吳素珍，何衛(wèi)東

(1．大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連116028;2．河南工程學院 機械工程學院，河南 鄭州451191)

0 引言

RV 減速器是一種兩級行星減速傳動機構，主要由第1 級漸開線行星傳動和第2 級擺線針輪行星傳動組成［1］，第2 級擺線輪與針輪的嚙合工作性能，直接影響到整個減速器的工作精度．國內(nèi)學者大部分是對直齒輪或斜齒輪的接觸分析［2-5］，對擺線針輪嚙合接觸分析研究比較少，即使有一些相關的研究，但做了相當多的簡化，如重慶大學的陳兵奎進行了擺線包絡行星傳動接觸有限元分析及系統(tǒng)開發(fā)，其簡化了擺線輪的內(nèi)部結(jié)構［6］;大連交通大學的關天民進行了FA 型針擺傳動齒面接觸狀態(tài)的有限元計算，其把針擺嚙合簡化成了二維模型［7］． 筆者考慮擺線輪修形量、輪齒接觸變形等的影響，進行了針輪和擺線輪接觸非線性應力應變分析．

表1 RV－250 機型的相關參數(shù)Tab．1 Associated parameters of RV－250

1 擺線輪齒面數(shù)學模型

1．1 相關參數(shù)

筆者以RV-250 為例進行擺線輪針輪齒面接觸狀態(tài)的接觸應力計算及有限元分析，其相關參數(shù)如表1 所示［8］．

1．2 擺線輪齒形方程

根據(jù)擺線針輪傳動的嚙合原理，以擺線輪的幾何中心為原點，通過原點并與擺線輪對稱軸重合的軸線為xc軸，考慮修形量的擺線輪齒形方程式為［9］:

式中:k'1為有移距時齒形的短幅系數(shù)，iH為擺線輪和針輪的相對傳動比，iH=zp/zc;其他參數(shù)見表1．

2 理論計算

2．1 針齒與擺線輪的作用力計算

標準齒廓時，針齒的接觸力與該齒的變形成正比． 但在實際計算中，由于必須先克服初始間隙，此時針齒的接觸力Fi應與變形和初始間隙之差(δi-Δ(φi))成線性正比關系，按照此關系，同時嚙合傳力的第i 個齒受力Fi可用式(3)表示．Fi=CiωPii=Ci［δi-Δ(φi)］Pi． (3)式中:Fi為各接觸點φi處的針齒接觸力;Ci，Pi為計算系數(shù);δi為擺線輪各嚙合點在公法線方向的總變形;Δ(φi)為初始法向嚙合側(cè)隙．

設擺線輪上的扭矩TC由i =m1～m2個齒傳遞，它應與針齒上各針齒給擺線輪作用力所產(chǎn)生的力矩平衡，由此可得:

通過計算機搜尋可求解出在轉(zhuǎn)矩TC作用下的同時嚙合的齒數(shù)m1～m2，以及各接觸齒上的作用力Fi，計算結(jié)果如表2 所示［8］．

表2 擺線針輪嚙合作用力、接觸應力Tab．2 Acting force and contact stress chart of cycloid pin gear messing

2．2 擺線輪與針齒接觸應力計算

根據(jù)赫茲公式，擺線針輪齒面接觸應力為［8］:

式中:Fi為針齒與擺線輪齒在某一位置嚙合的作用力，N;Ee為當量彈性模型，MPa，Ee=2．06 ×105MPa;bc為擺線輪的寬度，mm;ρei為當量曲率半徑，mm;ρi為擺線輪在某嚙合點的曲率半徑，mm．

擺線針輪接觸應力計算結(jié)果，如表2 所示．

3 模型建立

3．1 幾何模型建立

RV 針擺減速器是精密傳動減速器，對建模精度要求比較高，因此建模曲線誤差在0．1 μm以下．擺線輪的結(jié)構在圓周上是每120°對稱的，因此對120°范圍內(nèi)的13 個齒的嚙合位置進行了計算．另外，針擺傳動中，針齒是半埋在針齒殼的針齒銷孔內(nèi)，其彈性變形主要是接觸變形，同時兩片擺線輪與針齒的嚙合完全一樣，所以建模時簡化了針齒殼且只保留了一片擺線輪，另外使針齒長度和一片擺線寬度相等，所建模型如圖1 所示．

