劉小匯，李崢嶸，歐 鋼

(國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410073)

衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)在跟蹤階段對(duì)擴(kuò)頻碼的跟蹤，將影響測(cè)距和定位精度以及電文解調(diào)的誤碼率，通常使用延遲鎖定環(huán)(Delay-Locked Loop，DLL)完成偽碼跟蹤［1］。延遲鎖定環(huán)由環(huán)路鑒相器和環(huán)路濾波器、數(shù)控振蕩器(Numerically Controlled Oscillator，NCO)組成［2］。其中環(huán)路鑒相器利用預(yù)檢測(cè)積分器輸出的相關(guān)結(jié)果，計(jì)算輸入相關(guān)信號(hào)中的碼延遲相位，進(jìn)而估計(jì)得到本地碼相位與接收碼相位的偏差，誤差用以調(diào)整本地碼生成器，完成對(duì)接收偽碼的精確跟蹤。環(huán)路鑒相器是DLL的重要組成部分，它直接決定了碼環(huán)的跟蹤精度，根據(jù)鑒相器是否需要載波信息，將延遲鎖定環(huán)分為相干延遲鎖定環(huán)和非相干延遲鎖定環(huán)［3］。

一般的非相干延遲鎖定環(huán)鑒相器有點(diǎn)積(Dot Product，DP)鑒相器、早遲功率(Early Minus Late Power，EMLP)鑒相器、早遲幅度(Early Minus Late Amplitude，EMLA)鑒相器和歸一化的早遲幅度(unified EMLA)［3］鑒相器。其中歸一化的早遲幅度鑒相器，去除了DLL環(huán)路對(duì)信號(hào)幅度的敏感性，能有效改善在脈沖干擾等情況下的接收性能［3］。

由于鑒相器對(duì)延遲鎖定環(huán)的性能具有重要影響，因此如何提高其輸出的碼延遲精度，是許多學(xué)者研究的內(nèi)容［4-6］。然而除了算法本身性能外，在使用數(shù)字信號(hào)處理器實(shí)現(xiàn)由無(wú)限精度向有限精度轉(zhuǎn)換時(shí)，引入的精度損失是否可以忽略?鑒相器的有限字長(zhǎng)問(wèn)題包括系統(tǒng)輸出有限字長(zhǎng)、運(yùn)算過(guò)程的有限字長(zhǎng)、輸入數(shù)據(jù)有限字長(zhǎng)等。前兩種情況，系統(tǒng)輸出字長(zhǎng)影響相對(duì)單一，易于分析;運(yùn)算過(guò)程有限字長(zhǎng)問(wèn)題，由于與具體的運(yùn)算方法緊密相關(guān)，多數(shù)的文獻(xiàn)均假設(shè)有足夠的長(zhǎng)度表示數(shù)據(jù)高位和低位，使得計(jì)算過(guò)程沒(méi)有溢出，由舍入操作產(chǎn)生的局部量化誤差功率遠(yuǎn)小于輸入數(shù)據(jù)的量化噪聲功率［7］。對(duì)于輸入數(shù)據(jù)的有限字長(zhǎng)問(wèn)題，Widrow建立了目前通用的字長(zhǎng)分析噪聲模型［8］:系統(tǒng)輸入的有限字長(zhǎng)信號(hào)可以看成全精度信號(hào)與隨機(jī)噪聲的疊加，字長(zhǎng)誤差(或噪聲)是與信號(hào)本身完全不相關(guān)的白噪聲，字長(zhǎng)誤差在線性系統(tǒng)中具有線性疊加特性。這種假設(shè)使得線性系統(tǒng)有限字長(zhǎng)的問(wèn)題易于分解為信號(hào)與噪聲的疊加，已使其得到了很好的解決。而對(duì)于如鑒相器般的非線性系統(tǒng)，由于字長(zhǎng)誤差在非線性系統(tǒng)中不再具有疊加特性，且誤差有可能反饋至輸入端，使得線性系統(tǒng)的分析方法將不再適用。對(duì)于延遲鎖定環(huán)路中鑒相器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)的研究，文獻(xiàn)［9］分析了鑒相器輸出的有限字長(zhǎng)與偽距精度損失的關(guān)系，由于假設(shè)輸出量化噪聲與鑒相器的熱噪聲不相關(guān)，因此總的噪聲為熱噪聲與量化噪聲的疊加，使得分析難度大大降低。然而對(duì)于輸入信號(hào)有限字長(zhǎng)，其量化噪聲在非線性計(jì)算的鑒相器中不能簡(jiǎn)單疊加得到輸出噪聲，因此分析難度大，目前還未有文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行報(bào)道。

