謝鳳平,曾雪蘭,段云艷

(廣西大學(xué) a.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院;b.電氣工程學(xué)院,南寧 530004)

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基于區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣的一種排序方法

謝鳳平a,曾雪蘭a,段云艷b

(廣西大學(xué) a.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院;b.電氣工程學(xué)院,南寧 530004)

定義了區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣和正態(tài)分布區(qū)間粗糙數(shù),并給出區(qū)間粗糙數(shù)互補和互反判斷矩陣的相互轉(zhuǎn)化公式.針對基于區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣的排序問題,提出了一種基于可能度的區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣的排序方法.通過對方案進(jìn)行兩兩比較,構(gòu)造區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣,求解出形式為區(qū)間粗糙數(shù)的權(quán)重向量,利用可能度公式得到權(quán)重向量的可能度矩陣,從而得到各方案的排序.實例分析說明了該方法的實用性和有效性.

區(qū)間粗糙數(shù);正態(tài)分布;可能度;互補判斷矩陣;排序

0 引言

20世紀(jì)70年代初,Saaty教授提出一種將定性與定量相結(jié)合的決策方法——AHP[1],現(xiàn)已被廣泛運用到環(huán)境評估、投資決策、交通改善以及經(jīng)濟(jì)效益綜合評價等諸多方面.判斷矩陣是層次分析法的核心內(nèi)容之一.常見的判斷矩陣有兩類：互補判斷矩陣和互反判斷矩陣.在實際應(yīng)用中,判斷矩陣元素的形式主要以實數(shù)[2]、區(qū)間數(shù)[3-4]、模糊數(shù)[5-7]等形式給出.有時判斷矩陣元素也可以是區(qū)間粗糙數(shù)的.區(qū)間粗糙數(shù)是經(jīng)典粗糙集的一個拓展,它比區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)、語言值等能更好地刻畫事物不確定性.目前,對區(qū)間粗糙數(shù)的研究比較少,文獻(xiàn)[8-9] 研究了區(qū)間粗糙數(shù)的定義和一些基本性質(zhì),而后相關(guān)學(xué)者也進(jìn)行了一些補充、拓展,但仍存在很多有待完善之處.針對屬性值為區(qū)間粗糙數(shù)的多屬性決策問題,文[10]根據(jù)離差最大化思想給出了一類區(qū)間粗糙數(shù)的多屬性決策方法.文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]分別提出帶有偏好的和基于可能度的區(qū)間粗糙數(shù)多屬性決策方法.文獻(xiàn)[13]給出了一種基于WIRDAA算子解決了準(zhǔn)則值為區(qū)間粗糙數(shù)隨機(jī)變量的多準(zhǔn)則決策問題.迄今為止,尚未見對區(qū)間粗糙數(shù)判斷矩陣的研究.

在利用AHP解決決策問題時,專家給出的判斷結(jié)果可以是區(qū)間粗糙數(shù)的形式.例如,某專家判斷方案xi與方案xj的重要程度比為一個區(qū)間粗糙數(shù)([0.3，0.4],[0.2,0.5])表示方案xi比方案xj重要程度在0.3到0.4之間是肯定的,在0.2到0.5之間是可能的.因此,解決基于區(qū)間粗糙數(shù)判斷矩陣的排序問題具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值.為此,本文將AHP中的判斷矩陣的元素形式推廣到區(qū)間粗糙數(shù).通過對方案進(jìn)行兩兩比較,構(gòu)造互補區(qū)間粗糙數(shù)判斷矩陣,給出了基于正態(tài)分布區(qū)間粗糙數(shù)的可能度,提出了一種基于區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣的排序方法,也給出了區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣和區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的相互轉(zhuǎn)化公式.最后給出算例說明該方法是可行的,且具有一定實用價值.

1 區(qū)間粗糙數(shù)基本概念

定義1[14]設(shè)論域U和概念的集合X,則定義其下近似和上近似分別為：

其中R(x)={yU|y?x},R-1(x)={yU|x?y}(?表示滿足自反性,但不滿足對稱性和傳遞性的一種二元相似關(guān)系).