圖1 擺線針輪傳動模型Fig．1 Cycloid pin gear transmission model

3．2 有限元模型建立

擺線針輪傳動是多齒接觸受力的問題，實際工況中針齒與針齒殼之間的接觸對擺線針輪接觸分析結(jié)果影響比較小，所以把針齒殼和針齒看成了一個整體．建立有限元模型時另一關鍵的是單元類型的選擇，這些單元類型有不同的拓撲結(jié)構和屬性．在不同的單元類型中，實體單元能夠模擬的結(jié)構最多，而且該小塊材料的幾何形狀、節(jié)點數(shù)等可以有多種選擇，并可在任何節(jié)點上與其它單元連接，因此幾乎能承受任意載荷，所以在針擺有限元分析中選擇了“solid185”單元，solid185 單元適用于構造三維固體結(jié)構，有8 個節(jié)點，每個節(jié)點有3 個沿著XYZ 方向平移的自由度，具有超彈性，蠕變，大變形和大應變能力．針齒和擺線輪材料均為GCr15，即定義的彈性模量為2． 06E5 MPa，泊松比為0．3，密度為7．8E12 kg/mm3．

擺線輪齒廓是一種精度極高的特殊曲線，所以擺線輪齒廓處和針齒嚙合部分選用了較小的網(wǎng)格為0．6 mm，網(wǎng)格類型為混合四面體六面體．劃分后的有限元模型如圖2 所示，擺線輪針齒細密處網(wǎng)格如圖3 所示． 本模型共形成965 314 個節(jié)點，880 512 個單元．

圖2 擺線針輪嚙合有限元模型Fig．2 Meshing FEM of cycloid pin gear

圖3 擺線輪針齒細密處網(wǎng)格Fig．3 Close FEM meshes of cycloid and pin gear tooth

3．3 針輪與擺線輪接觸對的定義

理論分析結(jié)果顯示，經(jīng)過修形的擺線輪與針齒在嚙合受力前是1 個齒嚙合，受力后擺線輪針齒為10 個齒嚙合．為了有限元計算方便，需擺針輪有限元模型中有可能接觸的齒需提前處于嚙合狀態(tài)，即需在此10 個齒間建立接觸對．

擺線輪和針齒的材料相同，定義為柔體對柔體的面面接觸．創(chuàng)建接觸對時一般選擇凸面為接觸面，凹面為目標面．RV 針擺傳動中針輪接觸面為凸面，定義其為接觸面，接觸單元為CONTA173，擺線輪的接觸面為凹面，定義其為目標面，目標單元為TARGE170，定義接觸對時設置k5=1，忽略接觸對的初始間隙，k9=1，忽略接觸對的初始穿透，k10=2，允許ANSYS 自動更新接觸剛度，k2=1，采用完全計分法計算，所建立的接觸對局部放大圖如圖4 所示．

圖4 擺線針輪接觸對局部放大圖Fig．4 Magnification of cycloid pin gear contact parts

4 邊界條件和載荷的施加

研究擺線輪針齒傳動某一瞬間齒面的接觸狀態(tài)，在瞬間，針輪和針齒殼是靜止的，擺線輪公轉(zhuǎn)相對速度很小，可以看成擺線輪只做繞偏心軸的自轉(zhuǎn)．

在設置邊界條件時，根據(jù)擺線針輪接觸的實際工況，設置約束和加載條件．針齒殼剛性很大，并固定不動，即針齒殼施加完全約束;擺線輪帶動行星架輸出，采用3 個相連的剛性梁模擬行星架輸出機構;剛性元模擬偏心軸曲柄，鉸鏈鏈接技術模擬曲柄相對擺線輪軸承孔的轉(zhuǎn)動，對軸承孔的約束模擬軸承和軸承孔的實際接觸情況，對擺線輪偏心軸中心約束5 個自由度，只留一個繞偏心軸轉(zhuǎn)動的自由度，模擬擺線輪繞偏心軸的轉(zhuǎn)動，擺線針輪傳動的約束邊界條件如圖5 所示．

