☉江蘇省海安縣教育局教研室 何 明

由博返約，追求簡潔
——一道“雙曲線”綜合題的命題過程

☉江蘇省海安縣教育局教研室 何 明

在最近縣級九年級學(xué)業(yè)水平測試命題活動中，我們設(shè)計了一道以“雙曲線”為載體的綜合題，測試完畢，試題被傳播到網(wǎng)絡(luò)，得到不少命題愛好者的熱議，大家認(rèn)為該題形式簡潔、內(nèi)涵豐富，是一道優(yōu)秀的數(shù)學(xué)試題．本文呈現(xiàn)這道原創(chuàng)題的命題過程，并給出相關(guān)思考，供研討．

一、命題過程

本地區(qū)使用的是人教版課標(biāo)教材，反比例函數(shù)在九年級才學(xué)習(xí)，命題組擬在全卷最后的關(guān)鍵位置設(shè)計一道以反比例函數(shù)為載體的綜合題，現(xiàn)給出該題的命制過程．

（1）求k的值.

（2）如圖2，將∠MON繞點O旋轉(zhuǎn)，射線OM始終在第一象限，交l1于點C，射線ON交l2于點D，連接CD交y軸于點Q，在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠OCD的大小是否發(fā)生變化？若不變化，求出tan∠OCD的值；若變化，請說明理由.

（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點Q為CD的中點時，CD所在的直線與l1有幾個公共點？求出公共點的坐標(biāo)．

圖1

圖2

由AB∥x軸，得AB⊥OP.又∠MON＝90°，則△OPA∽△BPO，則

（2）∠OCD的大小不變．

如圖3，過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F.

圖3

（3）當(dāng)點Q為CD的中點時，可得OE＝OF，結(jié)合（2）中的思考有又m>0，則m＝2.則C（2，1）、D（-2，4）．

則CD所在的直線與l1有兩個公共點，分別是（2，1）

打磨意見：從第1稿及解法簡述可以發(fā)現(xiàn)：試題涉及的知識點、數(shù)學(xué)方法很多，已達(dá)到了把關(guān)題的區(qū)分要求．然而，從試題追求簡潔的角度出發(fā)，第1稿達(dá)到250個字符、包含兩幅繁雜的圖形，而且題干的敘述也顯得啰嗦拖沓、不夠簡潔．經(jīng)過構(gòu)思，形成第2稿.

第2稿：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OM、ON與曲線分別相交于點A、B，連接AB交y軸于點P．

（1）當(dāng)AB∥x軸時，求△AOB的面積.

（2）如圖5，當(dāng)OM⊥ON時，記∠OAB＝α，∠OBA＝β．

①求證：tanα＝4tanβ；

圖4

圖5

打磨意見：與第1稿相比，試題從250字精減為130字，特別是題干敘述簡潔、自然，帶有一般性．把∠MON＝90°改為后兩個問題中“小題干”中的條件“OM⊥ON”，并且把原來“求出tan∠OCD的值”改為“求證：tanα＝4tanβ”，追求了多樣化的設(shè)問方式．然而第一問求一個變化的三角形的面積，這種設(shè)問方式也不夠恰當(dāng)，需要改進(jìn)；第二問“小題干”中的“∠OAB＝α，∠OBA＝β”沒有能在②中發(fā)揮價值；圖4、圖5呈現(xiàn)了兩種特殊位置形式，對學(xué)生的暗示作用稍顯太強(qiáng)；還有，不同問題之間條件的關(guān)聯(lián)、呼應(yīng)還不夠緊密．于是形成第3稿．

第3稿：如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OM、ON與曲別相交于點A、B，連接AB交y軸于點P．

圖6

（1）求證：當(dāng)AB∥x軸時，△AOB的面積為定值.

（2）當(dāng)OM⊥ON時，記∠OAB＝α，∠OBA＝β．

①求證：tanα＝4tanβ；

打磨意見：這一稿主要優(yōu)化了第2稿中幾個不足，而且只有一個圖，使得問題呈現(xiàn)更加簡潔.然而OM、ON這兩條射線只是為了帶來兩個交點A、B，其他的價值并不是很大，克服這個不足，帶來了根本的命題轉(zhuǎn)向，問題立即簡化成第4稿（考題）．

（1）求證：當(dāng)AB∥Ox時，△OAB的面積為定值.

（2）若OA垂直于OB，

①求證：OB＝2OA；

②當(dāng)線段AB的中點在y軸上時，求點A的坐標(biāo)．

命題意圖：刪減了射線OM、ON的表述之后，就不用再給出圖像輔助思考了，改為讓學(xué)生自己構(gòu)造圖像分析，這樣一道試題只剩下90個字符、沒有圖形.追求“好的題目”（見文1）的一個表征：簡潔好懂、自然生長.（2）①刪減了旁枝“正切函數(shù)”的干擾，削枝強(qiáng)干，回歸對函數(shù)本質(zhì)的考查.由于考生需要自己構(gòu)思圖像、變換圖像分析，難度增加了，所以最后一問只求A點的坐標(biāo)，這樣也回避了初中階段“課程課標(biāo)”限制的求直線與曲線交點的方程組“超標(biāo)”問題．

二、進(jìn)一步思考

1.由博返約，追求簡潔，凸顯數(shù)學(xué)味道

從上面的命題過程能看出，我們經(jīng)歷了豐富的思考，比如想通過一道綜合題把太多的數(shù)學(xué)知識或方法綜合進(jìn)來，正是這種追求“大、全、泛”的命題取向生成了第1稿那樣的大容量綜合題，在后續(xù)打磨和優(yōu)化后，僅從字?jǐn)?shù)上看，從250個字符到130個字符，再到90個字符，簡潔的追求確實是這道試題不斷得到優(yōu)化的一種動力.再有，第1～3稿兼顧了射線、垂直、平行、銳角三角函數(shù)等幾何元素，卻使得試題成為“坐標(biāo)系搭臺，平面幾何唱戲”的怪怪的試題（見文2），而第4稿則削枝強(qiáng)干，讓問題回到函數(shù)主體，設(shè)問上也放棄了銳角三角函數(shù)，但求解時學(xué)生卻可以思考相似、銳角三角函數(shù)等知識．

2．自然生長，內(nèi)斂藏鋒，追求教學(xué)導(dǎo)向

打磨到第3稿、第4稿時，基本追求了章建躍教授倡導(dǎo)的“好的題目”追求簡潔好懂、自然生長的要求．值得一說的是，前面3稿的最后一問都需要分類討論，為何第4稿卻放棄了分類討論？一方面是整卷上已有其他幾處涉及分類討論思想方法；另一方面，這種設(shè)問取舍也是基于一種“內(nèi)斂藏鋒”的命題取向，即命題者常常需要把對一個問題深入研究的探索成果經(jīng)過取舍后設(shè)問，而不宜在試題上要求考生圓滿解答命題者命制期間獲得的太多結(jié)論．還有，除了追求試題的考查、區(qū)分功能，作為全卷的把關(guān)題，還需要認(rèn)真構(gòu)思試題的教學(xué)導(dǎo)向，像第4稿這樣的試題，就導(dǎo)向重視函數(shù)概念的教學(xué)．

1.章建躍．發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長期利益［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2013（2）.

2.賀信淳．從多角度審視一道中考試題說開去——談對初中數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀之惑［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2013（12）.Z