定義3[10]下近似和上近似均為區(qū)間的粗糙集稱為區(qū)間粗糙數(shù),記為([a,b],[c,d])其中c≤a≤b≤d.

定義4[11]設(shè)ξ=([a,b],[c,d]),ξ1=([a1,b1],[c1,d1]),ξ2=([a2,b2],[c2,d2]),均為區(qū)間粗糙數(shù),其中c,c1,c2≥0,λ>0為實數(shù),則有:

1)ξ1+ξ2=([a1+a2,b1+b2]),([c1+c2，d1+d2]);

2)ξ1·ξ2=([a1a2,b1b2]),([c1c2，d1d2]);

3)ξλ=([aλ,bλ],[cλ,dλ]).

定義5 設(shè)ξ=([a,b],[c,d]),ξ1=([a1,b1],[c1,d1]),ξ2=([a2,b2],[c2,d2])均為區(qū)間粗糙數(shù),其中c,c1,c2≥0,則有：

1)ξ-1=([b-1,a-1],[d-1,c-1]);

2 可能度公式及性質(zhì)

(1)

(2)

由定義6可知,正態(tài)分布區(qū)間數(shù)實質(zhì)表示一個均值和方差滿足(1)(2)條件的正態(tài)分布區(qū)間數(shù),由文獻(xiàn)[16]可得區(qū)間粗糙數(shù)的可能度公式如下.

定義7 設(shè)區(qū)間粗糙數(shù)ξ1=([a1,b1],[c1,d1]),ξ2=([a2,b2],[c2,d2]),則稱

(3)

為ξ1≥ξ2的可能度,其中μ1,μ2,σ1,σ2由定義6給出.查表即可求出p(ξ1≥ξ2).

顯然,可能度有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1 設(shè)ξ1=([a1,b1],[c1,d1]),ξ2=([a2,b2]),[c2,d2]),ξ3=([a3,b3],[c3,d3])均為區(qū)間粗糙數(shù),其中c1,c2,c3≥0,則

1)(有界性)0≤P(ξ1≥ξ2)≤1;

2)(互補性)P(ξ1≥ξ2)+P(ξ2≥ξ1)=1;

3 兩類區(qū)間粗糙數(shù)判斷矩陣及其相互轉(zhuǎn)化公式

定義8 設(shè)判斷矩陣η=(ηij)n×n,其中ηij=([aij,bij],[cij,dij])且0≤cij≤aij≤bij≤dij,若aij+bji=bij+aji=cij+dji=dij+cji=1,aii=bii=cii=dii=0.5(i,j=1,2,…n)則稱矩陣η是區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣.

定義9 設(shè)判斷矩陣ξ=(ξij)n×n,其中ξij=([mij,nij],[lij,kij])且0≤lij≤mij≤nij≤kij,若mij·nji=nij·mji=lij·mji=lij·kji=kij·lji=1,則稱矩陣ξ是區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣.

定理1 設(shè)區(qū)間粗糙數(shù)互補矩陣η=(ηij)n×n,ηij=([aij,bij],[cij,dij]),0≤cij≤aij≤bij≤dij,則通過轉(zhuǎn)化公式

ξij=ηij/ηji

(4)

可得到區(qū)間粗糙數(shù)互反矩陣ξ=(ξij)n×n.

證明 令ξij=([mij,nij],[lij,kij]),則有

同理易證nij·mji=lij·kji=kij·lji=1.所以矩陣ξ=(ξij)n×n是區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣.

定理2 設(shè)區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣ξ=(ξij)n×n,其中ξij=([mij,nij],[lij,kij]),且mij·nji=nij·mji=lij·kji=kij·lji=1,0≤lij≤mij≤nij≤kij,則通過轉(zhuǎn)化公式：

(5)

則η=(ηij)n×n是區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣.

證明 由題意可知

同理可證

故η=(ηij)n×n是區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣.

由上可知,區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣和區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣可以通過轉(zhuǎn)化公式相互轉(zhuǎn)化.因此,本文僅考慮區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣的排序問題.