圖5 邊界條件的施加Fig．5 Applied boundary conditions

RV-250 的傳動轉(zhuǎn)矩T =2 450 N·m，由于制造誤差，傳遞兩個擺線輪的轉(zhuǎn)矩是不相等的，一片擺線輪傳遞的扭矩一般取TC=0．55T =1 347．5 N·m．本模型施加的轉(zhuǎn)矩為1 347．5 N·m．

5 結(jié)果分析

圖6 所示為放大150 倍后的擺線輪接觸應力云圖，圖7 為擺線輪各齒面的接觸應力分布云圖．有限元法計算的結(jié)果顯示，擺線輪共10 個齒接觸變形，最大接觸應力出現(xiàn)在第7 個齒． 從圖6 可以看出，擺線輪變形主要出現(xiàn)在接觸區(qū)，并且軸承孔和梯形孔上方的齒出現(xiàn)了下沉變形，輪輻上方的齒出現(xiàn)了外凸變形． 原因是輪輻的結(jié)構比較單薄，擺線輪在齒面嚙合力作用下產(chǎn)生變形，在嚙合區(qū)域部分的變形比較明顯，特別是梯形孔和軸承孔的部位由于齒緣很薄，剛度較小容易產(chǎn)生向內(nèi)的下沉變形．而位于輪輻徑向支承板近處齒的部分剛度較大，在擺線輪對針齒的作用力的作用下易產(chǎn)生外突的變形，如圖7 中輪輻上方的3 個齒，通常受力最大;最大接觸應力點在擺線輪齒面的內(nèi)側(cè)，說明有些邊緣效應．

圖6 擺線輪接觸應力云圖(放大150 倍)Fig．6 Stress contour of cycloid gear contact parts(magnified 150 times)

圖7 擺線輪接觸壓應力云圖Fig．7 Compressive stress contour of cycloid gear contact parts

圖8 為擺線針輪接觸狀態(tài)圖，從圖中可以看出，接觸的每對齒都接觸良好，并且齒向未出現(xiàn)偏載．

圖9 為兩種計算方法的接觸應力對比． 有限元計算的最大齒面接觸應力為-680．889 MPa，主要有3 個齒承受較大的載荷，都分布在剛性較大的部位，赫茲理論計算的最大接觸應力為1 095．007 94 MPa，兩者相差比較大的原因為赫茲理論未考慮非線性因素及擺線輪內(nèi)部軸承孔和梯形孔的影響，但總體分布規(guī)律一致，與實際接觸應力是相符的．

圖8 擺線針輪接觸狀態(tài)圖Fig．8 Statechart diagram of cycloid gear contact parts

圖9 兩種分析計算結(jié)果比較Fig．9 The result analysis of the two motheds

6 結(jié)論

(1)赫茲理論和有限元法計算結(jié)果都有10個齒嚙合，最大接觸應力都發(fā)生在7 號齒，并且總體接觸應力趨勢是一致的，從而驗證了所建有限元模型的正確性，為擺線輪的強度性能分析與評估提供可靠的數(shù)值依據(jù)．

(2)輪齒的接觸狀態(tài)和接觸應力大小與變形情況有密切關系． 在梯形孔上方和軸承孔上方的齒的輪齒容易變形，承受的載荷較小，在剛性區(qū)輻板上方的齒承受的載荷較大．

(3)由于赫茲理論未考慮非線性因素及擺線輪內(nèi)部軸承孔和梯形孔的影響，兩種方法計算的接觸應力存在一定的誤差，但總體分布規(guī)律一致，與實際接觸應力是相符的．

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［7］ 關天民． FA 型擺線針輪行星傳動齒形優(yōu)化方法與相關理論的研究［D］． 大連:大連交通大學機械工程學院，2005．

［8］ 朱孝錄．機械傳動設計手冊［M］．北京:電子工業(yè)出版社，2007:66 -72．

［9］ 何衛(wèi)東．機器人用高精度RV 傳動的研究［D］．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院，1998．