周 桐，李雨宣，楊智勇，孫棣華

(1．重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，重慶402260;2．重慶大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，重慶400044)

0 引言

城市道路交通問(wèn)題日趨嚴(yán)峻，而駕駛行為與交通擁堵關(guān)系密切． 為了認(rèn)知駕駛行為與交通擁堵之間的關(guān)系，眾多學(xué)者提出了很多交通流模型［1-3］．Bando 等［4］、Helbing 等［5］、姜銳等［6］根據(jù)一些典型的交通現(xiàn)象，提出了一系列具有代表性的模型，具有較好模擬效果．但上述模型僅考慮了最鄰近車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息． 隨著智能交通系統(tǒng)的發(fā)展，車輛信息獲取的條件改善，有利于獲取道路上其它車輛的信息，為準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)駕駛行為與交通擁堵的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)．基于典型的FVD 模型［6］，已有學(xué)者通過(guò)考慮多輛前導(dǎo)車的相關(guān)信息，提出了一系列的擴(kuò)展模型．其中，既有針對(duì)車頭距的協(xié)同駕駛模型［7］和針對(duì)多速度差的跟馳模型［8］，也有綜合兩者信息的跟馳模型［9-11］． 研究表明，考慮多車作用關(guān)系的駕駛行為對(duì)擁堵具有抑制作用．

上述模型均能較好地提高車流的穩(wěn)定性和描述實(shí)際的交通現(xiàn)象，卻未考慮車輛系統(tǒng)中機(jī)械慣性效應(yīng)對(duì)交通流的影響，導(dǎo)致在模擬車隊(duì)靜止啟動(dòng)時(shí)，頭車的加速度出現(xiàn)瞬間跳躍現(xiàn)象，而這種現(xiàn)象在實(shí)際的車流運(yùn)行中是不可能存在的． 由于車輛機(jī)械慣性阻礙車輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，導(dǎo)致車輛加速至最優(yōu)狀態(tài)需要一段時(shí)間，不能瞬間變化．因此，車輛的機(jī)械慣性對(duì)車輛的駕駛行為具有重要的影響．目前，考慮車輛機(jī)械慣性效應(yīng)的跟馳模型鮮見(jiàn)報(bào)道，因此，筆者在FVD 模型的基礎(chǔ)上，考慮車輛機(jī)械慣性對(duì)駕駛行為的影響，提出一種新的跟馳模型，并通過(guò)車隊(duì)靜止啟動(dòng)過(guò)程和車輛動(dòng)態(tài)演化數(shù)值仿真驗(yàn)證了改進(jìn)模型的合理性和必要性．

1 跟馳模型

1995 年，Bando 等［4］在經(jīng)典跟馳模型基礎(chǔ)上提出優(yōu)化速度(OV)模型，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

式中:vj(t)，xj(t)，Δxj(t)和adesiredj(t)分別表示第j 輛車在t 時(shí)刻的速度、位置、車頭間距和期望加速度;k 為司機(jī)的敏感系數(shù);V(·)是與Δxj(t)相關(guān)的優(yōu)化速度函數(shù)． 應(yīng)用該模型可以模擬實(shí)際交通中諸如時(shí)停時(shí)走，交通遲滯、交通阻塞的傳播等非線性交通現(xiàn)象．

1998 年，Helbing 和Tilch 采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)OV 模型進(jìn)行了參數(shù)標(biāo)定，發(fā)現(xiàn)該模型存在著過(guò)高加速度以及與現(xiàn)實(shí)不符的減速度，因此，通過(guò)引

式中:Δvj=vj+1-vj為車輛的相對(duì)速度;H(-Δvj)是Heaviside 階梯函數(shù);λ 是對(duì)最鄰近前車相對(duì)速度的反應(yīng)系數(shù)． 盡管該模型避免了OV 模型中出現(xiàn)過(guò)高加速度的情況，然而卻出現(xiàn)了延遲時(shí)間較長(zhǎng)的新問(wèn)題，同時(shí)也不能解釋Treiber 等［5］指出跟馳車輛速度比前車小很多時(shí)，盡管兩者距離小于安全距離，跟馳車輛也不會(huì)減速的正速度差現(xiàn)象．因此2001 年，姜銳等人基于GF 模型提出了全速度差(FVD)模型，其運(yùn)動(dòng)方程［6］:

模型中參數(shù)k 和λ 的物理意義與文獻(xiàn)［5］一致．此后，在FVD 的基礎(chǔ)上，一系列擴(kuò)展模型被相繼提出［7-10］．

上述跟馳模型對(duì)交通流具有致穩(wěn)的作用，也能在一定程度上描述駕駛行為與交通擁堵的關(guān)系，但這些模型未考慮車輛自身的機(jī)械慣性對(duì)車流的影響．在實(shí)際車輛控制中，駕駛員首先感知車輛周圍的環(huán)境信息，然后經(jīng)過(guò)駕駛員大腦分析、處理和決策，給定一個(gè)期望的加速度控制指令，然后通過(guò)手和腳作用于車輛使之加速還是減速，在作用過(guò)程中由于受車輛機(jī)械慣性的影響，使得給定的期望加速度發(fā)生了一定的改變，即為實(shí)際的加速度．因此，基于FVD 模型，筆者提出一個(gè)考慮車輛機(jī)械慣性效應(yīng)的跟馳模型，其形式為

