趙曉輝， 聞國椿，楊廣武

(1.河北科技大學 理學院，河北 石家莊 050018； 2.河北工程技術學院 經(jīng)濟管理學院，河北 石家莊 050091;3.北京大學 數(shù)學科學院 100871)

二階退化雙曲型方程的第二Darboux問題及其推廣和應用

趙曉輝1，2， 聞國椿3，楊廣武1

(1.河北科技大學 理學院，河北 石家莊 050018； 2.河北工程技術學院 經(jīng)濟管理學院，河北 石家莊 050091;3.北京大學 數(shù)學科學院 100871)

本文主要給出一般區(qū)域上的Darboux第二問題與一般斜微商問題解的表示式，進而使用復分析的方法證明了這些問題解的存在性與唯一性。本文中得到的結果，可用來解決一般區(qū)域上的廣義chaplygin方程的Tricomi問題。

退化雙曲型方程；廣義Darboux問題；解的存在唯一性

1 二階退化雙曲型方程的Darboux第一問題簡介

uxx-uyy+aux+buy+cu+d=0，(a,b,c,d均為x,y的已知函數(shù))

的Darboux第一和第二問題，且所加條件較強。而對于在較弱條件下求解退化雙曲型方程的Darboux問題。文獻[5]屬于這方面的新成果，但未及討論第二Darboux問題。本文主要來討論二階退化雙曲型方程的第二Darboux問題和斜微商問題，所得到結果，可用來解決一般區(qū)域上廣義Chaplygin方程的Tricomi問題，Tricomi問題對空氣動力學中的有關問題有著重要的應用。

我們首先考慮二階線性退化雙曲型方程

K(y)uxx+uyy+aux+buy+cu+d=0,(x,y)∈D,

(1)

其中D是由X軸上的線段L0=(0,2)與下半平面中兩條特征線

假定方程(1)的系數(shù)滿足條件C：

(2)

方程(1)的Darboux第一問題可表述為：

u(z)=φ(z),z∈L1,u(x)=ψ(x),x∈L0,

(3)

其中φ(z),ψ(x)滿足條件

(4)

這里α(0<α<1),k2都是非負常數(shù).

下面引入方程(1)更一般的邊值問題：

(5)

(6)

其中α(0<α<1),k0,k2都是非負常數(shù).不難看出，前述問題D是問題P的一種特殊情形.

本文中要用到文獻[5]中已證明的下述定理：

定理1 如方程(1)滿足條件C，則(1)的Darboux型問題P是唯一地可解的.

2 二階退化雙曲型方程的廣義Darboux第二問題

(7)

考慮在區(qū)域D′上的方程(1)帶有如下邊界條件的斜微商邊值問題(問題P′)：

(8)

Cα[λ(z),L′]≤k0,Cα[γ(z),L′]≤k2,

(9)

這里α(0<α<1),k0,k2都是非負常數(shù).

(10)

μ=2σ(ν)-ν=2σ(x+γ1(x))-x-γ1(x),0≤x≤l我們作如下變換

(11)

其中ν,μ都是實變量.以上變換的逆變換為

(12)

不難看出，變換(11)把區(qū)域D′映射為區(qū)域D，又變換(11)及其逆變換(12)可寫成

(13)

與

(14)

ξμ=Aξ+Bη+E,ην=Cξ+Dη+F,z∈D′

(15)

(16)

而通過變換(13)，邊界條件(8)可轉化為

(17)

定理2 設方程(1)在D′上滿足條件C，則方程(1)的問題P′存在唯一解u(z).

(2)其次，考慮區(qū)域D″是以L0∪L″1∪L″2為邊界的單連通區(qū)域，其中L″1,L″2的表示式為

L″1={γ1(x)+y=0,0≤x≤l},L″2={γ2(x)+y=0,l≤x≤2}

(18)

(19)

的Riemann-Hilbert問題(問題A′)，其中z″1=l-jγ1(l)=l-jγ2(l),又λ(z),γ(z)滿足條件

Cα[λ(z),Γ]≤k0,Cα[γ(z),Γ]≤k2,Cα[λ(z),L″1]≤k0

(20)

ν=2τ(μ)-μ=2τ(x-γ2(x))-x+γ2(x),l≤x≤2

(21)

作變換

(22)

其中μ,ν都是實變量.上述變換的逆變換為

(23)

于是

(24)

(25)

又方程組(15)轉化為

(26)

而通過變換(24)，在L0∪L″1∪L″2上的邊界條件轉化為

(27)

定理3 如果方程(1)在帶有邊界L0∪L″1∪L″2的區(qū)域D″上滿足條件C，且在L″上滿足邊界條件(19)，則問題P″存在唯一解u(z).

[1]BitsadzeA.V,Someclassesofpartialdifferentialequations[M].NewYork:GordonandBreach,1988.

[2]BitsadzeA.V，NakhushevAN.Theoryofdegeneratinghyperbolicequations[J].Dokl.Akad.NaukSSSR， 204(1972)：1289-1291(Russian).

[3]ProtterM.H.TheCauchyproblemforahyperbolicsecondorderequationwithdataontheparabolicline[J].Can.J.Math.6(1954): 542-553.

[4]WenGuochun.Linearandquasilinearcomplexequationsofhyperbolicandmixedtype[M].London:Taylor&Francis,2002.

[5]WenGuochun.Darbouxtypeproblemfordegeneratehyperbolicequationsofsecondorder[J].數(shù)學進展，2007,36(4):467-475.

[6] 聞國椿、楊廣武、黃沙,等.廣義解析函數(shù)及其拓廣[M].石家莊：河北教育出版社，1989.

[7] 聞國椿.線性與非線性橢圓型復方程[M].上海：上海科學技術出版社，1986.

Generalized darboux’s second problem for degenerate hyperbolic equations

ZHAO Xiao-hui1，2， WEN Guo-chun3，YANG Gang-wu1

(1.SchoolofSciences,HebeiUniversityofScienceandTechnology,ShijiazhangHebei050018,China； 2.SchoolofEconomicsandManagement,HebeiPolytechnicInstitute,ShijiazhangHebei050091,China; 3.SchoolofMathematicalSciences,PekingUniversity,Beijing100871,China)

The present paper deals with some boundary value problems for the degenerate hyperbolic equations of second order,mainly the representation of solutions for Darboux’s second problem and general oblique derivative problem in general domains is given,and the existence and uniqueness of solutions for the problems are proved.The results in this paper can be used to solve Tricomi problem of generalized Chaplygin equations in general domains.

Degenerate hyperbolic equations； Generalized Darboux’s second problem； Existence and uniqueness of solutions

2015-06-21

國家自然科學基金資助(10471149)；河北省教委基金資助(2350044)

趙曉輝(1982-)，女，河北順平人，碩士研究生，講師，主要從事偏微分方程的函數(shù)論方法研究及模糊數(shù)學.

1001-9383(2015)03-0001-06

O175

A