☉江蘇省蘇州陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 孫 凱

經(jīng)營起點(diǎn)，傳遞幾何研究“基本套路”意識(shí)
——以“線段的垂直平分線”教學(xué)為例

☉江蘇省蘇州陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 孫 凱

線段的垂直平分線的教學(xué)通常被安排在軸對(duì)稱一章，并且多是學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形之后，基于對(duì)稱軸角度引入概念，并通過度量發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)，再“反過來”思考其判定．筆者經(jīng)過構(gòu)思，決定把角平分線的尺規(guī)作圖作為本課的起點(diǎn)，變式出作平角的角平分線，從而引入新課內(nèi)容．下面整理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并附教學(xué)設(shè)計(jì)的立意解讀，與同行研討．

一、“線段的垂直平分線”教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）從角平分線的尺規(guī)作圖遷移到線段垂直平分線的學(xué)習(xí)，感受前后知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)；

（2）探索線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定方法，積累幾何圖形研究的套路意識(shí)；

（3）善于運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)推證問題，簡化幾何語句的組織書寫．

（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)與判定．

難點(diǎn)：善于運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)或判定簡化幾何問題求解．

（三）教學(xué)流程

【開課引入】

問題1：尺規(guī)作圖，作∠AOB的平分線OC．

預(yù)設(shè)：學(xué)生作出圖1后，追問作圖依據(jù)，“為什么OC平分∠AOB？”，引導(dǎo)學(xué)生回顧全等三角形的判定方法．

變式：作一個(gè)平角的角平分線．

預(yù)設(shè)：如圖2，在直線AB上取一點(diǎn)C，得到平角∠ACB，再作角平分線．

圖1

圖2

追問1：此時(shí)CM與AB有怎樣的位置關(guān)系？（MC⊥AB）

追問2：有一種基本作圖，“過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線”，你會(huì)操作嗎？（本質(zhì)上就和作平角的角平分線類似）

【新知探索】

教師示范：尺規(guī)作圖，作線段的垂直平分線（如圖3）．

預(yù)設(shè)：安排學(xué)生模仿操作后，追問學(xué)生上述作圖的理由是什么.（要求學(xué)生標(biāo)出字母，方便表達(dá)操作的理由，主要是從全等的角度說出理由）

定義（板書）：經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）．

性質(zhì)探究：如圖4，直線CD垂直平分線段AB，垂足為M．在直線CD上任取兩點(diǎn)P1、P2，度量P1、P2到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3

圖4

預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P1（P2）到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離相等，于是可以得出一個(gè)猜想（板書）：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

追問：通過度量、猜想發(fā)現(xiàn)到的性質(zhì)，需要思考如何證明，你們會(huì)證明嗎？（安排學(xué)生用全等方法證明）學(xué)生證明之后，在黑板上把“猜想”改寫為“性質(zhì)定理”，并板書符號(hào)語言．

逆向思考：在之前學(xué)習(xí)角平分線的性質(zhì)之后，我們還“反過來”思考了角平分線的判定．同樣，得出線段的垂直平分線的性質(zhì)定理之后，我們是不是也可“反過來”思考呢？（安排學(xué)生獨(dú)立思考、小組內(nèi)交流）

猜想發(fā)現(xiàn)（板書）：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．

預(yù)設(shè)：安排學(xué)生證明垂直平分線的判定，并板書符號(hào)語言．

【應(yīng)用新知】

尺規(guī)作圖：已知銳角三角形（如圖5，△ABC）、直角三角形（如圖6，△ABC，∠C=90°）．

圖5

圖6

（1）在圖5、6中，分別作出邊AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，在圖5中，連接CD，若BC=3，AB=5，求△BCD的周長；

（3）在（1）的條件下，在圖6中，小成同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步的探究發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)D也在邊BC的垂直平分線上！你覺得小成的發(fā)現(xiàn)有道理嗎？

意圖：（1）主要訓(xùn)練線段垂直平分線的尺規(guī)作圖；（2）訓(xùn)練線段垂直平分線的性質(zhì)定理，并利用定理轉(zhuǎn)化問題；（3）既訓(xùn)練線段的垂直平分線的判定，又將問題設(shè)計(jì)在直角三角形這一載體上，隱含著直角三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)恰在斜邊的中點(diǎn)處，同時(shí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)與判定作鋪墊．

【課堂小結(jié)】

（1）類比角平分線學(xué)習(xí)線段的垂直平分線，注意它們的同與不同.

（2）我們知道：點(diǎn)動(dòng)成線，即線是點(diǎn)動(dòng)而成的．而前面的學(xué)習(xí)中，角平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合，那么對(duì)于線段的垂直平分線，是不是也可以從點(diǎn)的集合角度來理解呢？（預(yù)設(shè)學(xué)生總結(jié)出：線段的垂直平分線可以看成是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合，并板書“再定義”）

【布置作業(yè)】

題1：已知：如圖7，∠AOB，點(diǎn)M、N．求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PM＝PN．（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

題2：如圖8，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，猜想AD、EF的關(guān)系，并說明理由．

圖7

圖8

意圖：題1主要訓(xùn)練角平分線、線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖；題2主要訓(xùn)練利用線段的垂直平分線的判定方法來簡化證明過程．

（四）板書設(shè)計(jì)

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.從角平分線出發(fā)，貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”開展教學(xué)

我們知道，不少版本的教材在引入線段的垂直平分線時(shí)，通常都是從軸對(duì)稱圖形入手，從對(duì)稱軸的角度發(fā)現(xiàn)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，這樣的安排固然有其合理性，然而從幾何知識(shí)前后一致、邏輯連貫的高觀點(diǎn)來看，從角平分線的尺規(guī)作圖出發(fā)似乎更有“幾何味道”，既有全等三角形判定的復(fù)習(xí)，又是從一般的角平分線中特殊化，研究特殊的角——平角的角平分線的作法，而恰恰又得到了“過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線”這一基本作圖，為日后學(xué)習(xí)“過一點(diǎn)作已知直線的垂線”提供了一個(gè)知識(shí)生長點(diǎn)．這種開課引入的方式，既貼近了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，又反映了數(shù)學(xué)中“一般與特殊”之間的研究視角．

2.經(jīng)營教學(xué)的關(guān)聯(lián)，向?qū)W生傳遞幾何“基本套路”意識(shí)

文2中總結(jié)了優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)的一種表征：經(jīng)營“轉(zhuǎn)場”，讓教學(xué)環(huán)節(jié)過渡自然．筆者深受啟發(fā)，在上面的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，努力構(gòu)思前后教學(xué)活動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)，既有知識(shí)體系上的前后一致，又有研究方法上的“基本套路”的強(qiáng)化.如例題教學(xué)，我們沒有安排多道例題進(jìn)行習(xí)題拼湊式的講評(píng)，而是從兩種不同形狀的三角形出發(fā)，安排尺規(guī)作圖，并在作圖的基礎(chǔ)上變式生長出一些訓(xùn)練題，既圍繞本課的教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練，又暗藏著未來要學(xué)習(xí)的等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形“外心”的性質(zhì)等內(nèi)容．

1.馬公仕．靠近“最近發(fā)展區(qū)”，聚焦初中幾何特點(diǎn)——以七年級(jí)“直線、射線、線段”教學(xué)為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）．

2.張誠，張成品．經(jīng)營“轉(zhuǎn)場”：讓教學(xué)環(huán)節(jié)過渡自然——《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2015年1～3月讀刊隨筆［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（5）.Z