本文將以常用的歸一化早遲幅度鑒相器為例，分析延遲鎖定環(huán)鑒相器的輸入信號(hào)有限字長(zhǎng)對(duì)輸出性能的影響，其余類(lèi)型鑒相器的分析方法類(lèi)似。

1 誤差建模與統(tǒng)計(jì)特性分析

1.1 字長(zhǎng)誤差模型

圖1為鑒相器的字長(zhǎng)誤差模型，由于硬件實(shí)現(xiàn)的局限性，常對(duì)輸入鑒相器的相關(guān)累加和信號(hào)與輸出鑒相器的相位值進(jìn)行舍入，鑒相器噪聲由鑒相輸出的噪聲nPD和量化噪聲組成。量化噪聲可以分為輸入信號(hào)的量化噪聲ne1和輸出相位的量化噪聲ne2。對(duì)于輸出相位的量化噪聲，可認(rèn)為量化誤差是平穩(wěn)隨機(jī)序列并且與輸出相位不相關(guān)，因此對(duì)總噪聲的影響可以采取直接累加的方法;對(duì)于輸入信號(hào)的舍入量化噪聲ne1，因?yàn)殍b相操作是一個(gè)非線性的過(guò)程，對(duì)鑒相器噪聲的影響不能簡(jiǎn)單地累加。假設(shè)輸入信號(hào)的字長(zhǎng)為b1，則鑒相器輸出方差是b1的非線性函數(shù)，同理假設(shè)輸出相位的字長(zhǎng)為b2，則鑒相器在舍入量化效應(yīng)下總的輸出噪聲為:

圖1 鑒相器的字長(zhǎng)誤差模型Fig.1 Error model of word-length effect for code discriminator

1.2 輸入信號(hào)的有限字長(zhǎng)效應(yīng)分析

為了計(jì)算輸入信號(hào)在b1位字長(zhǎng)下鑒相器輸出噪聲，首先分析輸入信號(hào)量化后的統(tǒng)計(jì)特性。不考慮偽碼相位跟蹤誤差，在中頻信號(hào)經(jīng)過(guò)解調(diào)、積分清零器后的相關(guān)累加值I、Q信號(hào)可以分別寫(xiě)成［11］:

式中:A為信號(hào)幅度;dk為調(diào)制的導(dǎo)航電文;θk為殘留的載波相位誤差;ni，k和nq，k為噪聲且相互獨(dú)立，方差均為σ2。相關(guān)累加值Ik、Qk的聯(lián)合概率密度函數(shù)為［12］:

對(duì)I、Q信號(hào)進(jìn)行b1 bit舍入量化，等效于引入了一個(gè)均勻等概率分布的白噪聲，分別記為eI和eQ。則輸入信號(hào)舍入量化后的表達(dá)式為:

可知量化噪聲eI和eQ的概率密度、均值和方差分別為有效位遠(yuǎn)大于舍入位數(shù)時(shí))，量化間隔為q=2-b1。

由I、Q的聯(lián)合概率密度表達(dá)式(4)可知I、Q的概率密度分別為:

同理:

顯然I、Q為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。假設(shè)舍入誤差eI與信號(hào)Ik不相關(guān)，其聯(lián)合概率密度為:

同理，eQ與Qk的聯(lián)合概率密度為:

同理可以求出的概率密度:

1.3 鑒相器的統(tǒng)計(jì)特性

歸一化早遲幅度鑒相器的表達(dá)式為:

式中，Δτ為輸出的碼片誤差E，L分別為超前、滯后相關(guān)器輸出的包絡(luò)值，超前、滯后間隔的碼片數(shù)d一般取值0.5個(gè)碼片。由上一節(jié)已知相關(guān)輸出信號(hào)I、Q為正(余)弦信號(hào)加上高斯白噪聲，則I、Q的包絡(luò)值E、L服從萊斯分布(Rice distribution)，于是超前、滯后包絡(luò)E、L的概率密度為:

其中:I0(·)為0階第一類(lèi)貝賽爾函數(shù)，且x〉0;α2/2σ2為輸入信號(hào)的信噪比，σ2為輸入噪聲的方差。由E、L的概率密度，可以計(jì)算出隨機(jī)變量Z=L/E的概率密度為:

于是全精度下的鑒別器輸出的均值和方差分別為:

對(duì)輸入鑒相器的信號(hào)I、Q進(jìn)行有限字長(zhǎng)的量化后，設(shè)分別為量化后早、遲碼的包絡(luò)，由上一節(jié)可知超前支路輸入信號(hào)IE量化后的概率密度函數(shù)為:

式中，q為量化間隔，μI為信號(hào)均值，σ為噪聲方差。同理QE量化后的概率密度函數(shù)為:

于是量化后的早碼包絡(luò)的概率密度為:

在離散的點(diǎn)…，±(M-1))上取值。量化后遲碼的包絡(luò)可以同理求得:

其中k=i/j為非整數(shù)，有種組合的取值k(1)，k(2)，…，k(w)，于是量化后鑒相器輸出的碼相位的均值和方差為:

式(23)和式(24)顯示了輸入信號(hào)有限字長(zhǎng)對(duì)鑒相器輸出均值和方差的影響。

2 鑒相器性能分析

2.1 字長(zhǎng)效應(yīng)對(duì)鑒相器方差的影響

圖2為相關(guān)輸出信號(hào)信噪比為8～18dB時(shí)，在不同量化條件下，鑒相器輸出的方差理論計(jì)算與仿真結(jié)果的對(duì)比。由圖可知，理論分析與仿真結(jié)果基本吻合，輸入鑒相器的信號(hào)進(jìn)行4bit及以上的量化時(shí)，其輸出碼相位方差與全精度相比差別不大。

2.2 字長(zhǎng)效應(yīng)對(duì)環(huán)路性能分析及仿真驗(yàn)證

鑒相器對(duì)延遲鎖定環(huán)環(huán)路偽碼相位精度的影響為［13］:

式中，Bn為環(huán)路的等效噪聲帶寬，kτ為鑒相器的增益，Tco為鑒相器的相干積分時(shí)間。由于文獻(xiàn)［9］已經(jīng)分析了鑒相器輸出字長(zhǎng)對(duì)偽碼精度損失的影響，本文將忽略這一影響，將輸出量化噪聲設(shè)置為0。因此可以定義偽碼相位精度損失為輸入有限字長(zhǎng)的環(huán)路跟蹤誤差與全精度下的跟蹤誤差之比［14］:

圖2 不同量化條件下的方差Fig.2 Discriminator's variance caused by different quantization

圖3 不同量化下的偽距精度損失Fig.3 Pseudo-range accuracy loss caused by different quantization

圖3為輸入信號(hào)在3，4，5，6bit量化下，相干積分時(shí)間為1ms，環(huán)路帶寬為2Hz，鑒相增益為1，采用GPS的C/A碼時(shí)，理論計(jì)算與仿真實(shí)驗(yàn)的偽碼精度損失情況對(duì)比。從圖中可以看出，在低信噪比下，不同量化造成的精度損失差別不明顯，因?yàn)檫@時(shí)是信號(hào)中的白噪聲占主導(dǎo)。然而隨著信噪比的增加，量化噪聲將超過(guò)信號(hào)中的白噪聲，由量化導(dǎo)致的精度損失將有明顯區(qū)別。另外，隨著輸入信號(hào)信噪比的增大，精度損失將增大，但對(duì)于4bit及以上量化，隨著信噪比的增加，其損失增加并不明顯，如信噪比18dB時(shí)，5bit量化帶來(lái)的精度損失為1.05(0.2dB)，忽略動(dòng)態(tài)應(yīng)力等其他測(cè)量誤差，與全精度下的偽距測(cè)量值相差0.029 3m;6bit量化帶來(lái)的精度損失為1.005(0.02dB)，與全精度測(cè)量下的偽距測(cè)量值相差0.011m，輸入信號(hào)有限字長(zhǎng)帶來(lái)的偽碼精度損失將可以忽略。