式中:lc為車輛長(zhǎng)度，在數(shù)值仿真中l(wèi)c=5 m．其它參數(shù)值V1，V2，C1和C2分別為6． 75 m/s，7． 91 m/s，0．13 m-1，1．57．

2 穩(wěn)定性分析

為了方便后續(xù)模型的穩(wěn)定性分析，筆者從控制角度對(duì)模型(4)進(jìn)行了重寫:

假設(shè)車隊(duì)頭車以恒定的速度v0運(yùn)行，則跟隨車的穩(wěn)定狀態(tài)為

將模型(6)在穩(wěn)定狀態(tài)式(7)周圍線性化，得到了交通系統(tǒng)(6)在穩(wěn)定狀態(tài)附近的擾動(dòng)模型描述如下:

則模型(6)在穩(wěn)定狀態(tài)附近的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

其中設(shè)定τ=1/p，vj(t)=δvj(t)+v0，Δxj(t)=δxj(t)+h0，Λ 為優(yōu)化速度函數(shù)在Δxj(t)=V-1(v0)處的斜率，

考慮跟馳模型中連續(xù)兩輛車即第j+1 輛車的速度與第j 輛車的速度關(guān)系，從頻域角度來(lái)看，模型(6)可以進(jìn)一步改寫成

Vj(s)=G(s)·Vj+1(s)． (10)

式中:Vj(s)=L(δvj+1(t));Vj+1(s)=L(δvj+1(t))，L(·)代表拉普拉斯變換，這樣傳遞函數(shù)G(s)為:

其中，d(s)=τλ(s3+τs2+(τk+τλ)s+τkΛ)．

基于Konishi 等［1］提出的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，給出了一個(gè)不出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象的引理．

引理1 系統(tǒng)(6)不會(huì)出現(xiàn)擁堵現(xiàn)象必須滿足兩個(gè)條件:一是特征多項(xiàng)式d(s)是穩(wěn)定的;二是傳遞函數(shù)G(s)的H∞范數(shù)小于等于1，即

根據(jù)引理1，對(duì)式(11)進(jìn)行求解得到了交通系統(tǒng)保持穩(wěn)定的條件

從式(12)中可以看出，系統(tǒng)隨著τ 的減小，系統(tǒng)的性能越好． 圖1 表示交通系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的增益曲線|G(jw)|． 從圖中可以看出:當(dāng)τ=1，0．5，0．4 時(shí)，增益曲線|G(jw)|出現(xiàn)一個(gè)峰值，但峰值過(guò)后衰減速度較快;而當(dāng)τ =0．25 時(shí)，增益曲線|G(jw)|沒(méi)有出現(xiàn)峰值，但峰值過(guò)后衰減速度較慢．可見(jiàn)在筆者提出的模型中在其它參數(shù)不變的情況下，隨著駕駛員對(duì)車輛機(jī)械慣性關(guān)注程度的增加，有利于改善車輛控制系統(tǒng)的性能．因此，車輛機(jī)械慣性對(duì)駕駛行為與交通擁堵的關(guān)系起著重要作用．

圖1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的增益曲線Fig．1 The gain curve of G(s)

3 數(shù)值仿真

筆者通過(guò)車隊(duì)靜止啟動(dòng)仿真和車輛動(dòng)態(tài)演化仿真對(duì)新模型的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行驗(yàn)證．

3．1 啟動(dòng)過(guò)程對(duì)比仿真

下面研究筆者提出的模型在黃燈轉(zhuǎn)向綠燈時(shí)交通信號(hào)環(huán)境下的車輛啟動(dòng)情況，并檢驗(yàn)新模型的動(dòng)態(tài)特性． 模擬靜止車隊(duì)的啟動(dòng)過(guò)程:在t ＜0時(shí)，交通信號(hào)為紅燈，10 輛車排成一隊(duì)，每輛車的初始位置為xn(0)=(n -1)d，其中n =1，2，…，10，d =7．4 m，所有車輛初始狀態(tài)都處于靜止?fàn)顟B(tài)，即vn(0)=0，(n =1，2，…，10);在t =0 時(shí)，黃燈轉(zhuǎn)綠，車輛開(kāi)始啟動(dòng)．其它邊界條件:對(duì)于頭車n=10，最優(yōu)速度函數(shù)為V10(∞)=14．66 m·s-1，對(duì)于跟隨車，有Vn(7．4)=0，(n =1，2，…，9)．為了與FVD 模型作對(duì)比實(shí)驗(yàn)，設(shè)置兩個(gè)模型的參數(shù)相同．在模擬中，選取λ =0．5 和k =0．41 s-1，并選取Helbing 和Tilch 用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)得到的OV 函數(shù)(5)式，模擬結(jié)果如圖2 和圖3 所示．圖2 給出了車隊(duì)靜止啟動(dòng)時(shí)新模型與FVD 模型中頭車的加速度分布曲線，從圖2 中可見(jiàn)FVD模型中頭車的加速度出現(xiàn)瞬間跳躍的現(xiàn)象，而新模型中頭車加速度沒(méi)有出現(xiàn)這種現(xiàn)象，而是緩慢變化升至最大值，這符合實(shí)際的交通規(guī)律．

