☉江蘇省如皋市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)袁橋初級中學(xué) 李建華

基于“超經(jīng)驗(yàn)”，構(gòu)建邏輯連貫的幾何教學(xué)
——以“等腰三角形（第1課時(shí)）”教學(xué)為例

☉江蘇省如皋市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)袁橋初級中學(xué) 李建華

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）一年來刊發(fā)過多篇等腰三角形（第1課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì)，老師們的設(shè)計(jì)多忠實(shí)于各自的教材，并在教材的基礎(chǔ)上“小修小補(bǔ)”，體現(xiàn)著各自的教材理解、教學(xué)理解，筆者受益其中，新的學(xué)期，有機(jī)會(huì)執(zhí)教該課，決定放棄教材上“折紙操作實(shí)驗(yàn)”的引入方式，基于數(shù)學(xué)前后一致、邏輯連貫，設(shè)計(jì)了“超經(jīng)驗(yàn)”的數(shù)學(xué)情境，也取得了較好的教學(xué)效果．本文整理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并整體闡釋教學(xué)立意，與同行研討．

一、“等腰三角形（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）從線段的垂直平分線的作圖出發(fā)，分離出等腰三角形，并探究等腰三角形的性質(zhì)與證明；

（2）在“等邊對等角”證出之后，引導(dǎo)學(xué)生“反過來”思考并證明“等角對等邊”，滲透數(shù)學(xué)研究的“基本套路”；

（3）通過相關(guān)例題、作業(yè)，鞏固所學(xué)等腰三角形的新知，感受新知在推證問題過程中的簡化程度．

（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)與判定的多樣化證明與辨析；

難點(diǎn)：善于用“等邊對等角”“三線合一”“等角對等邊”簡化證明表達(dá)．

圖1

圖2

（三）教學(xué)流程

【開課引入】

問題：尺規(guī)作圖，作出線段的垂直平分線．

預(yù)設(shè)：學(xué)生各自作圖后，要求他們在垂直平分線上任取兩點(diǎn)，得出圖1，為進(jìn)一步分離圖形追問性質(zhì)服務(wù)．

追問：在圖1中，△ABC、△PBC有何特殊？（等腰三角形，揭示和板書課題、定義）

預(yù)設(shè)：分離圖形，得到圖2，復(fù)習(xí)并明確等腰三角形各邊、角的名稱（比如頂角、底角、腰、底邊）

追問：在小學(xué)，同學(xué)們就知道等腰三角形有哪些特殊的性質(zhì)呢？（腰相等、兩個(gè)底角相等）

師：腰相等由定義可知，但是命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”在定義中并沒有直接揭示，能否證明呢？同學(xué)們獨(dú)立思考吧！

【新知探究】

1.學(xué)生匯報(bào)命題“等邊對等角”的證明過程

學(xué)生獨(dú)思考之后，分組交流命題證明的不同方法，然后全班匯報(bào)．匯報(bào)證明時(shí)，學(xué)生可能會(huì)側(cè)重于不同輔助線的作法，教師注意追問文字命題證明的注意事項(xiàng)，即要先畫圖、寫出已知、求證，再證明．多樣化證明成功之后，升級為定理并板書：“等腰三角形兩底角相等”，簡寫為“等邊對等角”．

2.引導(dǎo)學(xué)生“成果擴(kuò)大”，推證“三線合一”

師：同學(xué)們在上面的證明過程中，使用了不同的輔助線，問題求證殊途同歸，都證得了“等邊對等角”，再想想，如果作出的輔助線是頂角的平分線，能否證明它也是底邊上的高或中線呢？（回答是肯定的）那就說明對等腰三角形來說，這三條線段其實(shí)怎樣呢？（是同一條線段，也就是重合在一起）

板書：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線相互重合，簡寫為“三線合一”．

結(jié)合黑板上的圖形板書示范上述性質(zhì)定理的符號語言（限于篇幅，這里從略）．

3.“反過來”思考，探究判定“等角對等邊”

師：前面學(xué)習(xí)角平分線、線段的垂直平分線時(shí)，我們探究性質(zhì)之后，還“反過來”逆向思考了它們的判定，對于等腰三角形的學(xué)習(xí)，是否也可以“反過來”思考呢？（引導(dǎo)學(xué)生猜想命題“等角對等邊”）

學(xué)生獨(dú)立證明該命題后，小組內(nèi)交流，然后全班匯報(bào)展示．教師注意通過追問引導(dǎo)學(xué)生辨析輔助線有幾種，比如可以作高、角平分線，但不能作中線．證明之后板書判定定理“如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊相等”，簡寫為“等角對等邊”，并給出該定理的符號語言（略）．

