孟 俊

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844006)

帶援助和偽障礙的Geom/Geom/1休假排隊(duì)模型

孟 俊

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844006)

在離散時(shí)間Geom/Geom/1工作休假排隊(duì)系統(tǒng)中,同時(shí)考慮外來(lái)支援與偽障礙兩個(gè)因素，這個(gè)組合豐富了原有的排隊(duì)論模型.外來(lái)援助幫助系統(tǒng)減少顧客,一對(duì)一抵銷隊(duì)尾顧客.若系統(tǒng)突然停止工作，則稱系統(tǒng)有障礙出現(xiàn)，障礙分為真障礙和偽障礙兩類.本文應(yīng)用擬生滅鏈和矩陣幾何解的方法，得到了模型各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)分布,隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間在穩(wěn)態(tài)條件下的隨機(jī)分解.

援助； 偽障礙；工作休假；矩陣幾何解；條件隨機(jī)分解

0 引言

20世紀(jì)中后期，在信息傳輸系統(tǒng)，電話交換網(wǎng)絡(luò)和物流傳輸系統(tǒng)的迅速發(fā)展的帶動(dòng)下，休假排隊(duì)論的研究已經(jīng)日漸成熟.Neuts[1]等開創(chuàng)的矩陣幾何解法成為排隊(duì)論的核心內(nèi)容．近些年來(lái)，半休假策略被Servi和Finn[2]引入到了排隊(duì)論中，半休假也稱為工作休假此后有關(guān)工作休假策略的排隊(duì)論就大量出現(xiàn)，如文獻(xiàn)[3-6].關(guān)于Geom/Geom/1排隊(duì)論模型是源于20世紀(jì)提出了到達(dá)間隔和服務(wù)時(shí)間為正整數(shù)值隨機(jī)變量的離散時(shí)間排隊(duì).后來(lái)朱翼雋[7]等將負(fù)顧客引入Geom/Geom/1排隊(duì)論模型中，隨之有關(guān)負(fù)顧客的離散時(shí)間工作休假模型也陸續(xù)出現(xiàn)，如文獻(xiàn)[8-11].但是考慮到一個(gè)完善的系統(tǒng)會(huì)有備用幫助和取消信號(hào)的行為，我們統(tǒng)稱這些為外來(lái)援助.并且系統(tǒng)中必然存在誘使服務(wù)中止的因素存在,我們將這種因素稱為偽障礙.因此，本文在前面文獻(xiàn)的基礎(chǔ)之上，補(bǔ)充研究了帶外來(lái)援助和偽故障的單服務(wù)臺(tái)Geom/Geom/1工作休假排隊(duì)模型的平衡條件,各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)分布,穩(wěn)態(tài)下隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間的條件隨機(jī)分解結(jié)構(gòu).

1 模型描述和記號(hào)

(1)顧客和外來(lái)援助抵達(dá)間隔相互獨(dú)立，假設(shè)顧客和援助能夠同時(shí)抵達(dá)，抵達(dá)概率分別為p和q，分別服從G(p),G(q)的分布，其中0

(2)假設(shè)ub和uv是忙期和假期中顧客在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)被效勞完畢的概率，在忙期和假期中系統(tǒng)效勞一個(gè)顧客的時(shí)間分別為Sb和Sv，且Sb?G(ub),Sv?G(uv):

其中0

(3)假設(shè)休假的起始與結(jié)束只出現(xiàn)在n處，n=0,1，…,假設(shè)該模型的工作休假策略為：當(dāng)隊(duì)長(zhǎng)為0時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入一個(gè)時(shí)長(zhǎng)V為的工作休假，且V?G(θ)：

隊(duì)長(zhǎng)為0時(shí)，系統(tǒng)啟動(dòng)一個(gè)時(shí)長(zhǎng)為V的工作休假的方式和啟動(dòng)忙期的方式為：

在工作或者休假期間，服務(wù)臺(tái)進(jìn)入另一次獨(dú)立同分布的工作休假的情況有：a.效勞完一個(gè)顧客后，若隊(duì)長(zhǎng)為0；b.若系統(tǒng)內(nèi)只有外來(lái)援助，則外來(lái)援助離開；工作休假期間效勞速率為uν，按到達(dá)次序接受效勞.若工作休假結(jié)束時(shí)系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)不為0，則效勞速率由uν切換到ub，啟動(dòng)一個(gè)正規(guī)忙期.

(4)偽故障只發(fā)生忙期，若發(fā)生偽故障，則系統(tǒng)重新進(jìn)入休假狀態(tài)，等休假結(jié)束進(jìn)入忙期；若發(fā)生故障，則立即進(jìn)行修理.修理時(shí)間R?G(γ)，即：

修復(fù)完善后立即啟動(dòng)工作，為效勞完畢的顧客重新效勞.