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)鑒相器字長(zhǎng)誤差的建模，分析了輸入信號(hào)有限字長(zhǎng)下的鑒相器輸出誤差以及字長(zhǎng)對(duì)環(huán)路偽碼跟蹤精度的影響。理論推導(dǎo)與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:對(duì)于歸一化早遲幅度鑒相器，輸入信號(hào)有限字長(zhǎng)越大對(duì)輸出誤差影響越小;輸入信號(hào)字長(zhǎng)對(duì)環(huán)路偽碼跟蹤精度亦有影響，在輸入信號(hào)高信噪比下尤為明顯，隨著輸入信號(hào)信噪比的增加，偽碼精度損失將增加;而當(dāng)輸入信號(hào)采用4bit及以上量化時(shí)，即使信噪比增大，由量化帶來(lái)的偽碼跟蹤精度損失也可忽略。以上結(jié)論能為基于軟件無(wú)線電的定點(diǎn)數(shù)字信號(hào)處理接收機(jī)的設(shè)計(jì)提供參考。

References)

［1］Juang J C，Chen Y H，Kao T L，et al.Design and implementation of an adaptive code discriminator in a DSP/FPGA-based Galileo receiver［J］.GPS Solution，2010，14(3):255-266.

［2］Parkison B W.Global position system:theory and applications［M］.USA:American Institute of Aeronautics and Astronautics，1996.

［3］Kaplan E D.Understanding GPS principles and applications［M］.USA:Artech House，1996.

［4］Ma L，Wang S C，Liu Z G，et al.Design and analysis of two new DLL discriminator algorithms［C］//Proceedings of International Conference on Mechatronic Science，Electric Engineering and Computer，2011:961-965.

［5］Borio D，F(xiàn)antino M，Presti L L，et al.Robust DLL discrimination functions normalization in GNSS receivers［C］//Proceedings of IEEE/ION Position，Location and Navigation Symposium，2008:173-180.

［6］Liu L Y，Amin M G.Multipath and pre-correlation filtering effect on GPS noncoherent early-minus-late power discriminators［C］//Proceedings of the 5th IEEE International Symposium on Signal Processing and Information Technology，2005:417-422.

［7］Keding H，Willems M，Coors M，et al.FRIDGE:a fixedpoint design and simulation environment［C］//Proceedings of Design，Automation and Test in Europe，1998:429-435.

［8］Winrow B.Statistical analysis of amplitude quantized sampleddata system［J］.Transaction of American Institute of Electrical Engineers，Part II:Applications and Industry，1960，79(6):555-568.

［9］劉峰，李欣，龍騰.衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)定點(diǎn)環(huán)路跟蹤精度研究［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30(6):707-712.LIU Feng，LI Xin，LONG Teng.Research on the tracking accuracy of fixed-point loop for satellite navigation receiver［J］.Journal of Beijing Institute of Technology，2010，30(6):707-712.(in Chinese)

［10］Oppenheim A V，Schafer R W，Buck J R.Discrete-time signal processing［M］.2nd ed.USA:Prentice-Hall，1999:157-160.

［11］Miao J F，Chen W，Sun Y R，et al.Adaptively robust phase lockloop for low C/N carrier tracking in a GPS software receiver［J］.Acta Automatic Sinica，2011，37(1):52-60.

［12］Yu W，Lachapelle G，Skone S.PLL performance for signals in the presence of thermal noise，phase noise，and ionospheric scintillation［C］//Proceedings of the 19th International Technical Meeting of the Satellite Division of the Institute of Navigation，2006:1341-1357.

［13］Misra P，Enge P.Global positioning system，signals，measurements，and performance［M］.2nd ed.USA:Ganga-Jamuna Press，2006.

［14］Shen B，Zhang Q L.A new method for analyzing the quantization effect of ADC in broadband QAM receiver［C］//Proceedings of IEEE International Conference on Communications，Circuits and Systems，2002，2:1262-1266.