圖2 頭車的加速度分布曲線Fig．2 The acceleration distribution curves of unobstructed leading vehicle in two models

圖3 為兩個(gè)模型中車輛啟動(dòng)過(guò)程的速度分布曲線．從圖中可以看出，F(xiàn)VD 模型車隊(duì)啟動(dòng)的延遲時(shí)間較新模型的啟動(dòng)時(shí)間要短．這是FVD 模型由于沒(méi)有考慮車輛自身機(jī)械慣性的影響，所以到達(dá)穩(wěn)態(tài)速度的時(shí)間較快，而筆者設(shè)計(jì)的模型由于慣性延遲的作用，到達(dá)穩(wěn)定速度時(shí)間要慢．同時(shí)，可以從圖中可以看出，F(xiàn)VD 模型中速度的斜率較新模型中的斜率大，說(shuō)明駕駛員期望加速度要大于實(shí)際的加速度．根據(jù)上述分析，筆者提出的模型在啟動(dòng)過(guò)程中，能夠克服車隊(duì)靜止啟動(dòng)時(shí)頭車加速度瞬間跳躍的現(xiàn)象，同時(shí)車輛速度加速至最優(yōu)速度的時(shí)間要長(zhǎng)于FVD 模型的結(jié)果．

3．2 演化過(guò)程對(duì)比仿真

為了更加直觀地分析車輛機(jī)械慣性對(duì)車流穩(wěn)定性的作用，現(xiàn)利用數(shù)值模擬以驗(yàn)證筆者提出的模型演化特性．設(shè)周期邊界條件為:L =1 500 m，車輛數(shù)N = 100，對(duì)頭車施加小擾動(dòng)x1(0)=L/N+1下，敏感系數(shù)選取a =0．41 s-1，其它參數(shù)λ=0．5，τ=0．5．車輛的初始條件如下:

圖3 車輛啟動(dòng)過(guò)程的速度分布Fig．3 The velocity distribution of vehicles starting process

x1(0)=1 m，xn(0)=(n-1)L/N(n=2，3，…，N)，vn(0)=V(L/N)(n=1，2，…，N)．

圖4 和圖5 為FVD 模型和新模型在t=500 s和t=1 200 s 處的速度分布曲線圖． 在圖中，當(dāng)p=0時(shí)，新模型退化成FVD 模型． 從模擬結(jié)果中可以得知:在兩個(gè)模型中，由于不能滿足穩(wěn)定性條件(12)，這樣，初始小擾動(dòng)隨著車隊(duì)的向后傳播放大，最終引起時(shí)走時(shí)停的交通阻塞現(xiàn)象．但值得注意的是，當(dāng)t=500 s 時(shí)，發(fā)現(xiàn)新模型的速度波動(dòng)幅度較FVD 模型的結(jié)果要小，即由于機(jī)械慣性的作用，導(dǎo)致實(shí)際加速度比期望加速度要小，因此，新模型中的實(shí)際速度是小于FVD 模型中期望速度的．而且由于慣性延遲作用導(dǎo)致新模型的速度波動(dòng)的時(shí)間較FVD 模型的結(jié)果要相對(duì)滯后一小段時(shí)間．而當(dāng)t=1 200 s，由于兩個(gè)模型中車輛已經(jīng)出現(xiàn)時(shí)走時(shí)停現(xiàn)象，所以速度波動(dòng)的幅度幾乎一致，但是新模型的速度波動(dòng)時(shí)間還是滯后于FVD 模型模擬結(jié)果的時(shí)間．這足以說(shuō)明在FVD 模型中考慮了車輛機(jī)械慣性能更加真實(shí)地描述實(shí)際的駕駛行為與交通擁堵關(guān)系．

圖4 時(shí)步t=500 s 的車輛速度分布Fig．4 The snapshots of the velocities of two models at t=500 s

圖5 時(shí)步t=1 200 s 的車輛速度分布Fig．5 The snapshots of the velocities of two models at t=1 200 s

4 結(jié)論

筆者在FVD 模型的基礎(chǔ)上，考慮車輛機(jī)械慣性的作用，提出了一個(gè)新的跟馳模型．通過(guò)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，得到了系統(tǒng)保持穩(wěn)定的條件．仿真結(jié)果表明:與FVD 模型相比，考慮車輛機(jī)械慣性的作用能夠克服FVD 模型中車隊(duì)靜止啟動(dòng)頭車的加速度出現(xiàn)瞬間跳躍現(xiàn)象;同時(shí)，新模型較FVD 模型能夠更加真實(shí)地模擬實(shí)際交通現(xiàn)象，從而驗(yàn)證了模型的性能優(yōu)越性和合理性． 筆者主要研究單車道限制超車跟馳模型的交通特性，下一步將在筆者提出的模型中引入換道規(guī)則，研究雙車道車流的演化特性．

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