(5)設(shè)Ln表示在時(shí)刻n處的隊(duì)長(zhǎng)長(zhǎng)度，即顧客數(shù)，且假設(shè)：

(6)到達(dá)間隔，Sb={忙期服務(wù)時(shí)間}，Sν={工作休假期服務(wù)時(shí)間}，V={休假時(shí)間}相互獨(dú)立，按到達(dá)順序效勞.

2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析

各個(gè)狀態(tài)的平穩(wěn)分布以及穩(wěn)態(tài)條件下隊(duì)長(zhǎng)的隨機(jī)分解：

將帶負(fù)顧客和偽故障的離散時(shí)間休假排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)參照系統(tǒng)中的顧客數(shù)和系統(tǒng)得狀態(tài)排列，該模型的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

(1)

其中

易知研究該鏈能夠采取Neuts[1]等創(chuàng)造的矩陣幾何解方法.因?yàn)橥ㄟ^(guò)觀察(1)的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn){(Ln,Jn),n≥0}是不可約，非周期的擬生滅鏈，可以將(1)看為GI/M/1型結(jié)構(gòu)矩陣的變形.

該模型的穩(wěn)態(tài)分布為：

其中

則穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)的隨機(jī)分解為：

其中

3 穩(wěn)態(tài)條件下等待時(shí)間的隨機(jī)分解

定理1 若α<1且θ>0，穩(wěn)態(tài)條件下等待時(shí)間有隨機(jī)分解：

其中

證明：顧客抵達(dá)不需等待的概率是：

如果抵達(dá)發(fā)生在工作休假期內(nèi)，隊(duì)長(zhǎng)為k，則會(huì)產(chǎn)生下列情況之一：

(1) 如果抵達(dá)發(fā)生在時(shí)刻n，時(shí)刻n有效勞完畢一個(gè)顧客，另外k-1個(gè)顧客進(jìn)入正規(guī)忙期，按速率ub效勞；

(2) 如果在時(shí)刻n沒(méi)有效勞完畢一個(gè)顧客，并且Sν≤V,即剩余休假時(shí)間大于或等于按速率uν效勞完畢一個(gè)顧客的剩余時(shí)間，則按速率uν效勞一個(gè)顧客，接下來(lái)按速率uν效勞第二個(gè)顧客，并再次看工作休假是否中止，如此循環(huán)下去，工作休假內(nèi)的效勞完成后將中止休假系統(tǒng)啟動(dòng)正規(guī)忙期:

下面求此差分方程，求出Wk0：設(shè)ω<1，記

于是可得

于是

所以

因?yàn)閃00(z)=P{W=0}，所以

因此

其中

4 結(jié)語(yǔ)

在離散時(shí)間Geom/Geom/1工作休假排隊(duì)系統(tǒng)中,同時(shí)考慮外來(lái)援助與偽障礙兩個(gè)因素，這個(gè)組合豐富了原有的排隊(duì)論模型，更貼近實(shí)際模型的應(yīng)用，成功模擬了實(shí)際的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，通信工程中如果出現(xiàn)信號(hào)取消或者信號(hào)中斷問(wèn)題時(shí)的穩(wěn)態(tài)條件下隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間的隨機(jī)分解.此模型的研究方法同樣適用于其它離散時(shí)間排隊(duì)模型，例如Geom/G/1，Geom/Geom/N等.總之，有關(guān)離散時(shí)間排隊(duì)論的研究還可以進(jìn)行更實(shí)際更深層次的探索.

[1] Neuts M. Matrix-geometric Solution Stochastic Models[M]．Baltimore:Johns Hokpins University Press,1981.

[2] Servi L D，F(xiàn)inn S G．M /M /1 Queue with Working Vacations( M/M/1/WV)[J]．Perform Evaluation，2002，50: 41-52．

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Geom/Geom/1 working vacation queue with assistance and false malfunction

MENG Jun

(SchoolofMathematicsandStatistics,KashiUniversity,KashiXinjiang844006，China)

Takeassistance and false malfunction into discrete time queue with vacation interruptionstrategy.Thiscombinationenrich known queuing model.The assistance offset the positive customers who are being served from the head of the queue one by one.If thesystem suddenly stopped working,thissystem failure.There are true and false failure.This paperuse quasi-birth-and-death process and matrix-geometric solution method， thesteady-state distributions for queue length and the probability generating function are given.Then the stochastic decomposition structure of queue length and sojourn time in the stationary state is gained and obtained the distributionsfor additional queue length and additional waiting timeby this paper.

Assistance； False malfunction； Vacation interruption； Matrix-geometric solutionstocha； Stic decomposition

2015-08-15

孟 俊(1987-),女，河南開封人，碩士，助教，研究方向：概率論.

1001-9383(2015)03-0012-05

O211

A