zhuǎn)角度，成像平面主點(diǎn)位置發(fā)生偏移，這些因素都將導(dǎo)致實(shí)際星像點(diǎn)的質(zhì)心位置P'i=［u'，v'］與理想星像點(diǎn)質(zhì)心位置Pi=［u，v］并不重合，從而引入測角誤差，影響星敏感器精度。

星敏感器的標(biāo)定原理是通過一些已知的參考點(diǎn)，即無失真圖像中某些星像點(diǎn)質(zhì)心位置和畸變圖像相應(yīng)星像點(diǎn)質(zhì)心位置間對應(yīng)關(guān)系，建立起整個圖像中畸變坐標(biāo)與理想坐標(biāo)之間的映射關(guān)系，從而達(dá)到標(biāo)定的目的。

鑒于星敏感器畸變模型無法準(zhǔn)確建模以及直接映射法在大視場和大分辨率圖像的應(yīng)用場景下數(shù)據(jù)量龐大的缺陷，本文采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來表達(dá)星敏感器畸變這一非線性系統(tǒng)，并通過遺傳算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，從而實(shí)現(xiàn)大視場星敏感器的標(biāo)定。

2 標(biāo)定方法與關(guān)鍵算法

2.1 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3 所示。其中，ai，bk為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)閾值，wij，wik為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。從圖3 可以看出:BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以看成一個非線性函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值為該函數(shù)的參數(shù)。輸入信號從輸入層經(jīng)隱含層逐層處理直至輸出層，如果輸出層得不到期望輸出，則反向傳播，根據(jù)誤差調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，從而使BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不斷逼近期望輸出。

圖3 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DFig 3 Topological diagram of BP neural network

2.2 獲取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本集

假設(shè)星敏相機(jī)的視場角為θx×θy，其中，θx為水平視場角，θy為垂直視場角;圖像尺寸為M×N，焦距為f，采用圖2所示的測角系統(tǒng)，將星敏相機(jī)固定于二維轉(zhuǎn)臺上，保證相機(jī)光軸于平行光管光軸，采集圖像并獲得星像點(diǎn)的位置坐標(biāo)為C00=［x00，y00］，分別以Δθx和Δθy的角度增量在相機(jī)視場范圍內(nèi)旋轉(zhuǎn)二維轉(zhuǎn)臺X 方向和Y 方向，則可以得到二維轉(zhuǎn)臺在視場范圍內(nèi)的角位置為

在上述二維轉(zhuǎn)臺的每個角位置獲取圖像并通過文獻(xiàn)［5］所述質(zhì)心定位算法獲得對應(yīng)星像點(diǎn)sij的坐標(biāo)位置

其中，xij和yij分別為圖像平面的行坐標(biāo)和列坐標(biāo)。

根據(jù)以下公式

構(gòu)造畸變樣本集合

根據(jù)公式(3)可以獲得星像點(diǎn)Sij對應(yīng)的理想成像坐標(biāo)記為由此構(gòu)造期望輸出理想樣本集Cu=。根據(jù)式(8)采用最大最小法歸一化Cd，Cu得到歸一化的輸入樣本集和對應(yīng)的輸出樣本集

其中

2.3 遺傳算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是以梯度下降法為基礎(chǔ)的非線性優(yōu)化方法，不可避免存在局部極小問題。而且實(shí)際問題的求解空間往往是極其復(fù)雜的多維曲面，存在許多局部極小點(diǎn)，更使網(wǎng)絡(luò)陷入局部極小點(diǎn)的可能性增加，采用隨機(jī)初始化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值的方法很難使得網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練達(dá)到全局最優(yōu)［6］。本文采用遺傳算法對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，通過遺傳算法得到更好的網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值和閾值，其基本思想就是利用個體代表網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值，通過遺傳操作尋找最優(yōu)個體作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)初始權(quán)值和閾值。具體操作步驟如下:

1)確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，采用三層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)p=2，輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)q=2，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)l ＜，其中，a 為0～10 之間的常數(shù)，輸入層和隱含層的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移函數(shù)采用log－sigmoid 函數(shù)，輸出層節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移函數(shù)采用線性函數(shù)。

2)通過遺傳算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值。遺傳算法的基本要素包括染色體編碼方法、適應(yīng)度函數(shù)、選擇、交叉和變異等遺傳操作以及運(yùn)行參數(shù)。

本文采用實(shí)數(shù)串編碼方式，每個個體均用一個實(shí)數(shù)串表示，由輸入層與隱含層連接權(quán)值、隱含層閾值、隱含層與輸出層連接權(quán)值和輸出層閾值4 部分組成，第i 個個體ai表示為{ai1，ai2，…，ain}其中，n=(p+q+1)×l+q，i=1，2，…，N，N 為種群規(guī)模。

采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差大于某個閾值的比例作為個體的適應(yīng)度值，即將每個個體作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值和閾值，用訓(xùn)練樣本集進(jìn)行初步訓(xùn)練，得到的預(yù)測誤差大于某個閾值的比例作為個體適應(yīng)度，個體適應(yīng)度越小，個體越優(yōu)。