圖3

【例題講評】

例題：已知：如圖3，Rt△ABC中，∠C＝90°．邊BC的垂直平分線l交AB于點(diǎn)D．求證：點(diǎn)D也在邊AC的垂直平分線上．

意圖：關(guān)聯(lián)了前面剛學(xué)習(xí)的線段的垂直平分線的知識，同時(shí)又把直角三角形的一種奇異性質(zhì)通過這道例題做了展示和揭示，也就是直角三角形三邊的中垂線交于斜邊的中點(diǎn)處．作為必要的深化，我們還可做如下追問.

追問1：直角三角形三邊的垂直平分線是否交于一點(diǎn)？為什么？

追問2：直角三角形斜邊上的中線與斜邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【小結(jié)】

問題1：今天學(xué)習(xí)等腰三角形，與小學(xué)相比學(xué)到了哪些不同的知識？（引導(dǎo)學(xué)生辨析小學(xué)時(shí)也在應(yīng)用“等邊對等角”，但沒有嚴(yán)格證明，而且也沒用過“三線合一”等）

問題2：有人學(xué)習(xí)了“等邊對等角”之后，還思考了“大邊對大角”，發(fā)現(xiàn)也是真命題，你能理解嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生畫出符合要求的圖形，寫出已知、求證、證明.

圖4

【作業(yè)】

題1：如圖4，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度數(shù)．

意圖：這是教材例題的改編，訓(xùn)練“等邊對等角”、方程意識．

題2：求證：等腰三角形底邊的中點(diǎn)到兩腰距離相等．

意圖：要求學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證和證明．

（四）板書設(shè)計(jì)

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.辨析學(xué)段特征，預(yù)設(shè)“超經(jīng)驗(yàn)”數(shù)學(xué)情境引入新課

我們知道，中小學(xué)圖形學(xué)習(xí)時(shí)等腰三角形都是一種重要的軸對稱圖形，如何辨析學(xué)段特征，讓八年級學(xué)生所學(xué)內(nèi)容與小學(xué)有所不同是值得教師認(rèn)真思考的．筆者認(rèn)為，當(dāng)前不少初中教材安排一些剪拼操作類的實(shí)驗(yàn)是重復(fù)小學(xué)階段的操作過程，到了八年級應(yīng)該有更具數(shù)學(xué)味兒、幾何味兒的研究方式和視角，事實(shí)上，正是基于上述認(rèn)識，我們放棄了教材上的引入新課的情境安排，而是通過回顧線段垂直平分線的尺規(guī)作圖引入新課，分離出等腰三角形后，迅速安排學(xué)生獨(dú)立證明命題“等邊對等角”．想來，這也是最近張奠宙倡導(dǎo)的“超生活經(jīng)驗(yàn)”的數(shù)學(xué)情境吧．

2.加強(qiáng)知識關(guān)聯(lián)，追求前后一致、邏輯連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)

等腰三角形被安排在軸對稱一章中學(xué)習(xí)，并不一定時(shí)時(shí)、事事都要從軸對稱出發(fā)，將其置于整個(gè)平面幾何中來思考、定位可能更顯數(shù)學(xué)味道．這也是我們將其與尺規(guī)作圖、線段的垂直平分線關(guān)聯(lián)在一起的原因，同時(shí)在本課的教學(xué)中，我們還十分重視文字命題的證明，因?yàn)檫M(jìn)入八年級，已多次涉及文字命題的證明，文字命題需要經(jīng)歷明確題設(shè)與結(jié)論的過程，然后才是畫圖、已知、求證和證明，對學(xué)生幾何解題、證明能力的提升有著十分重要的作用．作為知識關(guān)聯(lián)和必要的拓展，在小結(jié)階段，我們安排了“大邊對大角”，可能有些學(xué)困生在較短時(shí)間內(nèi)難以獲得證明思路，但是為開闊研究思路，為數(shù)學(xué)適應(yīng)性優(yōu)秀學(xué)生的必要拓展，這樣的變式思考是十分必要的，證明過程也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、善用新知的意識．

1.周紅娟．從操作走向思考，從“參觀”走向“探索”——“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）”教學(xué)與反思［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（7）．

2.李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.劉東升.辨別學(xué)段特征：初中幾何教學(xué)的用力點(diǎn)——以“圓（第1課時(shí)）”教學(xué)為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（3）.

4.章建躍．構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）．Z