4 區(qū)間粗糙數(shù)互補判斷矩陣的排序方法

在某決策問題中,假設(shè)有n個備選方案μ1,μ2，…，μn,在0.1～0.9標(biāo)度,決策者對決策方案進(jìn)行兩兩比較,得到形式為區(qū)間粗糙的互補判斷矩陣ξ=(ξij)n×n,其中ξij=([aij,bij],[cij,dij])且0≤cij≤aij≤bij≤dij,aij+bji=bij+aji=cij+dji=dij+cji=1,aii=bii=cii=dii=0.5,i,j.1,2,…，n.

排序方法具體步驟如下：

步驟1 利用行和并歸一化,求得形式為區(qū)間粗糙數(shù)權(quán)重w=(w1,w2,w3,…，wn),其中

(6)

步驟2 由定義6可得正態(tài)分布區(qū)間粗糙數(shù)權(quán)重向量

wi=(μi,σi) ;

步驟3 利用公式(3)建立權(quán)重可能度矩陣

其中pij=p(wi≥wj);

5 算例分析

某企業(yè)計劃投資某項目,擬定4個備選方案μi(i=1,2,3,4).決策者將決策方案進(jìn)行兩兩比較,給出形式為區(qū)間粗糙數(shù)的互補判斷矩陣ξ,如下：

1)由公式(4)求得區(qū)間粗糙矩陣權(quán)重w=(w1,w2,w3,w4),即

w=(([0.23,0.38],[0.16,0.53]),([0.15,0.32],[0.13,0.39]),([0.21,0.30],[0.14,0.49]),([0.16,0.32],[0.08,0.49])).

2)由定義6可得

w1=(0.305,0.048),w2=(0.235,0.035),w3=(0.255,0.038),w4=(0.24,0.053).

3)由公式(3)查表得到可能度矩陣

v=(0.167,0.297,0.255,0.281).

5) 由上可得v1

6 結(jié)論

本文首次提出區(qū)間粗糙數(shù)形式的判斷矩陣,并給出正態(tài)分布區(qū)間粗糙數(shù)及其可能度的定義,將AHP的判斷矩陣形式推廣到區(qū)間粗糙數(shù)形式,進(jìn)一步完善了AHP理論基礎(chǔ),有效解決了判斷矩陣的元素為區(qū)間粗糙數(shù)的決策問題.該方法可以用于供應(yīng)商選擇、投資決策、項目評估以及經(jīng)濟(jì)效益綜合評價等相關(guān)決策方面.

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Priority Method for Complementary Judgement Matrix Based on Interval Rough Number

XIE Feng-pinga,ZENG Xue-lana,DUAN Yun-yanb

(a. School of Mathematics and Information Sciences, b. School of Electrical Engineering,Guangxi University,Nanning， 530004,China )

The definitions of interval rough number complementary judgement matrix and distribution interval rough number are given, and the mutual transformation formula between interval rough number complementary judgement matrix and interval rough number reciprocal judgement matrix is set up as well. For the priority problem based on interval rough number complementary judgment matrix, a ranking method of interval rough number complementary judgement matrix based on possibility degrees is proposed. Interval rough number complementary judgement matrix is constructed by pair comparison. Then, the weight vectors with forming of interval rough number are worked out. By using the formula of possibility degrees, the possibility degree matrix of weight vector is established, and according to the ordering formula, and the ranking of alternatives is obtained. Finally, a numerical example is given to show the effectiveness and feasibility of this approach.

interval rough number; normal distribution; possibility degree; complementary judgement matrix; priority.

2015-05-03

國家自然科學(xué)基金資助項目(71361002);廣西自然科學(xué)基金資助項目(2013GXNSFAA019016)

謝鳳平(1987-),女,湖南邵陽人,廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 13級應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生,研究方向為決策分析及粗糙集.

曾雪蘭(1962-),女,廣西賀州人， 廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)教授, 研究方向為管理決策分析理論與方法研究.

C934

A

1008-6722(2015) 05-0022-05

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．05．06