采用實(shí)數(shù)交叉，第k 個染色體ak和第l 個染色體al在j 位的交叉操作方法如下

其中，b 為0 ～1 之間的隨機(jī)數(shù)。

變異操作，選取第i 個個體的第j 個基因aij進(jìn)行變異，變異操作如下

其中，amax為基因aij的上界，amin為基因aij的下界，f(g)=r2(1－g/Gmax)2，r2為一個隨機(jī)數(shù)，g 為當(dāng)前迭代次數(shù)，Gmax為最大進(jìn)化次數(shù)，r 為0 ～1 之間的隨機(jī)數(shù)。

遺傳算法優(yōu)化的具體步驟如下:

a.設(shè)置種群規(guī)模、進(jìn)化次數(shù)、交叉概率以及變異概率;并在初始化范圍內(nèi)初始化每個個體，并計算每個個體的適應(yīng)度;

b.進(jìn)行選擇、交叉和變異操作獲得新一代種群，計算該種群每個個體的適應(yīng)度，從中找出最優(yōu)個體并替換最差個體;

c.判斷是否達(dá)到終止條件，即進(jìn)化次數(shù)是否結(jié)束，若不是，則返回上一步;

d.將最優(yōu)個體的實(shí)數(shù)編碼保存下來，作為下步神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的初始權(quán)值和閾值。

3)訓(xùn)練BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)置最大訓(xùn)練次數(shù)，學(xué)習(xí)速率和最大誤差平方和，在每一輪迭代中，分別取訓(xùn)練樣本集中畸變坐標(biāo)樣本作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入，計算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出向量Oij，并與對應(yīng)的理想輸出樣本比較。將比較誤差用于調(diào)節(jié)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值和閾值，反復(fù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，直到滿足終止條件，即到達(dá)迭代次數(shù)或者誤差滿足要求，保存該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和模型參數(shù)。

4)獲得不同隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其模型參數(shù)，比較誤差，保存最優(yōu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模型參數(shù)作為最終畸變校正的模型。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

實(shí)驗(yàn)用星敏感器的具體參數(shù)如表1 所示。

表1 星敏感器參數(shù)Tab 1 Parameters of star sensor

根據(jù)2.1 小節(jié)所述采集獲得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本集，其中Δθx=Δθy=1°，共獲得個4 870 個有效樣本。其對比圖如圖4 所示。

圖4 畸變坐標(biāo)和理想坐標(biāo)對比圖Fig 4 Comparison of distorted coordinates and ideal coordinates

根據(jù)上述訓(xùn)練樣本訓(xùn)練遺傳算法優(yōu)化的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)置BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最大訓(xùn)練次數(shù)為800，學(xué)習(xí)速率η=0.01，允許最大誤差平方和為ε=0.001，設(shè)置遺傳算法種群規(guī)模為15，進(jìn)化次數(shù)為50，交叉概率為0.3，變異概率為0.2，訓(xùn)練得出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)，進(jìn)行坐標(biāo)畸變校正?？梢缘玫叫Ｕ鴺?biāo)和理想坐標(biāo)的對比圖如圖5 所示。

圖5 校正坐標(biāo)與理想坐標(biāo)對比圖Fig 5 Comparison of calibrated coordinates and ideal coordinates

在與訓(xùn)練樣本集不同的轉(zhuǎn)臺角位置獲取測試樣本集進(jìn)行校正，并與文獻(xiàn)［7］中所述的分區(qū)擬合方法進(jìn)行比較，計算后誤差分析如表2 所示。

表2 誤差分析Tab 2 Error analysis

假設(shè)分區(qū)整體擬合法將整個視場分為M×N 個區(qū)域，則擬合所得的參數(shù)個數(shù)為6×M×N，另外還需要M+N 個輔助參數(shù)，則總共有M+N+6MN 個參數(shù)，本實(shí)驗(yàn)采用M=N=3 的分區(qū)參數(shù)，則總共有60 個參數(shù)。而本文方法需要5l+2 個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)，其中，l 為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)，取值范圍為2 ～12，另外需要10 個輔助參數(shù)，本實(shí)驗(yàn)中l(wèi)=9，因此，總共需要57 個參數(shù)。

而由表2 可以得出，遺傳算法優(yōu)化BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的平均絕對誤差和最大絕對誤差相比分區(qū)整體擬合法均有所降低，在所需參數(shù)相近的情況下，精度比分區(qū)整體擬合法提高將近1 倍，這說明本文提出的大視場星敏畸變校正方法是一種有效的方法。

4 結(jié) 論

本文分析了影響星敏感器測角精度的因素，建立了大視場星敏感器標(biāo)定系統(tǒng)，提出使用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表達(dá)大視場星敏感器畸變這一非線性模型，并采用遺傳算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，克服其容易陷入局部優(yōu)化的缺陷。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:本文提出的標(biāo)定方法精度高，使得單星測角誤差由標(biāo)定前的0.14°降低到0.0053°，測角精度提高將近30 倍，并且效率高，穩(wěn)定性好。

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